4 . El camp electromagnètic

1. 4. El camp electromagnètic

2. 1. Els fenòmens elèctrics • El filòsof grec Tales de Milet, fa uns 2 500 anys, es va adonar que l’ambre groc, quan es fregava tenia la propietat d’atreure cossos petits i lleugers (actualment es pot fregar un bolígraf i s’observa que atreu trossets petits de paper). A aquesta propietat de la matèria la denominaren elektron (ambre en grec). • El 1732, el francès Charles F. du Fay (1689-1739) va establir que els cossos electritzats poden atreure’s o repel·lir-se entre si, concloent que hi havia 2 tipus d’electricitat. • Benjamin Franklin (1706-1790), nordamericà, va introduir els conceptes de càrrega elèctrica positiva i negativa. Ell pensava que la càrrega elèctrica era deguda a un fluid elèctric que passava d’un cos a un altre. Si un cos en perdia d’aquest fluid quedava carregat negativament, i si en guanyava quedava carregat positivament. • Joseph J. Thomson (1856-1940), anglès, descobrí que els àtoms estan formats per electrons i protons i que tenen una propietat, la càrrega elèctrica, del mateix valor i de signes oposats. Després es pogué explicar que els cossos carregats + és que han perdut electrons, i els carregats – n’han guanyat d’electrons, ja que els àtoms neutres tenen càrrega nul·la ja que poseeixen el mateix nombre de protons que d’electrons. Per tant el fluid elèctric que imaginà Franklin eren electrons.

3. Franz T. Aepinus (1724-1802), alemany, va aplicar la mecànica de Newton a l’estudi dels fenòmens elèctrics i va establir que existien forces d’atracció entre càrregues de diferent signe i de repulsió entre càrregues del mateix signe. • Charles Augustin Coulomb (1736-1806) va estudiar la interacció elèctrica entre dues càrregues emprant una balança de torsió molt precisa i aconseguir establir que: • La força entre càrregues és directament proporcional al producte d’ambdues càrregues: • F  Q·q • És inversament proporcional a la distància que separa ambdues càrregues. • F  1/r2 • Depèn del medi que hi ha entre les càrregues. • De totes aquestes observacions experimentals es dedueix que la força elèctrica segueix l’anomenada Llei de Coulomb: 2. Forces entre càrregues puntuals. Llei de Coulomb En honor a Coulomb la unitat de càrrega elèctrica s’anomena coulomb i es simbolitza per C. Dos submultiples molt emprats són el microcoulomb (1 μC =10―6 C) i el nanocoulomb (1 nC = 10―9 C).

4. 2. Forces entre càrregues puntuals. Llei de Coulomb 1 FQq FqQ r Problema tipus: Força entre càrregues puntuals ur Hi ha un exemple a la pàg. 114. • Problema: Dues càrregues elèctriques, Q = -50 nC i q = 20 nC, estan separades una distància de 3 cm al buit. Determina, vectorialment: • La força elèctrica entre elles. • La mateixa força si estan dins aigua. q Q

5. 2. Forces entre càrregues puntuals. Llei de Coulomb 2 i Problema tipus: Superposició de forces FT Hi ha un exemple a la pàg. 113. q1 Y Principi de superposició: en un sistema format per un conjunt de càrregues puntuals la força que exerceix una càrrega sobre una altra és independent de les forces que exerceixen les altres. La força que el conjunt de càrregues puntuals exerceixen sobre una determinada càrrega s’obté mitjançant suma vectorial 60 mm j Problema: Tres càrregues iguals de 2,0 μC cadascuna se situen en el buit sobre els vèrtexs d’un triangle rectangle, els catets dels quals mesuren 60 mm i 80 mm. Quan val la força resultant que actua sobre la càrrega situada en el vèrtex de l’angle recte? q2 q3 F13 80 mm X F23

6. r ur 3. El camp elèctric. a) Descripció vectorial Com interaccionen dues càrregues elèctriques separades una certa distància i de forma intantània? Mitjançant el concepte de camp elèctric. El camp elèctric és una propietat que adquireix l’espai que enrevolta una càrrega elèctrica Q. En posar una càrrega q a un punt de l’espai on hi hagi un camp elèctric, la càrrega q interaccionarà directament amb el camp i s’originarà una força d’atracció o de repulsió segons els signes de les càrregues. - q Q +

