Paradoks nieskończoności

1. Opracowała grupa 97/35_mf1 Paradoks nieskończoności

2. Paradoks • Jednym z celów nauczania matematyki jest nauczyć poprawnego rozumowania i wnioskowania. Materiałem, na którym uczymy się w szkole wnioskować i rozumować, są w matematyce twierdzenia. Twierdzenia bywają różnorakie. Niektóre wydają się pozornie sprzeczne z powszechnie przyjętymi sądami, tym niemniej są prawdziwe. Nazywamy jeparadoksami. Inne tylko pozornie wydają się prawdziwe, w rzeczywistości są zaś fałszywe. Nazywamy je sofizmatami.

3. Nieskończoność • Nieskończoność (symbol: ∞) • byt nieograniczony (w sensie wielkości bądź ilości), który przyjęło się oznaczać za pomocą znaku nieskończoności, , symbolem podobnym do przewróconej ósemki (lemniskata). Sam symbol zapewne oznacza powtarzalność cyfr w liczbach jak również to że całkowita suma cyfr w liczbie dąży do określonej cyfry od 1 do 9 gdyż system dziesiętny jest ogólnie przyjętą symboliką.

4. Historia pojęcia nieskończoność • Nieskończoność rozważana była już od czasów starożytności. Przez długi czas podchodzono do niej bardzo nieufnie - szybko zorientowano się, że pojęcie to prowadzi do wielu paradoksów (z których najbardziej znane to paradoksy Zenona z Elei). Zauważano także takie absurdy, jak fakt, że liczb naturalnych i kwadratów liczb naturalnych jest tyle samo, co przeczyło intuicji, która mówiła, że część musi być mniejsza od całości.

5. Badania nad nieskończonością • Badania pojęcia nieskończoności ograniczano jedynie do przypadku tak zwanej nieskończoności potencjalnej - zbiór jest nieskończony potencjalnie, jeżeli dla dowolnej liczby naturalnej n zawiera więcej niż n elementów. Z takim rozumieniem nieskończoności mamy do czynienia na przykład w analizie matematycznej, kiedy mówimy o granicy. Mówiąc, że ciąg (an) dąży do granicy g, gdy n dąży do nieskończoności, mamy na myśli fakt, że wyrazy (an) są dowolnie bliskie g dla odpowiednio dużych n. Nie zakładamy tu wcale istnienia żadnego nieskończonego bytu, a jedynie nieustającą możliwość powiększania (i analogicznie: nieustającą możliwość pomniejszania).

6. Nieskończoność w matematyce • w XIX wieku niemiecki matematyk Georg Cantor poważnie potraktował ideę aktualnej nieskończoności, a więc nieskończoności istniejącej jako samodzielny i konkretny byt. W tym rozumieniu nieskończoność jest pewnym obiektem, na którym możemy dokonywać operacji i który możemy porównywać z innymi obiektami. W istocie Cantora skłoniło do tych rozważań właśnie odkrycie, że jeżeli w pewien sposób zdefiniuje się dla zbiorów pojęcie równej liczby elementów, to niektóre zbiory nieskończone są liczniejsze niż inne.

7. Nieskończoności w tym rozumieniu nie tylko istnieją, ale też różnią się od siebie liczbą elementów. Istnieje właściwie nieskończenie wiele nieskończoności. Ściślej mówiąc, rozważać można nieskończoną hierarchię mocy zbiorów nieskończonych, tak zwaną hierarchię liczb kardynalnych. Kolejne moce zbiorów nieskończonych (liczby kardynalne) oznacza się symbolem pierwszej litery alfabetu hebrajskiego alef indeksowanym kolejnymi liczbami porządkowymi:

8. Paradoks nieskończoności • Stwierdzenie, że byt jest nieskończony - zarówno w przestrzeni, jak i w czasie - jest paradoksem, na który zwrócił uwagę już Kant w swych antynomiach czystego rozumu. Jedną z tych antynomii jest antynomia nieskończoności. Kant mówi, iż zdanie: “byt miał swój początek w czasie” jest absurdalne, bo zawsze można zapytać, a co się działo tuż przed owym początkiem. Ciekawszy jest wywód Kanta, o absurdalności przeciwnego zdania: “świat jest nieskończony”. Gdyby świat był nieskończony nie mogłoby dojść do żadnego zdarzenia aktualnego, na przykład do mojego tu wykładu. Nieskończoność jest bowiem ‘nieskończona’. Zanim zatem doszłoby do chwili obecnej, musiałaby upłynąć nieskończona ilość chwil, przez które świat musiałby jakoś przebrnąć. Zatem nigdy do końca nie mógłby dopełnić się proces, który by doprowadził do stanu obecnego. Nieskończoność bowiem, jako nieskończona, nie mogłaby się zamknąć chwilą obecną.

9. Inna wersja paradoksu nieskończoności mówi, iż gdyby świat był w czasie nieskończony wszystko musiałoby się już zdarzyć i to nieskończoną ilość razy. Samo pojęcie nieskończoności nawet w matematyce uchodzi za jedno z najbardziej niejasnych i problematycznych. Czy można o jakiejkolwiek nieskończoności powiedzieć, że “jest”? Sprzeczne to jest z samą naturą czasownika “jest”. Zawsze bowiem do tego, co jest, dodać możemy jeszcze jedno, jeśli poważnie myślimy o nieskończoności. 

