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Director de tesis: Luis L. Bonilla Departamento de Matemáticas,

. Estudio numérico y asintótico del efecto Gunn en varias dimensiones descrito por el modelo de Kroemer de convección-difusión. Lectura de Tesis Doctoral. Director de tesis: Luis L. Bonilla Departamento de Matemáticas, Escuela Politécnica Superior, Universidad Carlos III de Madrid. Diodos Gunn.

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Director de tesis: Luis L. Bonilla Departamento de Matemáticas,

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  1. ..

  2. Estudio numérico y asintótico del efecto Gunn en varias dimensiones descrito por el modelo deKroemer de convección-difusión Lectura de Tesis Doctoral Director de tesis: Luis L. Bonilla Departamento de Matemáticas, Escuela Politécnica Superior, Universidad Carlos III de Madrid

  3. Diodos Gunn SHF Microwave Parts Co.

  4. Diodos Gunn - Aplicaciones • medidores de frecuencias • transmisores y receptores • interruptores • radares • detectores de movimiento • faros ...

  5. Interés Matemático • Oscilaciones autosostenidas • Duplicación del periodo • Bloqueos de la frecuencia • Estructuras caóticas • Modelos de EDP’s no lineales rutas al caos, lenguas de Arnold ... con ecuaciones integrales acopladas, condiciones de contorno complicadas, dominios no triviales, soluciones que desarrollan ondas de choque ...

  6. Herramientas • Análisis Asintótico • Métodos Numéricos • Estudio de Sistemas Dinámicos • Problemas de Frontera Libre

  7. Esquema I. El efecto Gunn II. El modelo III. El caso 1½D IV. El caso 2D V. El problema de frontera libre VI. Conclusiones Teoría y experimentos Nuevos patrones • Ecuaciones • Geometrías • Planteamiento • Resolución 1D, 1½D • Simulaciones numéricas • Estados estacionarios • Análisis asintótico • Conclusiones • Problemas abiertos

  8. E(x,t) I. El efecto Gunn Experimentos de J. B. Gunn (1963) A X X=L V I(t) X=0 I V t

  9. I. El efecto Gunn El Mecanismo de transferencia entre valles (Ridley-Watkins 1961, Hilsum 1962) Diagrama de bandas deln-GaAs Mayor campo eléctrico mayor masa efectiva: Mayor masa efectiva Banda de conducción no lineal Menor movilidad Banda de valencia Menor velocidad media

  10. I. El efecto Gunn Curva de velocidad de los electrones debida a un campo eléctrico (Kroemer 1964)

  11. I. El efecto Gunn Esquema del circuito eléctrico Reorganización de los electrones en una muestra de n-GaAs sometida a una diferencia de potencial constante: Zona normal Zona de acumulación Zona vacía Zona normal V

  12. I. El efecto Gunn La onda del campo eléctrico Ecuación de Poisson: luego:

  13. Experimentos Patrón 1D B. Willing, J. C. Maan (1994) Geometría: • muestra rectangular • de GaAs SI • contactos planos • situados en los bordes (imágenes: tesis de Willing)

  14. Experimentos - Patrón 1D Oscilaciones periódicas de la corriente Velocidad de la onda: constante

  15. ExperimentosPatrón 1½D cátodo ánodo B. Willing, J. C. Maan (1994) Geometría: • muestra rectangular • de GaAs SI • contactos circulares • situados en el interior (imágenes: tesis de Willing)

  16. Resultado: Experimentos – Patrón 1½D evolución temporal: 1, 2, 3, 4.

  17. Experimentos – Patrón 1½D Oscilaciones periódicas de la corriente Patrón radial: • la onda es un anillo • desaparece en el interior La onda acelera

  18. II. El modelo de Kroemer para el efecto Gunnen muestras multidimensionales de n-GaAs • Variables: n(x,t): Concentración de electrones j(x,t): Potencial eléctrico alternativamente:E(x,t): Campo eléctrico irrotacional: • Parámetros: L: separación entre contactos f: voltaje aplicado rc: radio típico de los contactos vs: velocidad de saturación d: coeficiente de difusión r: resistividad de los contactos

  19. II. El modelo multidimensional • Ecuaciones: En unidades adimensionales 1. Ecuación de la continuidad de la carga: 2. Ecuación de Poisson:

  20. II. El modelo multidimensional • Alternativamente: En unidades adimensionales Ecuación de Ampère: 3. Ecuación de Ampère j = la corriente total sólo depende de t

  21. donde N es la normal a S. II. El modelo multidimensional Condiciones de contorno: • En los contactos Sc (cátodos) y Sa (ánodos): voltaje constante: ley de Ohm: • En el borde de la muestra: Neumann homogéneas:

  22. II. El modelo multidimensional Difusión:  < <1, luego: • Estudios analíticos 1½D:  =0 Los efectos de la difusión están confinados en la capa límite del ánodo, caso idéntico al 1D. Bonilla, Higuera, Phys. D 52 (1991) Higuera, Bonilla, Phys. D 57 (1992) • Simulaciones numéricas 1½D y 2D:  =0.013 Para suavizar las ondas de choque.

