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Introduction au CHAOS

Introduction au CHAOS. D’ après Larry Liebovitch, Ph.D. Université de Floride Atlantique 2004 – extrait traduit approximativement par D.Seban. Ces deux ensembles de données ont les mêmes. moyennes aspects irréguliers gammes d’intensité. Hasard (random) x(n) = RND. Données 1. CHAOS

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Presentation Transcript

  1. Introduction au CHAOS D’ après Larry Liebovitch, Ph.D. Université de Floride Atlantique 2004 – extrait traduit approximativement par D.Seban

  2. Ces deux ensembles de données ont les mêmes • moyennes • aspects irréguliers • gammes d’intensité

  3. Hasard (random) x(n) = RND Données 1

  4. CHAOS Déterministe x(n+1) = 3,95 x(n) [1-x(n)] Données 2

  5. etc.

  6. Hasard random x(n) = RND Données 1

  7. CHAOS déterministe x(n+1) = 3,95 x(n) [1-x(n)] Données 2 x(n+1) x(n)

  8. CHAOS Définition on prédit cette valeur Déterministe Avec ces valeurs

  9. CHAOS Définition Petit nombre de Variables x(n+1) = f(x(n), x(n-1), x(n-2))

  10. CHAOS Définition Résultat Complexe

  11. CHAOS Propriétés Espace des phases de basse dimension d = 1, chaos d , hasard espace des phases

  12. CHAOS Propriétés Sensibilité aux conditions initiales Valeurs initiales très proches Valeurs finales très différentes

  13. CHAOS Propriétés Bifurcations Petit changement pour un paramètre Un motif Un autre motif

  14. Séries temporelles X(t) Y(t) Z(t) enchassées

  15. Espace des phases Z(t) Y(t) X(t)

  16. Attracteurs dans l’espace des phases Equation logistique X(n+1) = 3,95 X(n) [1-X(n)] X(n+1) X(n)

  17. Attracteurs dans l’espace des phases Z(t) Equations de Lorenz Y(t) X(t)

  18. Le nombre de variables indépendantes est supérieur à la dimension fractale d de l’attracteur Equation logistique espace des phases Séries temporelles d<1 X(n+1) X(n) Ici d < 1, l’équation des séries f(t) qui ont généré cet attracteur depend d’1 variable indépendante.

  19. Le nombre de variables indépendantes est supérieur à la dimension fractale d de l’attracteur Equations de Lorenz séries f(t) espace des phases d =2.03 Z(t) X(n+1) n X(t) Y(t) Ici d = 2.03, l’équation des séries f(t) qui ont généré cet attracteur dépend de 3 variables indépendantes. .

  20. Données 1 Séries temporelles Espace des phases avec attracteur dont la dimension fractale tend vers l’infini Quand , Les séries temporelles ont été générées par un mécanisme aléatoire. d

  21. Données 2 séries temporelles espace des phases d = 1 Quand d = 1 , les séries ont été générées par un mécanisme déterministe.

  22. Espace des phases Construit par des mesures directes: Mesures X(t), Y(t), Z(t) Z(t) Chaque point dans l’espace des phases muni d’un repère, a des coordonnées X(t), Y(t), Z(t) X(t) Y(t)

  23. X(t+2 t) chaque point dans l’espace des phases a des coordonnées X(t), X(t + t), X(t+2 t) X(t+ t) Espace des phases Construit à partir d’une seule variable Théorème de Takens Takens 1981 In Dynamical Systems and Turbulence Ed. Rand & Young, Springer-Verlag, pp. 366 - 381 X(t)

  24. Position et vitesse de déplacement de la membrane d’une cellule ciliée de l’oreille interne Teich et al. 1989 Acta Otolaryngol (Stockh), Suppl. 467 ;265 - 279 10-1 stimulus = 171 Hz vitesse (cm/sec) -10-1 3 x 10-5 déplacement (cm) -10-4 Rappel physiologique : http://www.med.univ-tours.fr/enseign/orl/Otol/aud/phyoi3/phyoi3.html

