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[ CHAOS und FRAKTALE ]

[ CHAOS und FRAKTALE ]. Steffi Cordier - Paulina Paszkiewicz - Uli Quitsch Stefan Quint - Johannes Horlemann - Achim Boltz. I. Chaos?!. [ Chaos und Fraktale ]. Begriff „ Chaos“ 1973 von James A. Yorke geprägt Beschreibung komplexer, dynamischer Systeme,

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[ CHAOS und FRAKTALE ]

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Presentation Transcript

  1. [ CHAOS und FRAKTALE ] Steffi Cordier - Paulina Paszkiewicz - Uli Quitsch Stefan Quint - Johannes Horlemann - Achim Boltz

  2. I. Chaos?! [ Chaos und Fraktale ] Begriff „Chaos“ 1973 von James A. Yorke geprägt Beschreibung komplexer, dynamischer Systeme, die chaotisch wirken, aber durch Formeln beschreibbar sind Laplace bzw.Klare Gesetzmäßigkeiten Determinismus: Linearität strenge Vorhersagbarkeit Kausalitätsprinzip

  3. I. Chaos?! [ Chaos und Fraktale ] Reduktionismus entspricht nicht der Realität hochkomplexe Systeme mit Rückkopplung nie gleiche Bedingungen in der Praxis Sensititve Abhängigkeit(bei chaotischen Systemen) „kleine und kleinste Veränderungen der Anfangsbedingungen können größte Effekte verursachen“ Beispiele: Wettervorhersage, Billardspiel „Schmetterlingseffekt“ Deterministisches Chaos Ein System folgt streng einer Rechenvorschrift, ist aber nicht vorhersagbar.

  4. II. Logistische Abbildung [ Chaos und Fraktale ] Xn = c * Xa (1 – Xa) Beispiel für Populationsentwicklung Logistische Abbildung Xn Populationsdichte Xa Vorjahrespopulation c Anzahl der Nachkommen Diskrete Funktionswerte Iteration ( output als input ) Kleinste Abweichung von c wird verstärkt sensitive Abhängigkeit

  5. II. Logistische Abbildung [ Chaos und Fraktale ] Xn = c * Xa (1 – Xa) 1 < c < 3 stabiler Wert zw. 1 und 0 c > 3 zwei-peak-oszillierend c = 3,45 vier-peak-oszillierend c > 3,57 Periode chaotisch, unendlich

  6. II. Logistische Abbildung [ Chaos und Fraktale ] Xn = c * Xa (1 – Xa) Feigenbaumdiagramm 1 2 1 2 3 3 4 4 Anzahl der Nachkommen

  7. II. Logistische Abbildung [ Chaos und Fraktale ] Xn = c * Xa (1 – Xa) Periodenverdopplung an den Bifurkations- Stellen „Bifurkationsweg ins Chaos“ universell Anzahl der Nachkommen

  8. III. Attraktoren [ Chaos und Fraktale ] Attraktor Systemzustand, auf den ein System sich einschwingt Für best. c läuft Algorithmus auf festen Wert zu Fixpunkt vorhersehbar Grenzzyklus „Seltsamen“ Attraktor in chaotischen Systemen unendlich viele Werte unendlich stark gefaltet fraktal

  9. III. Attraktoren [ Chaos und Fraktale ] „Seltsamen“ Attraktor in chaotischen Systemen unendlich viele Werte unendlich stark gefaltet fraktal Beispiel: Lorenz-Attraktor

  10. IV. Fraktale [ Chaos und Fraktale ]

  11. IV. Fraktale [ Chaos und Fraktale ] „Ein Fraktal ist eine Figur, deren Dimension nicht ganzzahlig ist.“  fraktal = „gebrochen“ Die Dimension eines Fraktals nennt man fraktale Dimension. Gehirn: d = 2,79

  12. IV. Fraktale [ Chaos und Fraktale ] 1/3 Schneeflockenkurve: • Initiator: Linie der Länge 1 • Linie wird gedrittelt und auf das mittlere Drittel wird eine dreieckige Insel der Kantenlänge 1/3 gelegt: Jede neu entstandene Strecke hat nun die Länge 1/3. Man nennt dieses Gebilde auch Generator, da bei jeder neuen Iteration mit jeder Strecke genauso verfahren wird.

  13. IV. Fraktale [ Chaos und Fraktale ] Der Vorgang wird unendlich oft wiederholt, dabei entsteht die sogenannte Schneeflockenkurve, die unendlich lang ist. Dimension: d = 1,26

  14. IV. Fraktale [ Chaos und Fraktale ] Betrachtet man als Initiator ein Dreieck der Länge 1, erhält man eine Koch‘sche Insel bzw. Schneeflocke:

  15. IV. Fraktale [ Chaos und Fraktale ] „Wie lang ist die Küste Britanniens?“ Küste ist unendlich lang, schließt aber einen endlichen Flächeninhalt ein. => d(GB) = 1,26

  16. IV. Fraktale [ Chaos und Fraktale ] Das Farnblatt

  17. IV. Fraktale [ Chaos und Fraktale ] Juliamenge J(c) = { z0 C: (zn) <  mit zn+1 = zn2 + c} mit c  C fest. Wiederholung: Komplexe Zahlen I 1 i  R 1

  18. IV. Fraktale [ Chaos und Fraktale ]

  19. IV. Fraktale [ Chaos und Fraktale ] Selbstähnlichkeit „Wenn eine Menge Untermengen enthält, die sich durch Rotation, Translation und Skalierung in die Obermenge transformieren lassen, ist sie selbstähnlich.“

  20. IV. Fraktale [ Chaos und Fraktale ] Mandelbrotmenge M = { c  C: (zn) <  mit zn+1 = zn2 + c} mit z0 = 0.

  21. IV. Fraktale [ Chaos und Fraktale ]

  22. V. Resumé [ Chaos und Fraktale ] Revolutionäre Bedeutung der Chaostheorie Gegensatz zum streng wissenschaftlich kontrollierbaren Weltbild Viele Bereiche des Lebens betreffend

  23. [ Chaos und Fraktale ] DANKE FÜRS ZUHÖREN! IHR HABT SUPER DURCHGEHALTEN!

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