7. 3. El camp elèctric.a) Descripció vectorial La representació del camp elèctric es fa igual que pel camp gravitatori, amb línies de força o de camp. Aquestes línies surten de les càrregues + i van cap a les càrregues − (no és com al camp gravitatori que les línies sempre anaven cap a la massa). Observau que el vector intensitat del camp elèctric sempre és tangent a les línies de força o de camp i que té un mòdul major a les zones d’alta densitat de línies. Sabrieu dibuixar les línies de camp de l’espai on hi hagi dues càrregues iguals però negatives (a la figura hi ha el cas de 2 de signe distint i dues del mateix signe positiu)?

8. 3. El camp elèctric.a) Descripció vectorial 3 Problema tipus: Superposició de camps Hi ha exemples a les pàgs. 118 i 119. • Problema: Dues càrregues de 2,0 μC i −2,0 μCse situen en el buit en els extrems d’un segment d’una recta de 4,0 mm de llargària. Determina: • El vector intensitat del camp elèctric en el punt mig. • El vector intensitat del camp elèctric en un punt situat sobre la mediatriu del segment a 4,0 mm de la recta. Principi de superposició: en un sistema format per un conjunt de càrregues puntuals el camp elèctric que exerceix una càrrega sobre un punt de l’espai és independent dels camps que produeixen les altres. El camp elèctric que el conjunt de càrregues puntuals produeixen en aquest punt s’obté mitjançant suma vectorial. E1 E1y E1x E2x E2 E2y α β Q1 = 2 μC Q2 = −2 μC

9. 3. El camp elèctric. b) Descripció escalar + - - 3. El camp elèctric. b) Descripció escalar De la mateixa manera que en el camp gravitatori es pot definir una energia potencial, en el camp elèctric també es defineix una energia potencial i es pot demostrar que el treball per traslladar una càrrega elèctrica des d’un punt A a un altre B no depèn del camí seguit. El treball que fa el camp elèctric només depèn de les posicions inicial i final. És a dir el camp elèctric és un camp conservatiu. B A Les càrregues del mateix signe tendeixen a allunyar-se lliurament mentre que les de distint signe tendeixen a acostar-se, la qual cosa des del punt de vista energètic s’interpreta com que el sistema evoluciona espontàniament cap a una disminució de la seva energia potencial. També, com el cas del camp gravitatori, es pot definir una energia total, suma de l’energia cinètica i de l’energia potencial i aplicar el principi de conservació de l’energia, sense treball extern i amb treball extern..

10. 3. El camp elèctric. b) Descripció escalar De la mateixa manera que en el camp gravitatori es pot definir a cada punt de l’espai que enrevolta una càrrega elèctricaQ un potencial elèctric, que es mesura en volts (V) i que representa l’energia del camp. En una zona de l’espai on hi hagi vàries càrregues elèctriques, Q1, Q2, Q3,... El potencial elèctric total es pot calcular aplicant el principi de superposició. Entre dos punts (A i B) de l’espai que enrevolta una càrrega elèctrica Q hi ha una diferència de potencial. El treball per traslladar una altra càrrega q des d’A fins a B es pot calcular a partir de la diferència de potencial. La representació escalar d’un camp elèctric es fa mitjançant superfícies equipotencials.

11. 3. El camp elèctric. b) Descripció escalar 4 0,04-x x Problema tipus: Potencial elèctric i treball + - Hi ha exemples a les pàgs. 119 i 122. • Problema: Dues càrregues Q1 = 5,0 μCi Q2 = −1,0 μCse situen en el buit en els extrems d’un segment d’una recta de 4,0 cm de llargària. Determina: • El potencial elèctric en el punt mig. • El punt on s’anul·la el potencial elèctric. • El treball que realitza el camp elèctric per traslladar una càrrega q = 2,0 μC, des de l’infinit fins el punt mig.