10. Nieskończoność to raczej pewna potencja, możliwość nieskończonego “dodawania”, niż coś, co już ‘jest’ realnie. Czy możemy jednak powiedzieć, że coś jest nieskończone w świecie realnym? Słowo “jest” zdaje się tu przeczyć słowu “nieskończone”. Nieskończone musi być większe od każdego, co “jest” choćby nie wiadomo jak wielkiego. Nieskończoność możemy pomyśleć jako proces, gdzie do największej wymyślonej przez nas liczby zawsze dodać możemy jeszcze większą, ale nigdy nie napiszemy takiej liczby, która zamknie zbiór nieskończony, o którym moglibyśmy powiedzieć, że on “jest”.

11. Jest prawdą - pisze współczesny autor rozprawy o nieskończoności - że w naszym codziennym życiu nie spotykamy się z wielkościami nieskończonymi. Nic nie porusza się z nieskończoną prędkością. Nie ma nieskończonej liczby gwiazd na niebie ani nieskończonej liczby ziaren piasku na plaży. (...)W języku potocznym słowo "nieskończony" jest wciąż używana jako synonim czegoś, co jest poza zasięgiem ludzkiego pojmowania.

12. Przykłady paradoksów Odcinek AP=½ odcinka AB, ale liczba punktów znajdujących się na odcinku AP jest taka sama jak liczba punktów na odcinku AB (wyrażając to ściśle językiem matematycznym powiedzielibyśmy, że zbiór punktów odcinka AP ma taką samą moc jak zbiór punktów odcinka AB). Twierdzenie to wydaje się nam co najmniej dziwne, jest jednak prawdziwe. Mamy więc do czynienia z paradoksem.

13. Jeżeli krążek o promieniu r = 10 cm opaszemy nicią i zmierzymy jej długość, stwierdzimy, że wynosi ona około 62,8 cm (2πr = 6,28 cm). Długość równika ziemskiego wynosi około 40 000 km = 4 000 000 000 cm. Jeżeli teraz opaszemy nasz krążek nicią o 10 cm dłuższą, o długości 72,8 cm, to między krążkiem a nicią powstanie luz. To samo nastąpi, jeżeli równik ziemski opaszemy taśmą  długości 4 000 000 010 cm. Powstanie również luz. okazuje się, że w obu przypadkach szerokość luzu będzie taka sama. I znowu paradoks. Obwód krążka = 2πr; obwód powiększony o 10 cm = 2πr + 10 cm. Luz równa się różnicy:

14. Takie same obliczenia dla równika Ziemi (promień R) dadzą: A więc luz będzie w obu przypadkach równy i tak duży, że będzie przez niego mogła przejść pszczoła.

15. Liczb naturalnych jest tyle samo co liczb parzystych nieujemnych (wyrażając to znowu ściśle językiem matematycznym powiedzielibyśmy, że moc zbioru liczb naturalnych jest równa mocy zbioru liczb nieujemnych parzystych). Znowu paradoks. Wydaje się przecież, że tych pierwszych liczb jest więcej niż drugich.Poniższy rysunek pokazuje bowiem, że każdej liczbie naturalnej można przyporządkować dokładnie jedną liczbę parzystą nieujemną i na odwrót, każdej liczbie parzystej nieujemnej można przyporządkować dokładnie jedną liczbę naturalną. Inaczej mówiąc, można liczby z tych zbiorów połączyć w pary, muszą więc być one równoliczne.

17. Paradoks głosowania (paradoks ) polega na tym, że preferencje grupy wyborców mogą być cykliczne - czyli że relacja "większość preferuje X nad Y" nie jest przechodnia, nawet jeśli dla każdego wyborcy "wyborca preferuje X nad Y" tak właśnie jest. Na przykład preferencje wyborców dla 3 kandydatów to, od najbardziej preferowanego: Wyborca 1 - A B C Wyborca 2 - B C A Wyborca 3 - C A B Jak widać 2/3 wyborców uważa że A jest lepszy niż B, 2/3 uważa że B jest lepszy niż C, i 2/3 uważa że C jest lepszy niż A.

18. Załóżmy, że obecnie obowiązującym rozwiązaniem jest wariant A. Zgodnie jednak z hierarchią swoich preferencji, zarówno Wyborca 2, jak i Wyborca 3 preferują rozwiązanie C nad rozwiązaniem A (jest ono w przypadku obu tych wyborców wyżej w hierarchii ich preferencji). Zatem porozumieją się oni, przegłosują Wyborcę 1 i ustanowią nowe rozwiązanie w postaci wariantu C. W sytuacji, w której obowiązującym rozwiązaniem jest wariant C, dwóch wyborców - pierwszy i drugi preferują wariant B nad obowiązującym wariantem C. Dlatego tym razem Wyborcy 1 i 2 porozumieją się przeciwko Wyborcy 3 i przegłosują wprowadzenie rozwiązania B. Jak łatwo zauważyć Wyborcy 1 i 3 wolą jednak rozwiązanie A od rozwiązania B, dlatego też w sytuacji gdy obecnie obowiązującym rozwiązaniem jest wariant B, porozumieją się oni i przegłosują wprowadzenie wariantu A, powracając w ten sposób do punktu wyjścia. Głosowanie będzie więc miało charakter cykliczny i z tego powodu będzie niekonkluzywne. Nie istnieje trwałe rozwiązanie dla takiego układu preferencji, pomimo tego, że każdy z wyborców z osobna ma spójny system preferencji.