DERIVATION

1. DERIVATION • Taux d’accroissement d’une fonction • Approche cinématique :de la vitesse moyenne à la vitesse instantanée • Approche graphique :coefficient directeur de la tangente . • Approche numérique :Approximation d’une augmentation en pourcentage par exemple.

2. Dans le cas d’une fonction « discrète » : mesure d’une population, mesure d’un chiffre d’affaires ,mesure d’une production…la valeur : mesure une variation moyenne Taux d’accroissement

3. Evolution d’une production

4. Le rapport : donne l’évolution moyenne par année sur une période de 10 ans de la production. TAUX D’ACCROISSEMENT DE LA FONCTION P MAIS NON PAS UN TAUX AU SENS ECONOMIQUE Evolution

5. Taux d’accroissement • Dans le cas d’une fonction continue ce nombre mesure le coefficient directeur de la droite (AB) quand A et B sont deux points de la courbe représentative de f : A (a,f (a)) et B(b,f (b))

6. Vitesse Moyenne • Le vitesse moyenne se mesure par le taux d’accroissement de la fonction qui donne la position d’un mobile en fonction du temps .

7. De la vitesse moyenne à la vitesse instantanée • Un mobile se déplace de façon rectiligne en fonction du temps • Sa position est donnée par f tel que f(t)=2t²+1 exprimé en mètres , pour t exprimé en secondes compris entre 0 et 100 .

8. Passage « à la limite » de la vitesse moyenne en calculant et en faisant tendre h vers 0 • Dans cet exemple on montre que la limite est égale à 4t pour toute valeur de t Vitesse instantanée

9. De la sécante à la tangente • Le coefficient directeur de la sécante tend vers le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse a quand le point B « s’approche » de A sur la courbe .

10. Approximation • Une somme S augmente successivement de t % . Cette somme est donc multipliée par (1+x )² en posant t/100=x. • On montre numériquement et graphiquement que multiplier S par (1+x)² revient à multiplier S par 1+2x quand x est suffisamment « petit »

11. Définition par la limite quand h tend vers 0 de: • Ce nombre est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de f au point d’abscisse a . ( approximation affine) Nombre dérivé d’une fonction f en a

12. Fonctions dérivées des fonctions de référence : • Fonctions dérivées d’une somme , d’un produit , d’un quotient • Application: Calcul de dérivées de fonctions polynômes de degré au plus 3 et de fonctions rationnelles fonctions dérivées

13. Applications • Lien entre signe de dérivée et variations de fonctions sur un intervalle : • Recherched’extremum • Utilisation de la monotonie pour résoudre des équations du type f(x)=k • Recherche de valeurs approchée avec méthode par dichotomie ou par balayage à pas fixé (autre approche du problème de résolution d’équation session 2002 Amérique du sud)

14. Applications • Résolution de problèmes : • situations simples • Problèmes cinématiques • Géométriques • Économiques (coût, bénéfice , coût moyen, offre et demande ..)