12. 5 1 cm, ΔV = 500 V - - - - - - - + + + + + + + Problema tipus: Moviment de càrregues en un camp elèctric E Hi ha un exemple a la pàg. 124. 3. El camp elèctric. c) Relació entre les dues descripcions, escalar i vectorial • Problema: Entre dues plaques carregades (condensador) hi ha una diferència de potencial de 500 V i estan separades 1,0 cm. Calcula: • El mòdul de la intensitat del camp elèctric. • Si deixam una càrrega q = − 2,0 μC i m = 10-9 kg damunt la placa negativa, quina acceleració adquirirà? • Quina velocitat durà en xocar contra la placa positiva?

13. S S S α E E E α 4. La llei de Gauss Es defineix flux d’un camp elèctric al producte escalar del vector intensitat del camp elèctric i el vector àrea de la superfície. És una manera de quantificar el nombre de línies de força que travessen una superfície. Karl F. Gauss (1777-1855), físic i matemàtic alemany, descobrí una relació entre el flux que travessa una superfície tancada i la càrrega que hi ha continguda dins aquesta superfície, és l’anomenada llei de Gauss: El flux total que travessa una superfície tancada (superfície gaussiana) és igual a la càrrega total continguda en el seu interior dividida per la constant dielèctrica del buit.

14. N N N N S S S S 6. El camp magnètic i les seves característiques • Les propietats atractives de la magnetita (òxid natural de ferro, Fe3O4 abundant a la ciutat grega de Magnèsia) cap el ferro foren descrites per Tales de Milet (s VI aC), per la qual cosa se la va anomenar imant (pedra amant), i van ser apreciades pel seu caràcter permanent i per la seva capacitat de magnetitzar el ferro. • Els xinesos descobriren que les agulles de ferro imantades tenen la propietat de apuntar al nord i inventaren les brúixoles. Això va fer descobrir que qualsevol imant té dos únics pols, Nord i Sud (segon si apunten al nord geogràfic o al sud), amb propietats oposades: dos imants s’atreuen quan s’aproximen pels seus pols oposats i es repel·leixen en acostar-los per pols iguals. També es descobrí que en dividir un imant se’n originen dos, cadascun amb els seus corresponents pols Nord i Sud. • El primer tractat sobre magnetisme, De Magnete (Sobre l’imant), va ser escrit l’any 1600 per l’anglès William Gilbert (1544-1603). Va recollir totes les observacions fetes sobre els imants, va fer observar que els diferents materials tenen diferents propietats magnètiques i va assenyalar que la Terra era un gran imant.

15. 6. El camp magnètic i les seves característiques B B B N S • Coulomb va estendre la mecànica newtoniana al magnetisme, explicant la força magnètica com una conseqüència d’una interacció a distància i instantània. Descobrí que la força amb la que s’atreuen dues agulles imantades és inversament proporcional al quadrat de la distància entre els seus extrems. Però no s’aconseguiren descobrir càrregues magnètiques. • L’anglès Michael Faraday (1791-1867) va introduir el concepte de camp de forces per explicar la interacció magnètica. Per visualitzar aquest camp escampà llimadures de ferro devora un imant i va fer visibles les seves línies de força. Actualment el camp magnètic es representa amb línies de força que Neixen als pols Nord i S’endinsen dins els pols Sud. Es defineix també un vector inducció magnètica, B, que es tangent en cada punt de l’espai a la línia de força que hi passa i proporcional a la densitat de línies al seu voltant. El vector B té com a unitat el tesla, T, en honor de l’enginyer croata Nikola Tesla (1856-1943). Com ja s’ha dit és impossible separar els dos pols d’un imant (no existeixen monopols), la qual cosa condueix a que les línies de força són sempre tancades, dins l’interior de l’imant val del pol Sud al Nord. Això condueix a que la Llei de Gauss del camp magnètic es redueix a afirmar que el flux magnètic global és sempre nul.