  23. Resultados de existencia, unicidad y regularidad: • En 1D: J. Liang, SIAM J. Math. Anal. Vol. 25, No. 5 (1994) - en n-GaAs: - en p-Ge: Bonilla, Hernando, Herrero, Kindelan, Velázquez Phys. D 108 (1997) Problema abierto • En 1½D y 2D:

  24. II. El modelo multidimensional Estudios previos: -- TODO EN 1D -- Hasta los años 90: -- de dos tipos -- El análisis asintótico es de los años 90: 1. Simulaciones numéricas: - Bonilla e Higuera Phys. D 52 (1991), 57 (1992) • Kroemer (1964-68) • McCumber, Chynoweth (66) - Bonilla, Hernando, Herrero, Kindelan, Velázquez 2. Teoría, con J=cte y L=: Phys. D 108 (1997) • Knight, Peterson (66-67) • Butcher (65-67) - Bonilla, Cantalapiedra, Gomila, Rubí • Shaw, Grubin, Solomon (79) Phys. Rev. E 56 (1997)

  25. II. El modelo en 1D El modelo en 1D - Geometría el circuito E(x,t) A X I f X=0 X=L el modelo L E x L 0

  26. II. El modelo en 1D El modelo en 1D - Ecuaciones Variables:E(x,t): campo eléctrico J(t) : densidad de corriente Ecuación de Ampère Condición del bias Condiciones de contorno Condición inicial

  27. II. El modelo en 1D El modelo en 1D - Simulación E 0 x 50 7 10. 50 Magnitudes constantes: x • la altura de la onda • y su velocidad 0. 0 • la corriente durante • el viaje de la onda J(t) 500 0 t

  28. Objetivo de la tesis Descripción numérica Estados estacionarios Análisis asintótico Estudiar el caso 2D: 1er paso: 2do paso: Soluciones radiales (1½D) Soluciones 2D

  29. Resultados • III. El caso 1½D • IV. El caso 2D • V. El problema de frontera libre • Descripción numérica ----------------- Cap. 4 • Estados estacionarios ----------------- Cap. 5 • Análisis asintótico --------------------- Cap. 6 • Descripción numérica ----------------- Cap. 7 • Enunciado y solución 1D, 1½D ------- Cap. 8

  30. III. El caso 1½D El caso 1½D - Geometría Discos de Corbino Problema en 1D L rc L= ra-rc E ra rc r ra rc: cátodo ra: ánodo

  31. III. El caso 1½D Enunciado del caso 1½D E(x,t): campo eléctrico J(t): densidad de corriente Variables: Ecuación de Ampère Condición del bias Condiciones de contorno Condición inicial

  32. Algoritmo III. El caso 1½D Simulaciones numéricas: • Formulación matricial: • dos sistemas tridiagonales con la misma matriz T: • T . y = s • T . z = v • más dos operaciones. • Diferencias finitas • Semi-implícito • Orden 1 en el tiempo • Orden 2 en el espacio • Formulación matricial: [A. Carpio, P. J. Hernando, M. Kindelan, SIAM J. Numer. Anal. 39, 168 (2001)]

  33. III. El caso 1½D Simulaciones numéricas r = 2, d = 0.013, rc=10, ra=90. Característica corriente-voltaje vs=0 Régimen I: Régimen II: Régimen III: Sols. estacionarias parafbajo < fa Sols. oscilatorias parafa<f< fw Umbral de las oscilaciones fa fw Sols. estacionarias parafalto > fw fw= + si vs = 0 fw< + si vs > 0

  34. III. El caso 1½D Simulaciones numéricas Característica corriente-voltaje vs=0 Riqueza de comportamientos: Oscilaciones periódicas Oscilaciones complicadas Umbral de las oscilaciones fa fw (entre otros)

  35. Intervalo de oscilaciones periódicas de gran amplitud III. El caso 1½D Valores de f: Jc2= 5.39 de izda a dcha: 0.36 0.380.400.420.440.460.48 J t

  36. Intervalo de oscilaciones complicadas (paravs= 0.1) III. El caso 1½D (Jc= 5.77) f=0.41 señal que parecía periódica hasta t=900 f=0.411 señal aparentemente no periódica f=0.42 señal periódica

  37. A. Si f es suf. grande, la onda llega hasta ra: 1½D E 10 r 50 10. 50 • Durante el viaje: • Durante el relevo: • la onda decrece • la corriente crece r 0. 10 • el campo exterior • crece • - la corriente decrece J(t) 500 0 t

  38. B. Si f es pequeño, la onda no llega hasta ra: 1½D E 10 r rmax 50 7 10. 50 • Radio máximo: • Máximo de la • corriente: rmax r 0. 10 Jc2 indep. de f J(t) 500 0 t

  39. Conclusiones de las simulaciones numéricas III. El caso 1½D • - Hemos resuelto las ecuaciones para valores fijos de , y rcen • muestras grandes, y para vs= 0 y vs = 0.1, moviendo  en (0,1). • - Hemos descrito en detalle la evolución de la onda del • campo eléctrico relacionándola con la curva de la corriente. Resultados: • Existe un intervalo (fa,fw) de soluciones oscilatorias • Existe un valor crítico de la corriente Jc2 • La corriente varía de manera opuesta a la altura de la onda • Existe un radio máximo para el avance de la onda • Existen intervalos de patrones complicados de E(r,t) y J(t).

