Fraktale

1. Fraktale Michał Nowakowski Dariusz Cieślicki Wojciech Maciejewski

2. Fraktal(łac. fractus – złamany, cząstkowy) - w znaczeniu potocznym oznacza: • Obiekt samo-podobny(tzn. taki, którego części są podobne do całości) • Obiekt "nieskończenie subtelny"(ukazujący subtelne detale nawet w wielokrotnym powiększeniu). A w znaczeniu encyklopedycznym oznacza obiekt, dla którego wymiar fraktalny (Hausdorffa-Besicovitcha) jest większy od wymiaru topologicznego.

3. Samopodobieństwo Fraktali - Romanesco Kształt podobny do kształtu całej figury

4. Obiekt nieskończenie subtelny – Trójkąt Sierpińskiego Fraktal ukazuje detale w nieskończonym powiększeniu

5. Rodzaje Fraktali • Zbiór Cantora • Fraktale Sierpińskiego • Trójkąt Sierpińskiego • Dywan Sierpińskiego • Krzywa Kocha • Zbiory Julii • Zbiory Mandelbrota

6. Zbiór Cantora Zbiór Cantorato nieskończony zbiór punktów odcinka jednostkowego [0,1]. Konstrukcja zbioru Cantora jest bardzo prosta: Odcinek dzielimy na trzyrówne odcinki iusuwamy środkowy. Postępujemy tak z każdym z pozostałych dwóch odcinków w nieskończoność. Wraz z kolejnymi krokami liczba odcinków rośnie w nieskończoność, a ich długość dąży do zera. Zbiór Cantora został opracowany w 1883roku, przez niemieckiego matematykaGeorga Cantora. Zbiór ten był odkryty w 1875 przez Henry'ego Smitha. Zbiór Cantora jest najprostszym przykładem fraktala.

7. Zbiór Cantora – poszczególne iteracje

8. Fraktale Sierpińskiego Są to niemal o pół wieku młodsze struktury od zbioru Cantora. Zostały wprowadzone przez polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego (1882-1969), profesora we Lwowie i w Warszawie, jednego z najwybitniejszych polskich matematyków swoich czasów.

9. Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego Trójkąt Sierpińskiego otrzymuje się następująco: w trójkącie równobocznym łączy się środki boków, dzieląc go w ten sposób na cztery mniejsze trójkąty. Trójkąt środkowy usuwa się, a wobec trzech pozostałych trójkątów operację się powtarza, dzieląc każdy z nich na cztery mniejsze trójkąty, usuwając środkowy, a wobec pozostałych czynności się powtarzają. Punkty pozostające po nieskończenie wielu powtórzeniach tej operacji tworzą trójkąt Sierpińskiego

10. Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego

11. Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego w pięciu iteracjach

12. Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego Struktura taka powstaje w następujący sposób: dzielimy kwadrat na dziewięć części i usuwamy jego wnętrze (część środkowego). To samo robimy z pozostałymi ośmioma kwadratami, w kolejnym kroku - z pozostałymi sześćdziesięcioma czterema kwadratami itd.

13. Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego

14. Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego w pięciu iteracjach

15. Krzywa Kocha Figura, obecnie zwana płatkiem śniegu to efekt wkładu do matematyki szwedzkiego matematyka Helge von Kocha. Płatek śniegu powstaje po połączeniu trzech odpowiednio odwróconych egzemplarzy krzywej Kocha. Krzywa ta powstaje w wyniku operacji, które są wykonywane na początku na tzw. inicjatorze. Inicjator dzielimy na trzy równe części, po czym zamiast środkowej części wstawiamy trójkąt równoboczny - o boku równym długości jednej części - i usuwamy jego podstawę.W ten sposób powstała figura nosi nazwę generatora. Kolejne kroki konstrukcji polegają na tym, że każdy odcinek figury dzielimy na trzy części i zamiast części środkowej wstawiamy generator.

16. Krzywa Kocha – pięć iteracji powstawania

17. Krzywa Kocha – cztery iteracje powstawania płatka śniegu

18. Zbiory Julii Zbiory Julii konstruuje się na płaszczyźnie zespolonej. Pierwsze powstały w wyniku przekształceń iteracyjnych wielomianu stopnia drugiego o postaci: Zn+1=Zn2+C, gdzie Z przebiega po liczbach zespolonych zaś C jest zespolonym parametrem określającym wygląd zbioru. Konstruując zbiór Julii, na początek należy przyjąć jakąś wartość C oraz Zn. W kolejnych krokach iteracji otrzymamy:  krok 0: Znkrok 1: Zn 2 + Ckrok 2:(Zn 2 +C)2 + Ckrok 3:((Zn 2 +C)2 + C)2+Ckrok 4:(((Zn 2 +C)2 + C)2+C)2+C

19. Zbiory Julii Okazuje się, że w zależności od "punktu startu" możemy w wyniku iteracji otrzymać ciąg, który będzie bądź nieograniczony(jego elementy opuszczą każdy okrąg ze środkiem w centrum układu współrzędnych) bądź też będzie ograniczony(czyli taki, dla którego istnieje okrąg - o środku w centrum układu współrzędnych - jakiego elementy ciągu nigdy nie opuszczą). Zbiory takich "punktów startu" w obuprzypadkach nazywa się odpowiednio zbiorem uciekinierówlubzbiorem więźniów.

