SUCESSÕES

1. SUCESSÕES Ana Luísa Pires Adaptado por Jose Camilo Chaves

2. Introdução • Observe a seguinte sequência de figuras: 25 19 1 3 7 1 É possível obter uma expressão que permita descobrir o número de cubos de qualquer figura dessa sequência?

3. Figura Nº de cubos 1 1+6 x 0 = 1 2 1+6  1=7 3 1+6  2=13 4 1+6  3=19 5 1+6  4=25 6 1+6  5=31 … ... n 1+6 (n-1) ... Obtemos a expressão:1+6 (n-1) = 6n-5 que define a lei de formação dos cubos da figura

4. an= (n+1)n 2 Seqüência representada por figuras 6 10 1 3 15 A seqüência dos números (1,3,6,10,15,...) é chamada de seqüência dos números triangulares Você é capaz de identificar o 6° e o 8º numero triangular dessa seqüência 6° termo 21 8° termo 36 Qual a fórmula do termo geral dessa seqüência?

5. 2 an=n Seqüência representada por figuras 4ª 1ª 2ª 3ª • Observe as figuras abaixo Essa sequencia de figuras pode ser representada pela sequencia numérica: (1, 4, 9,16,....) Quantos quadradinhos deverá ter a figura do 6° e do 8° termo da figura No 6° 36, no 8° 64 Qual a lei que representa essa sequencia de figuras?

6. Sequência na era do computador • As sequências de imagens que vocês observarão, são definidas por regras muito simples. Quando calculadas e desenhas por computador, o processo pode continuar indefinidamente, obtendo figuras belíssimas

10. DEFINIÇÃO DE SUCESSÃO Sucessão: em matemática, uma sucessão (no Brasil usa-se o termo seqüência) é uma lista de elementos, ou seja, um conjunto ordenado de maneira que cada elemento fica naturalmente seqüenciadoou na ordem Exemplos: Seqüência dos números de casas numa rua Seqüência das operações numa linha de montagem Seqüência do crescimento dos galhos de diversas espécies de plantas

11. Notação: • Representação • Para se representar uma sequência, colocam-se os membros entre parênteses, separados por vírgulas (quando há números decimais na sequência, usa-se o ponto-e-vírgula O primeiro termo é indicado por a1, o segundo por a2 , o terceiro por a3, e assim por diante, o último termo da sequencia é indicado por an ( a1, a2, a3, a4, ...., an)

12. Ordem Termo da sucessão • Para indicar a sucessão escreve-se (an): nan • Quando uma sucessão pode ser definida por uma expressão na variável n, essa expressão que gera a sucessão chama-se termo geral da sucessão. • No exemplo da lei que forma os cubos temos: an=6.n-5

13. Sucessões definidas por recorrência • Uma sucessão diz-se definida por recorrência quando são dados alguns dos primeiros termos, e os seguintes são obtidos através dos termos anteriores. • Exemplo: Sucessão de Fibonacci (1,1,2,3,5,8,13,....)

14. Problema dos coelhos: Um casal de coelhos adultos só começa a procriar dois meses depois do seu nascimento. Admitindo que em cada criação têm um casal de filhos, e, a partir desse momento todos os meses mais um casal, quantos coelhos haverá ao fim de um oito meses , e de um ano?

15. Quantos casais de coelhos serão gerados em 8 meses , e em um ano, começando com um único casal jovem 1°mês 2°mês 3°mês 4°mês 5°mês Observe a seqüência de casais de coelhos em cadamês (1, 1, 2, 3, 5,.....)

16. an         1 2 3 4 5 6 7 8 ... n Sucessões crescente • Analisando novamente o gráfico da sucessão an=6n-5: Os termos vão assumindo valores cada vez maiores consoante aumenta a ordem n: Cada termo an+1 é superior ao anterior an, ou seja, an+1 > an , n (an) é CRESCENTE

17. Consideremos a sequência de figuras seguinte: • 4, 1 , 1/4 , 1/16 , 1/32, ... Os números representam as medidas das áreas dos quadrados Esta sucessão é DECRESCENTE

18. Sucessões limitadas • Exemplo: Losangos e rectângulos • Cada figura, excepto a primeira, se obtém unindo os pontos médios dos lados da figura anterior. • Cada figura tem metade da área da anterior pelo que na sucessão das áreas a1, a2 , a3 , ... se tem: , n

19. Sabendo a área da primeira figura, a1 , podemos saber qualquer termo da sucessão. • Seja, por exemplo, a1=12 cm2, temos então, em cm2 : • a2 = 6 , a3 = 3 , a4 =1,5 , a5 = 0,75 , ... • 0< an  12 , n A sucessão (an) diz-se LIMITADA.