16. I dl ur r B Hi ha un exemple a la pàg. 136. 7. Llei de Biot-Savart: camp magnètic originat per corrents • L’any 1820 el físic danès Hans C. Oersted va fer un experiment que uní els fenòmens magnètics amb els elèctrics. Va col·locar un conductor elèctric devora una brúixola i va fer-hi passar corrent, observant que l’agulla es desviava. Això posà de manifest dos fets: • Que les càrregues en moviment, corrents elèctrics, originen camps magnètics. • Que la interacció magnètica no té un caràcter central com l’elèctrica o la gravitatòria, ja que les agulles dels imants no són atretes o repel·lides pel corrent elèctric, sinó que giren situant-se perpendicularment al conductor. La interpretació física la donaren l’any 1820 els físics francesos Jean-Baptiste Biot (1774-1826) i Félix Savart (1791-1841): Si tenim un conductor elèctric per on hi circula una intensitat de corrent I, llavors cada element infinitessimal de fil conductor, dl, realitza un element diferencial d’inducció magnètica dB sobre un punt de l’espai situat a una distància r del conductor segons la llei de Biot-Savart: μés una constant

17. 7. Llei de Biot-Savart: camp magnètic originat per corrents I I B r R I B B L La fórmula de Biot-Savart s’ha d’integrar per obtenir el valor de la intensitat magnètica total en cada punt. Segons la forma del conductor elèctric s’obtenen diferents integrals i, per tant diferents resultats:

18. 7. Llei de Biot-Savart: camp magnètic originat per corrents 6 B I Problema tipus: Camps magnètics creats per corrents I Problema: Considerant el camp magnètic que s’origina, dibuixa el sentit del corrent elèctric que l’origina. Problema: Una bobina circular plana, de 20 espires, té un radi de 10 cm. Quina intensitat de corrent ha de circular-hi per a que la inducció magnètica en el seu centre sigui de 0,2 mT. Problema: Dibuixa les línies de força del camp magnètic que crea el següent conductor rectilini quan hi circula una corrent elèctric.

19. 7. Llei de Biot-Savart: camp magnètic originat per corrents A la llei de Biot-Savart apareix una constant, μ, la permeabilitat magnètica del medi. És una propietat de les substàncies que indica el seu comportament magnètic. Però habitualment les propietats magnètiques de les subtàncies es donen en referència al buit mitjançant la permeabilitat magnètica relativa. El valor de la permeabilitat magnètica del buit és μ0= 4· ·10-7 T·m/A. • Les subtàncies es poden classificar en tres tipus (més el buit) segons la seva μr: • Diamagnètiques: substàncies dèbilment repel·lides per camps magnètics: μr < 1 • Buit: com que no conté matèria no interacciona amb els camps magnètics: μr = 1. • Paramagnètiques: substàncies dèbilment atretes pels camps magnètics: μr > 1. • Ferromagnètiques: substàncies fortament atretes per camps magnètics: μr >>> 1.

20. 8. L’explicació del magnetisme de la matèria El francès André M. Ampère (1775-1836) va imaginar un model per explicar el magnetisme dels imants, i la seva conseqüència principal va ser la unificació de les fonts del magnetisme (imants i corrents elèctrics). Ampère suposà l’existència d’uns corrents elèctrics interns, que funcionarien com a petites espires dins la matèria. Actualment sabem que corresponen al moviment dels electrons (càrregues negatives) dins l’àtom. La imantació de les substàncies ferromagnètiques s’explica a partir de l’existència d’unes zones o dominis magnètics, inicialment desordenats, que equivalen a petits imants. En situar-se dins un camp magnètic extern els dominis orientats paral·lelament a ell van creixent a costa dels altres. En retirar-lo els nous dominis es conserven mentres que no es superi una certa temperatura (temperatura de Curie) que els torna desordenar. La majoria de substàncies no presenten magnetisme perquè els corrents interns estan orientats a l’atzar i, en conjunt, els seus diminuts camps magnètics queden compensats. Però si es posen dins un camp magnètic extern aquest corrents s’orienten a favor d’ell (substàncies paramagnètiques i ferromagnètiques) o en contra (substàncies diamagnètiques).

21. A 9. Llei d’Ampère Un camp s’anomena conservatiu si el treball realitzat pel camp al llarg d’una trajectòria tancada és zero. També si el treball realitzat no depèn del camí seguit. Si el punt de partida i el d’arribada són el mateix ho podem veure fàcilment així: Tant el camp gravitatori com el camp elèctric són camps conservatius perquè compleixen aquesta condició.Un camp conservatiu permet la definició de potencials i d’energies potencials. Matemàticament els físics empren, per expressar el mateix, el producte escalar del vector camp i el vector desplaçament sobre el camí: Podem aplicar-ho a un camp magnètic, per exemple al produït per un fil conductor molt llarga i prim. Suposem que volem calcular el recorregut per un cercle de radi R, així tenim: D’aquí es dedueix que el camp magnètic no és conservatiu. Aqueste expressió es pot generalitzar i s’anomena llei d’Ampère: la circulació del vector B a través d’una corba tancada és directament proporcional a la suma de totes les intensitats de corrent que travessen la superfície tancada per la corba.

