Download
1 / 24
240 likes | 506 Views
Probabilitat. Esdeveniments. Un experiment és un procés mitjançant el qual s’obté una observació. L’espai mostral ( Ω ) és el conjunt de tots els resultats possibles d’un experiment aleatori
E N D
Probabilitat Curs 2012-13 URV
Esdeveniments • Un experiment és un procés mitjançant el qual s’obté una observació. • L’espai mostral (Ω) és el conjunt de tots els resultats possibles d’un experiment aleatori • Un esdeveniment A és qualsevol de tots els resultats possibles d’un experiment que compleix una determinada característica A Un esdeveniment A és un subconjunt de l’espai mostral • Operacions amb esdeveniments: • Esdeveniment contrari (Ᾱ) • Unió d’esdeveniments (A U B) • Intersecció d’esdeveniments (A ∩ B) Curs 2012-13 URV
Esdeveniments Ω espai mostral Ω espai mostral Ω espai mostral UNIÓ A A B B Ω espai mostral Ω espai mostral INTERSECCIÓ A A B A Curs 2012-13 URV
Exemple • En una classe tenim 10 alumnes: • Una dona de 18 anys • Dos dones de 19 anys • Una dona de 20 anys • Una dona de 21 anys • Una dona de 24 anys • Un home de 18 anys • Un home de 19 anys • Un home de 20 anys • Un home de 27 anys Curs 2012-13 URV
Exemple • Experiment: Triar a l’atzar un alumne de la classe • Espai Mostral: • Ω = { D18, D19, D20, D21, D24, H18, H19, H20, H27 } • ATENCIO! No tots els resultats tenen la mateixa probabilitat de sortir. El resultat “D19” te el doble de probabilitat de que la resta de resultats. Curs 2012-13 URV
Definició de probabilitat La probabilitat d’un esdeveniment A és el valor límit, quan repetim indefinidament un experiment, del quocient entre el nombre de vegades que es presenta l’esdeveniment A i el nombre de vegades que repetim l’experiment Curs 2012-13 URV
Definició de probabilitat • Si repetim infinitament un experiment, la probabilitat de un esdeveniment A es la freqüència relativa de dit esdeveniment Curs 2012-13 URV
Exemple • Quina es la probabilitat de ser home? • Esdeveniment H: Ser home. Nombre de casos que compleixen la característica H ---------------------------------------------------------------- Nombre de casos • P(H)= • P(H) = 4 / 10 Curs 2012-13 URV
Exemple • Quina es la probabilitat de tindre entre 18 i 20 anys? • Esdeveniment A: Tindre entre 18 i 20 anys. Nombre de casos que compleixen la característica A ---------------------------------------------------------------- Nombre de casos • P(A)= • P(A) = 7 / 10 Curs 2012-13 URV
Propietats de la probabilitat • P(Ω) = 1 • P(Ø) = 0 • 0 ≤ P(A) ≤ 1 • P(A) + P(Ᾱ) = 1 P(Ᾱ) = 1 – P(A) • P(A U B) = p(A) +P(B) - P(A ∩ B) Curs 2012-13 URV
Quin percentatge de dones hi ha a la mostra? 760/1000=0,76=76% Si elegim un individu de la població, quina probabilitat hi ha que sigui dona P(dona)=0’76 Quina és la probabilitat que escollit un individu a l’atzar d’aquesta població sigui home? P(home)= 1-0,76 = 0,24 Exemple: En una mostra de 1000 individus elegits a l’atzar entre una població de malalts d’osteoporosi,760 són dones Propietats de la probabilitat Curs 2012-13 URV
Probabilitat condicionada S’anomena probabilitat deAcondicionada aB,al valor de la probabilitatdeAsabent quel’esdevenimentBja ha succeït: Curs 2012-13 URV
Exemple: De la mostra anterior de 1000 malalts d’osteoporosi, tenim 270 fumadors dels quals 190 son dones. Probabilitat condicionada • Quina es la probabilitat de que un malalt sigui fumador si sabem que es dona? • P(fumar|dona) = P(dona ∩ fumar) / P(dona) = 0.19/0.76 = 0,25 • Quina es la probabilitat de que un malat fumador sigui dona? • P(dona|fumar) = P(dona ∩ fumar) / P(fumar) = 0.19/0.27 = 0,704 Elegim a un individu a l’atzar de la població de malalts. • Quina probabilitat hi ha de que sigui una dona i que sigui fumadora? • P(dona ∩ fumar) = P(dona) P(fumar|dona) = 0.76 x 0.25 = 0,19 • Quina probabilitat hi ha de que sigui un home i que sigui fumador? • P(home ∩ fumar) = P(home) P(fumar|home) = 0.24 x 0.333 = 0,08 Curs 2012-13 URV
Probabilitat condicionada • Dos esdeveniments A i B son independents si el fet de que es presenti un d’ells, no afecta a la probabilitat de que es presenti l’altre: • P(A|B) = P(A) • P(B|A) = P(B) • P(A ∩ B) = P(A) P(B) • Dos esdeveniments A i B son equiprobables si: • P(A) = P(B) • Dos esdeveniments A I B son incompatibles si: • P(A ∩ B) = 0 Curs 2012-13 URV
A A B B Probabilitat condicionada P(A) = 0’25 P(B) = 0’10 P(A∩B) = 0’08 P(A) = 0’25 P(B) = 0’10 P(A∩B) = 0’10 Probabilitat de A sabent que ha succeït B? P(A|B)=1 P(A|B)=0’8 Curs 2012-13 URV
A A B B Probabilitat condicionada P(A) = 0’25 P(B) = 0’10 P(A∩B) = 0’005 P(A) = 0’25 P(B) = 0’10 P(A∩B) = 0 Probabilitat de A sabent que ha succeït B? P(A|B)=0’05 P(A|B)=0 Curs 2012-13 URV
Teorema de la probabilitat total Sigui A1, A2, A3, …, Ak, una partició del espai mostral Ω Ω B A1 A2 Ak Curs 2012-13 URV
Teorema de Bayes El Teorema de Bayes ens permet calcular la probabilitat de que es doni un esdeveniment, sabent que com a resultat final del experiment s’ha produït altre determinat esdeveniment Ω B A1 A2 Ak Curs 2012-13 URV
Exemple: Si en aquesta aula el 70% dels alumnes són dones, entre les dones el 10% són fumadores i entre els homes són fumadors el 20%. Teorema de Bayes • Quin percentatge de fumadors hi ha en total? • P(F) = P(F∩D) + P(F∩H) = P(F|D) P(D) + P(F|H) P(H) = 0’1 x 0’7 + 0’2 x 0’3 = 0’13 = 13% • Si escollim un individu a l’atzar i resulta que és fumador Quina és la probabilitat de que sigui un home? • P(H|F) = P(F ∩ H)/P(F) = P(F|H) P(H) / P(F) = 0’2 x 0’3 / 0’13 = 0’46 = 46% Curs 2012-13 URV
Expressió del problema en forma d‘arbre Fuma 0’1 Dona 0’7 0’9 No fuma P(F) = 0’7 x 0’1 + 0’3 x 0’2 = 0’13 Estudiant Fuma 0’2 0’3 P(H|F) = 0’3 x 0’2 / P(F) = 0’06 / 0’13 Home No fuma 0’8 Curs 2012-13 URV
Combinatoria Curs 2012-13 URV
Combinatoria • Permutacions • Sense repetició • Amb repetició Curs 2012-13 URV
Combinatoria • Variacions • Sense repetició Curs 2012-13 URV
Combinatoria • Combinacions • Sense repetició Curs 2012-13 URV
