Determinisztikus programok

1. Determinisztikus programok

2. Szintaxis: • X :Pvalt program változók • E: Kif kifejezések • B: Lkif logikai kifejezések • C: Uts utasítások

3. Az Uts halmazt alkotó C utasítások absztrakt szintaxisa és elnevezései: skip üres utasítás X:=E (determinisztikus) értékadás (C1;C2) kompozíció (BC1C2) feltételes utasítás (BC) ciklus utasítás

4. Ugyanez a szintaxis megadható B-N-formában is: utasítás ::= skip | program változó:= kifejezés| utasítás;utasítás| if logikai kif then utasítás else utasításfi | whilelogikai kif do utasítás od

5. Operációs szemantika: • X :Valt  Pvalt változók • d: Dadatok • s: S = ValtDállapotok (változótartalmak) • : = (S  Uts)  S konfigurációk • op :Uts  P() operációs átmeneti reláció

6. Kifejezések interpretálása (szemantikája): • I : Kif  (S  D) kifejezések szemantikája • E = I(E) • I : LKif  P(S) logikai kifejezések • szemantikája • B = I(B)

7. A konfiguráció egyrészt megadja, hogy a változók milyen értékeket tartalmaznak, másrészt hol tart a végrehajtás, azaz milyen utasítást kell még végrehajtani. Az utasítások operációs szemantikája (op) az utasítás végrehajtása során megtehető (atomi) lépéseket definiálja: milyen konfigurációból milyen konfigurációkba juthatunk egyetlen lépés megtételével.

8. op(skip) = { s,skip , s  : sS} op(X:=E) = { s,X:=E , s(X:=E(s))  : sS} op(C1;C2) = {  s´,(C´;C2) , s´´,(C´´;C2)  :  s´,C´ , s´´,C´´ op(C1)}  { s´,(C´;C2) , s´´,C2  :  s´,C´ , s´´ op(C1)}  op(C2)

9. op(BC1C2) = {s,(BC1C2),s,C1 : sB}  {s,(BC1C2),s,C2 : s¬B}  op(C1) op(C2) op(BC) = {s,(BC),s,(C;(BC)) : sB}  {s,(BC),s : s¬B}  {s´,(C´; (BC)),s´´,(C´´;(BC)) : s´,C´,s´´,C´´op(C)}  {s´,(C´; (BC)),s´´,(BC) : s´,C´,s´´op(C)}

10. Denotációs szemantika

11. Utasítások (denotációs) szemantikája egy ún. hatásreláció, amely azt adja meg, hogy az utasítás (végrehajtása) az egyes állapotokból (a változók végrehajtás előtti tartalma = bemenet) milyen állapotokat (a változók végrehajtás utáni tartalma = kimenet) állíthat elő. I : Uts P(SS) utasítások szemantikája I(C) = C = {s´,s´´ : s´,C,s´´op(C)*}

12. Tételek : skip= {s,s : sS} X:=E= {s,s(X:=E(s)) : sS} (C1;C2)= C1°C2 (BC1C2) = ((BS)  C1)  (((¬B)S)  C2) (BC) = ((BS)  C)* (S(¬B)) = lkfp[X.((¬B)(¬B))  (((BS)  C)°X)]

13. Parciális helyesség

14. feltételek : p,q : Felt = P(S) • feladatok : p,q : Fdt = FeltFelt • parciális helyesség (függvény) : {p}C{q} : FeltUtsFelt  {igaz, hamis} • {p}C{q} = ((pS)  C)  (Sq)

15. Floyd-Naur A parciális helyesség lépésenkénti bizonyítása

16. Lemma • Ha p, p', qP(E) (azaz E feletti unér relációk), és rP(EE) (azaz E feletti binér reláció), akkor az alábbi állítások ekvivalensek: • ((pp')  r*)  (Eq) • iP(E). (p  i)  (((iE)  r)  (Ei))  ((ip')  q)

17. Átfogalmazás p, p', qP(E) tulajdonságok,rP(EE) E-n végrehajtható atomi műveletek halmaza, ((pp')  r*)  (Eq) átfogalmazása: Ha egy p tulajdonságú elemből véges sok (esetleg 0) atomi művelet alkalmazásával eljuthatok egy p' tulajdonságú elemhez, akkor ez az elem q tulajdonságú is lesz.

18. iP(E). (p  i)  (((iE)  r)  (Ei))  ((ip')  q) átfogalmazása: • Létezik olyan i tulajdonság, amelyre teljesülnek a következők: • minden p tulajdonságú elem i tulajdonságú. • az i tulajdonság invariáns az r-beli műveletekkel szemben • az i tulajdonságú elemek közül a p' tulajdonságúak q tulajdonságúak is.