  25. Position et vitesse de déplacement de la membrane d’une cellule ciliée de l’oreille interne Teich et al. 1989 Acta Otolaryngol (Stockh), Suppl. 467 ;265 - 279 3 x 10-2 stimulus = 610 Hz vitesse (cm/sec) -3 x 10-2 déplacement (cm) 5 x 10-6 -2 x 10-5

  26. Cellules myocardiques de poussin micro-électrode Glass, Guevara, Bélair & Shrier. 1984 Phys. Rev. A29:1348 - 1357 v source électrique voltmètre cellule cardiaque de poussin

  27. Cellules myocardiques de poussin Battement spontané, pas de stlimulation externe voltage temps

  28. Cellules myocardiques de poussin Stimulées périodiquement 2 stimulations - 1 battement 2:1

  29. Cellules myocardiques de poussin Stimulées périodiquement 1 stimulation - 1 battement 1:1

  30. Cellules myocardiques de poussin Stimulées périodiquement 2 stimulations - 3 battements 2:3

  31. Le Pattern de battement des cellules myocardiques de poussin Glass, Guevara, Bélair & Shrier.1984 Phys. Rev. A29:1348 - 1357 Stimulation périodique - réponse chaotique

  32. Le Pattern de battement des cellules myocardiques de poussin poursuivi = phase de battement en fonction du stimulus phase vs. phase précédente expérience théorie (carte en arcs de cercle) 1.0 0.5 i + 1 0 0.5 1.0 0 0.5 1.0 i

  33. Le Pattern de battement des cellules myocardiques de poussin Glass, Guevara, Belair & Shrier.1984 Phys. Rev. A29:1348 - 1357 Tant que la courbe dans l’espace des phases est de dimension 1, la synchronisation entre les battements de ces cellules peut être décrite par une relation déterministe.

  34. Procédure • Séries temporelles Par ex. le voltage en fonction du temps • Représenter les séries temporelles en un objet géométrique (=variété topologique). Cette opération s’appelle “enchassement” (embedding)

  35. Procédure • Déterminer les propriétés topologiques de cet objet et particulièrement, sa dimension fractale • Dimension fractale élevée = hasard Dimension fractale basse = Chaos déterministe

  36. La dimension fractale n’est paségale à la dimension fractale!

  37. Dimension fractale d:combien de nouveaux détails de la série temporelle apparaissent quand ils sont observés à une échelle de résolution temporelle plus fine. X temps

  38. Dimension fractale:La dimension d de l’attracteur dans l’espace des phases est corrélé au nombre de variablesindépendantes x(t+2 t) d X x(t) x(t+ t) temps

  39. Mécanisme qui génère les données Chance d(espace des phases) Données ? x(t) Déterminisme d(espace des phases) = faible t

  40. Lorenz1963 J. Atmos. Sci. 20:13-141 (Rayleigh, Saltzman) Modèle Air froid Air Chaud

  41. Lorenz1963 J. Atmos. Sci. 20:13-141 Equations

  42. Lorenz1963 J. Atmos. Sci. 20:13-141 X = vitesse de la circulation convective X > 0 sens horaire, X < 0 sens anti-horaire Y = différence de température entre les flux montants et descendants Equations

  43. Lorenz1963 J. Atmos. Sci. 20:13-141 Z = température du bas vers le haut moins le gradient linéaire Equations

  44. Lorenz1963 J. Atmos. Sci. 20:13-141 Espace des phases Z X Y

  45. Attracteur de Lorenz Cylindre d’air tournant dans le sens anti-horaire cylindre d‘air tournant dans le sens horaire X < 0 X > 0

  46. Sensibilité aux conditions initialesEquations de Lorenz Condition initiale: X= 1. X(t) 0 différent identique X= 1.00001 X(t) 0 IXsommet(t) - Xbase(t)I e t = Exposant de Liapunov

  47. Déterministe non-chaotique X(n+1) = f {X(n)} Précision des valeurs calculées pour X(n): 1,736 2,345 3,254 5,455 4,876 4,234 3,212

  48. Déterministe chaotique X(n+1) = f {X(n)} Précision des valeurs calculées pour X(n): 3,455 3,45? 3,4?? 3,??? ? ? ?

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