20. Zbiory Julii – zbiór c=-0.7-0.3*i Jest to przykład zbioru nieograniczonego

21. Zbiory Julii – zbiór c=0.32-0.052*i Jest to przykład zbioru ograniczonego

22. Zbiory Julii – zbiór c=-0.86-0.22*i Jest to przykład zbioru ograniczonego

23. Zbiór Mandelbrota Benoit Mandelbrotzastanawiał się jak wygląda zbiór tych parametrów C, dla których zbiór Julii jest spójny. Odpowiedź na to pytanie uzyskał przy użyciu techniki komputerowej.Pierwsze obrazy tego zbioru Mandelbrot opublikował w 1980r, a grafiki te bardzo szybko obiegły cały świat. Ciekawą własnością omawianego zbioru jest jego samopodobieństwo nie tylko do siebie samego, lecz również do odpowiadającemu mu zbioruJulii. Ponadto matematycy udowodnili wiele tak ciekawych jak zaawansowanych matematycznie teorii dotyczących tego sławnego fraktala. Nie oznacza to jednak, że nie pozostało już nic do zrobienia.

24. Zbiór Mandelbrota

25. Zbiór Mandelbrota– podobieństwo do zbioru julii

26. Wymiar Fraktalny Wymiar to jedna z najczęściej wymienianych liczbowych charakterystyk fraktali. Nie jest on jednak pojęciem prostym do zrozumienia, a dodatkowym utrudnieniem jest fakt, że matematycy podają kilka różnych definicji wymiaru: • wymiar samopodobieństwa • wymiar pudełkowy • wymiar cyrklowy • I wiele, wiele innych…

27. Wymiar Samopodobieństwa Dla obiektów które są samopodobne (to znaczy cały obiekt jest podobny do swojej właściwej części w pewnej skali) wymiar fraktalny przyjmuje szczególnie prostą postać: • Niechabędzie oznaczało liczbę mniejszych części z których zbudowany jest obiekt. • Niechsoznacza skalę podobieństwa obiektu ze swoimi mniejszymi częściami.

28. Wymiar Cyrklowy Zwany wymiarem podziałkowym lub linijkowym D definiowany jest jako: Gdzied oznacza nachylenie (współczynnik kierunkowy) wykresu logarytmów, który wykazuje zależność całkowitej mierzonej długości u od wzrostu dokładności pomiaru , gdzie s to jednostka rozstawienia cyrkla. Zależność ta przedstawia się wzorem:

29. Wymiar Pudełkowy Wspomniany pomiar polega na nakryciu interesującego nas obiektu zbiorem kostek (kwadratów w przypadku płaszczyzny, sześcianów w przypadku przestrzeni trójwymiarowej) o bokach równych ε i zwyczajnie zliczamy kostki, które zawierają fragmenty badanego obiektu. Otrzymana ilość N1 kostek takiego zliczania ściśle zależy od długości boku pojedynczej kostki ε, stąd oznaczmy ten wynik jako N1(ε). W kolejnych krokach zmniejszamy stopniowo ε otrzymując tym samym nowe wyniki N2, N3 itd. Następnie sporządzamy wykres określony zależnością:

30. IFS – System iterowania funkcji IFS – mechanizm pozwalający za pomocą kilku parametrów (przesunięcie, obrót, skalowanie) i prostych operacji geometrycznych, tworzyć skomplikowane kształty fraktali. Jak to działa? • Ustalamy pewien obraz początkowy oraz parametry przekształcenia. • Obraz jest powielany, oraz deformowany zgodnie z zadanymi parametrami i zastępowany powstałym po przekształceniu zestawem obrazów. • Dla każdego z nowo powstałych obrazów, aplikowane jest to samo przekształcenie.

31. IFS – Paproć Barnsleya

32. IFS – Drzewo, przykład iteracji w modelowaniu 3D

33. IFS – Choinka, przykład iteracji w modelowaniu 3D

34. Zastosowanie Fraktali • Informatyka – grafika komputerowa – generowanie sztucznych krajobrazów i roślin • Biologia - Zastosowanie do klasyfikacji roślin (wymiary fraktalne liści) • Informatyka - Zastosowania w analizie tekstur, dekompozycja obrazu na podstawie lokalnego wymiaru fraktalnego • Informatyka - Kompresja fraktalna obrazu (znajdowanie IFS dla zadanego prototypu) • Psychologia – Generowanie obrazów nie powodujących żadnych skojarzeń • Biologia- Wyznaczania zmienności bicia serca na podstawie fraktalnej analizy zapisu EKG.

35. Macie jakieś pytania?