  40. Resultados • III. El caso 1½D • IV. El caso 2D • V. El problema de frontera libre • Descripción numérica ----------------- Cap. 4 • Estados estacionarios ----------------- Cap. 5 • Análisis asintótico --------------------- Cap. 6 • Descripción numérica ----------------- Cap. 7 • Enunciado y solución 1D, 1½D ------- Cap. 8

  41. El problema estacionario III. El caso 1½D Fijamos  = 2, rc= 10: 1. Para cada valor de J resolvemos (1)-(2) y construimos el estado estacionarioE(r) sobre el plano de fase (r,E). 2. A la vez calculamos f con (3) y construimos la curva característica J-f. d=0 Obtenemos: • - la corriente crítica Jc2 • el umbral de oscilaciones fa • la solución exterior 3. Después variamos L y vs, y obtenemos el plano de fase general.

  42. El plano de fase - Nuliclina III. El caso 1½D Fijamos  = 2, rc= 10: vs>0 1. Para cada valor de J resolvemos (1)-(2) y construimos el estado estacionarioE(r) sobre el plano de fase (r,E). E 2. A la vez calculamos f con (3) y construimos la curva característica J-f. r Nuliclina: 3. Después variamos L y vs, y obtenemos el plano de fase general.

  43. Aproximación exterior III. El caso 1½D Fijamos  = 2, rc= 10: 1. Para cada valor de J resolvemos (1)-(2) y construimos el estado estacionarioE(r) sobre el plano de fase (r,E). E 2. A la vez calculamos f con (3) y construimos la curva característica J-f. rc r 3. Después variamos L y vs, y obtenemos el plano de fase general.

  44. Los estados estacionarios III. El caso 1½D Fijamos  = 2, rc= 10: vs>0 (3) 1. Para cada valor de J resolvemos (1)-(2) y construimos el estado estacionarioE(r) sobre el plano de fase (r,E). (2) 2. A la vez calculamos f con (3) y construimos la curva característica J-f. (1) 3. Después variamos L y vs, y obtenemos el plano de fase general. (1) J < Jc2 (2) J  Jc2 (3) J > Jc2 Valor crítico: JC2

  45. La característica J-f III. El caso 1½D Fijamos  = 2, rc= 10: 1. Para cada valor de J resolvemos (1)-(2) y construimos el estado estacionarioE(r) sobre el plano de fase (r,E). J Numéric. 2. A la vez calculamos f con (3) y construimos la curva característica J-f. f Umbral de las oscilaciones fa: - Cond. del bias en J=Jc2: 3. Después variamos L y vs, y obtenemos el plano de fase general.

  46. El plano de fase general III. El caso 1½D Fijamos  = 2, rc= 10: 1. Para cada valor de J resolvemos (1)-(2) y construimos el estado estacionarioE(r) sobre el plano de fase (r,E). 2. A la vez calculamos f con (3) y construimos la curva característica J-f. 3. Después variamos L y vs, y obtenemos el plano de fase general. A. Para muestras largas

  47. El plano de fase general III. El caso 1½D Fijamos  = 2, rc= 10: 1. Para cada valor de J resolvemos (1)-(2) y construimos el estado estacionarioE(r) sobre el plano de fase (r,E). 2. A la vez calculamos f con (3) y construimos la curva característica J-f. Lmin 3. Después variamos L y vs, y obtenemos el plano de fase general. B. Para muestras cortas

  48. El plano de fase general III. El caso 1½D Fijamos  = 2, rc= 10: vs = 0.1 1. Para cada valor de J resolvemos (1)-(2) y construimos el estado estacionarioE(r) sobre el plano de fase (r,E). Num Stat 2. A la vez calculamos f con (3) y construimos la curva característica J-f. 3. Después variamos L y vs, y obtenemos el plano de fase general.

  49. Conclusiones del estudio de los estados estacionarios III. El caso 1½D • - Hemos descrito los estados estacionarios asintóticamente • mediante su aproximación exterior y la evolución de una • capa límite interior. • - La posición de la capa límite es muy sensible cuando J  Jc2, • valor crítico de la corriente que hemos caracterizado. • - Hemos aproximado los umbrales fay fw. • (asintótica y numéricamente, respectivamente) • - Hemos construido la curva característica J-, y el plano de • estabilidad general, viendo que existe un tamaño mínimo Lmin • por debajo del cual no hay oscilaciones para ningún valor de . Todo ello, para vs= 0 y vs > 0.

  50. Resultados • III. El caso 1½D • IV. El caso 2D • V. El problema de frontera libre • Descripción numérica ----------------- Cap. 4 • Estados estacionarios ----------------- Cap. 5 • Análisis asintótico --------------------- Cap. 6 • Descripción numérica ----------------- Cap. 7 • Enunciado y solución 1D, 1½D ------- Cap. 8

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