20. Progressões • Exemplo: O treino do André • O André todas as manhãs faz ginástica. Um dos exercícios é a corrida. Durante a primeira semana ele corre 500m , e resolveu aumentar 50 metros todas as semanas. • Qual a distancia que André percorrerá na 7ª semana? E na 20ª? • a1=500, a2= 500+50=550, a3=550+50=600, ... • Designando por n o número de semanas e por an a distancia percorrida temos: ( 500,550,600,650,...)

21. , n>1 an+1- an =50 , n A diferença entre cada termo e o anterior é constante e igual a 50. Diz-se que (an) é uma PROGRESSÃO ARITMÉTICA. • De um modo geral: • A sucessão (an) é uma progressão aritmética se • an+1- an = r , n, • sendo r a razão da progressão aritmética.

22. Progressão aritmética ( PA ) Definição Consideremos a seqüência ( 500,550, 600, 650, 700, 750,...). Observamos que, a partir do segundo termo, a diferença entre qualquer termo e seu antecessor é sempre a mesma: 550-500 = 600–550 = 650 – 600 = 700 – 650 = 750 –700 =50 Seqüências como esta são denominadas progressões aritméticas (PA).A diferença constante é chamada de razão da progressão e costuma ser representada por r. Na PA dada temos r = 2. Podemos, então, dizer que:

23. Progressão aritmética é a seqüência numérica onde, a partir do primeiro termo, todos são obtidos somando uma constante chamada razão. São exemplos de PA: ·        (5, 10, 15, 20, 25, 30) é uma PA de razão r = 5 ·        (12, 9, 6, 3, 0, -3) é uma PA de razão r = -3 ·        (2, 2, 2, 2, 2,...) é uma PA de razão r = 0

24. Notação • PA( a1, a2, a3, a4, ...., an) • Onde: • a1= primeiro termo • r = razão • n = número de termos( se for uma PA finita ) • an = último termo, termo geral ou n-ésimo termo • Exemplo: PA (5, 9, 13, 17, 21, 25) • a1 = 5r = 4n = 6an = a6 = 25

25. Fórmula doTermo Geral • Uma PA de razão r pode ser escrita assim: • PA( a1, a2, a3, a4, ...., an-1, an) • Aplicando a definição de PA, podemos escrevê-la de uma outra forma: •  PA ( a1, a2, a3, a4, ...., an-1 ,an) • PA( a1, a1+ r, a1+ 2r, a1+ 3r, a1+ 4r, ..., a1+ (n-1)r ) Portanto, o termo geral será: an = a1 + (n-1)r, para n

26. Soma dos Termos de uma PA finita • Consideremos a seqüência ( 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20). • Trata-se de uma PA de razão 2. Suponhamos que se queira calcular a soma dos termos dessa seqüência, isto é, a soma dos 10 termos da PA(2, 4, 6, 8, ..., 18,20). • Poderíamos obter esta soma manualmente, ou seja, 2+4+6+8+10+12+14+16+18+20 =110.

27. Soma de termos da PA • Mas se tivéssemos de somar 100, 200, 500 ou 1000 termos? Manualmente seria muito demorado. Por isso precisamos de um modo mais prático para somarmos os termos de uma PA. Na PA( 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20) observe que: Para calcular a soma dos n termos de uma PA somamos o primeiro com o último termo e esta soma irá se repetir n/2 vezes. Assim podemos escrever:

28. an = a1 + (n-1)r , n , n Termo geral de uma progressão aritmética de razão r Soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética

29. Bibliografia • Matemática volume único, editora atual,Gelson Iezzi , OsvaldoDolce e outros • Matemática ensino médio, volume 1,editora saraiva, Kátia Stocco Smole, Maria Ignez Diniz • Matemática volume único, editora Moderna, Manoel Paiva

32. Um dia o sabio perguntou para seu discipulo:- Quando pensa em realizar o seu sonho?E o discipulo respondeu:- Quando tiver a oportunidade...O sabio o olhou e disse:- A oportunidade nunca chega...a oportunidade já está aqui!"