22. I·L I·L I·L B B B 90º F F   90º 10. Llei de Laplace: força d’un camp magnètic sobre un corrent El francès Pierre S. De Laplace (1749-1827) va descobrir que les càrregues en moviment, com un corrent elèctric, interaccionen amb els camps magnètics. Això és, un corrent elèctric dins un camp magnètic reb una força que tendeix a moure’l. Suposem un conductor elèctric de longitudL que transporta un corrent elèctric I segons el dibuix. Si aquest conductor es posa dins un camp magnètic B apareix una força amb les següents característiques: • El mòdul de la força és: F  I F  L F  B • És directament  al sinus de l’angle entre L i B: F  sin  Les unitats de B s’agafaren de manera que la constant fos k = 1. • La direcció de la força és: F  L F  B • El sentit de la força és el de la regla de la mà dreta de L  B. Llei de Laplace

23. 10. Llei de Laplace: força d’un camp magnètic sobre un corrent 7 Y B Problema tipus: Llei de Laplace I F X Hi ha un exemple a la pàg. 143. Problema: Un conductor elèctric de 20 cm de longitud pel qual circula un corrent de 8 A se situa en un camp magnètic de 0,6 T perpendicular a ell. Troba la força que actua sobre el conductor si el corrent circula en sentit positiu de l’eix X i el camp magnètic està dirigit cap a la direcció positiva de l’eix Z.

24. 10. Llei de Laplace: força d’un camp magnètic sobre un corrent 10.1 Forces entre corrents Explicació a la pàg. 144.

25. 10. Llei de Laplace: força d’un camp magnètic sobre un corrent B v v F F B + + 10.2 Llei de Lorentz: Acció d’un camp magnètic sobre una càrrega mòbil Un corrent elèctric experimenta una força en situar-lo dins un camp magnètic (llei de Laplace). Però un corrent elèctric, a escala microscòpica, és un moviment d’electrons, per tant, les càrregues amb moviment estan sotmeses a forces quan estan dins camps magnètics. A partir de la llei de Laplace es pot deduir una expressió per a la força F que actua sobre una càrrega q en moviment (velocitat v) dins un camp magnètic B, és la llei de Lorentz: Quin moviment es produeix quan una càrrega penetra amb una velocitat v dins un camp magnètic?: Observau que una força normal a una velocitat produeix un moviment que fa canviar la direcció de la velocitat en el sentit de la força. Observau, també, que quan la velocitat hagi canviat de direcció, la força seguirà essent normal, de manera que es produeix un moviment circular i la força de Lorentz és una força centrípeta.

26. 10. Llei de Laplace: força d’un camp magnètic sobre un corrent 8 Problema tipus: Força de Lorentz v F - • Problema: Un electró (qe = -1,602·10-19 C, me =9,11·10-31 kg) entra amb una velocitat de 1 000 m/s segons el sentit positiu de l’eix X dins una zona on hi ha un camp magnètic de 2 T orientat segons l’eix Z, én sentit negatiu. Determina: • La força de Lorentz. • El radi de gir. • El període de rotació.

27. 11. El camp electromagnètic L’escocès James C. Maxwell (1837-1879) va publicar un llibre l’any 1873, Tratise on Electricity and Magnetism, on assenyalava que l’oscil·lació d’una càrrega elèctrica originava un camp elèctric variable i aquests, al seu torn, un camp magnètic que varía a l’uníson. Així es produeix un camp electromagnètic que es radia a l’exterior, propagant-se amb velocitat constant i en forma ondulatòria. A la teoria de Maxwell la velocitat de propagació de les ones electromagnètiques és: Si es calcula aquesta velocitat en el buit resulta: Com veim la teoria electromagnètica diu que les ones electromagnètiques viatgen a la velocitat de la llum, per tant podem deduir que la llum és una ona electromagnètica.