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DERIVAÇÃO DE UM SISTEMA BÔNUS-MALUS. UMA ABORDAGEM USANDO A TEORIA DA DECISÃO. X é uma var. aleat. Relacionada com um parâmetro w (w e X S) D é o conjunto de decisões possíveis A distrib. de X quando W=w, é especificada para cada valor de w
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DERIVAÇÃO DE UM SISTEMA BÔNUS-MALUS UMA ABORDAGEM USANDO A TEORIA DA DECISÃO
X é uma var. aleat. Relacionada com um parâmetro w (w e X S) • D é o conjunto de decisões possíveis • A distrib. de X quando W=w, é especificada para cada valor de w • L é a função perda (determina um nº real para perda incorrida quando W=w e tomamos uma decisão (x)
OBJETIVO • ESCOLHER UMA FUNÇÃO DECISÃO QUE ESPECIFIQUE PARA CADA VALOR DE xS UMA DECISÃO (x)D
: classe de todas as funções decisão • :função distribuição de probabilidade de W • A função de risco da decisão quando W=w fica sendo dada por: • A função de risco de fica sendo
Definindo-se * como sendo a função decisão tal que: • NESTE CASO * É DEFINIDA COMO FUNÇÃO DECISÃO DE BAYES EM RELAÇÃO A
FUNÇÃO DE DECISÃO DE BAYES • UMA FUNÇÃO QUE MINIMIZA O RISCO PODE SER OBTIDA MINIMIZANDO A INTEGRAL INTERNA PARA CADA x S
Uma função de decisão de Bayes * em relação à pode ser construída como: • Para cada valor de x S, seja *(x)=d* onde d* é qualquer função de decisão em D que minimiza a integral
MINIMIZAR A INTEGRAL ACIMA É EQUIVALENTE A MINIMIZAR ONDE PELO TEOREMA DE BAYES
LOGO A FUNÇÃO DE DECISÃO DE BAYES É AQUELA QUE MINIMIZA A PERDA ESPERADA EM RELAÇÃO À DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE A POSTERIORI DE W, OU SEJA, MINIMIZA
OBJETIVO • NO TEMPO t+1 ENCONTRAR O MELHOR ESTIMADOR PARA • CONSIDERANDO
A seqüência t (t=1,2,...,) forma o jogo estatístico • Onde:
Admitindo uma distribuição para • f.d.p u() e com f.d. U() • OBJETIVO: minimizar o risco esperado do processo
Adotando a perda quadrática: • Temos que será aquele que minimizar: O estimador que minimiza o risco do processo é dado por:
Considerando • Temos que a distribuição a posteriori para será
Logo • Com:
ESTIMADORES PARA E • PELO MÉTODO DOS MOMENTOS:
PROPRIEDADES DE • A longo prazo é perfeitamente discriminante • Atende os pressupostos da Teoria da Credibilidade
APLICAÇÃO • O FATOR f DETERMINARÁ O AGRAVO/DESAGRAVO NA TAXA DE ACORDO COM O HISTÓRICO DO SEGURADO