19. C = {s´,s´´ : s´,C,s´´op(C)*} {p}C{q} = ((pS)  C)  (Sq) A lemma alkalmazása a parciális helyesség esetére: E = p = p,C p' = S r = op(C) q = q {p}C{q} =((pp')  r*)  (Eq) = = ((p,CS)  op(C)*)  (q)

20. {p}C{q} = iP(). (p,C i)  (((i)  op(C))  (i)) ((iS)  q), azaz • {p}C{q} pontosan akkor igaz, ha a konfigurációk-nak létezik egy olyan i(globális invariáns) tulaj-donsága, amelyre igazak a következők: • minden p tulajdonságú s állapot esetén s,C itulajdonságú. • az i tulajdonság invariáns az op(C)-beli atomi műveletekkel szemben • az i tulajdonságú konfigurációk közül az S-beliek q tulajdonságúak.

21. Egy -n definiált i globális invariánsból az utasítások rögzítésével S-en értelmezett lokális invariánsok definiálhatók, és fordítva. • A Floyd-Naur-módszer: • definiáljuk a lokális invariánsokat • állítsuk elő belőlük az i globális invariánst • bizonyítsuk az i-re vonatkozó tulajdonságokat.

22. Hoare-logika : {p} skip {p} = igaz {{sS : s(X:=E(s))q}} X:=E {q} = igaz {p} (C1;C2) {q} = = rFelt.({p} C1 {r}  {r} C2 {q}) {p} (BC1C2) {q} = = {p  B} C1 {q}  {p  ¬B} C2 {q} {p  B} C {p} {p} (BC) {p ¬B} {p}C{q} = (p'Felt. q'Felt. (pp')  {p'}C{q'} (q'q)) {p}(B*C){q} = iFelt. (pi)  {iB}C{i} ((iB)q)

23. Induktív kifejezések : {P} C {Q}, ahol P, Q formulák, C utasítás. Axióma sémák : {P} skip {P} skip axióma {Q(XE)} X:=E {Q} értékadás axiómája Hoare-féle kalkulus a parciális helyesség bizonyításához

24. Levezetési szabályok: {P} C1 {R}, {R} C2 {Q}kompozíciós {P} (C1;C2) {Q} szabály {PB} C1 {Q}, {P¬B} C2 {Q} feltételes {P} (BC1C2) {Q} szabály {PB} C {P} ciklus (while) {P} (BC) {P ¬B} szabály PP´, {P´}C{Q´}, Q´Q következmény {P} C {Q} szabály A while-szabályban a P-t ciklusinvariánsnak nevezzük.

25. Tétel : A Hoare-féle kalkulus helyes: Ha a {P} C {Q} induktív kifejezés levezet- hető, akkor {P} C {Q} = igaz. Tétel : A Hoare-féle kalkulus szemantikailag teljes: Ha {P} C {Q} = igaz, akkor léteznek a levezetéshez szükséges feltételek (de nem biztos, hogy formalizálhatóak).

26. Példa : Induktív kifejezés és levezetése

27. {x>0} • y:=x; z:=1; • while y>1 do z:=z*y; y:=y-1 od; • {z=x!} • {x>0} • {x!=x!} • y:=x; • {y!=x!} • {1*y!=x!} • z:=1; • {z*y!=x!} • {z*y!=x!} • while y>1 do • {z*y!=x!  y>1} • {z*y*(y-1)!=x!} • z:=z*y; • {z*(y-1)!=x!} • {z*(y-1)!=x!} • y:=y-1 • {z*y!=x!} • {z*y!=x!} • od; • {z*y!=x!  y1} • {z=x!} D = Z       

28. Rekurzív, paraméter nélküli programok

29. Szintaxis: • Pn :Proc eljárás nevek • Pg: Prog programok • C: Uts utasítások

30. Az Uts halmazt alkotó C utasítások újabb eleme: Pn eljáráshívás A Prog halmazt alkotó Pg program absztrakt szintaxisa: Pn::C1:C2

31. Relációs szemantika

32. A program (denotációs) szemantikája az utasítások relációs szemantikája segítségével definiálható. Ebben az utasítás szemantikája függ az eljárás hatásrelációjától, az r relációtól. I : Uts (P(SS)P(SS)) Jelölés: I(C) = C(r)

33. Definíció: skip(r)= {s,s : sS} X:=E(r)= {s,s(X:=E(s)) : sS} (C1;C2)(r)= C1(r)°C2(r) (BC1C2)(r)=(((BS)  C1(r))  ((¬B)S)  C2(r))) (BC)(r) = ((BS)  C(r))* (S(¬B)) Pn(r) = r Pn::C1:C2 = C2(lkfp(C1))

34. A rekurzió szabálya: {P} Pn {Q}  {P} C1 {Q} {P} Pn {Q}