PARADOKSI

1. PARADOKSI Susan Haack Elizabeta Vega

2. SADRŽAJ • Lažljivac i srodni paradoksi • “Skupovno-teorijski” naspram “semantičkih” paradoksa • Rješenja za paradokse • Russellovo rješenje: teorija tipova, načelo poročnoga kruga • Tarskijevo rješenje: hijerarhija jezikâ • Kripkeovo rješenje: utemeljenost • Paradoks bez vrijednosti “neistinita” Neke napomene o redundancijskoj teoriji istinitostiPonovo NPK

3. Lažljivac i srodni paradoksi • (S) Ova je rečenica neistinita. S je istina akko je S neistina. • Varijante: Sljedeća je rečenica neistinita. Prethodna je rečenica istinita. Ili • "Paradoks dopisnice" na kojoj na jednoj strani piše: Rečenica na drugoj strani ove dopisnice je neistinita. a na drugoj: Rečenica na drugoj strani ove dopisnice je istinita. • Lažljivacisrodni paradoksi • “Skupovno-teorijski” naspram “semantičkih” paradoksa • Rješenja za paradokse • Russellovo rješenje: teorija tipova, načelo poročnoga kruga • Tarskijevo rješenje: hijerarhija jezikâ • Kripkeovo rješenje: utemeljenost

4. Lažljivac i srodni paradoksi • Paradoks "Epimenid“ • “Imperativna” varijanta paradoksa ... Ne pokoravaj se ovoj naredbi! • Grellingov paradoks ... "Heterološki" jest heterološki akko "heterološki" nije heterološki. • Richardov “definabilan” paradoks • Berryev “specifikabilan” paradoks • Russellov paradoks ... Skup svih skupova koji nisu članovi samih sebe jest član samoga sebe akko nije član samoga sebe. • Cantorov paradoks • Burali-Fortijev paradoks • Lažljivacisrodni paradoksi • “Skupovno-teorijski” naspram “semantičkih” paradoksa • Rješenja za paradokse • Russellovo rješenje: teorija tipova, načelo poročnoga kruga • Tarskijevo rješenje: hijerarhija jezikâ • Kripkeovo rješenje: utemeljenost

5. Lažljivacisrodni paradoksi • “Skupovno-teorijski” naspram “semantičkih” paradoksa • Rješenja za paradokse • Russellovo rješenje: teorija tipova, načelo poročnoga kruga • Tarskijevo rješenje: hijerarhija jezikâ • Kripkeovo rješenje: utemeljenost

6. Opće značajke paradoksa prema Russellu • navedeni paradoksi sadrže pretpostavku o nekojsveukupnosti (totality) koja treba uključivati i članove definirane samom tom sveukupnošću (ili: uključivati samu sebe kao svoj član), self-reference • svi skupovi i skup svih skupova (ako nisu svoji članovi); svi pojmovi i pojam koji vrijedi o svih pojmovima (ako ne vrijede o sebi) (Russellov i Cantorov paradoks • svi redni brojevi i redni broj (dobro uredena skupa) svih rednih brojeva (Burali-Forti) • sve (konačne) definicije (brojeva) i definicija definirana svim tim definicijama (Richard) • Lažljivacisrodni paradoksi • “Skupovno-teorijski” naspram “semantičkih” paradoksa • Rješenja za paradokse • Russellovo rješenje: teorija tipova, načelo poročnoga kruga • Tarskijevo rješenje: hijerarhija jezikâ • Kripkeovo rješenje: utemeljenost

7. Opće značajke paradoksa prema Russellu • sva imena i ime koje uključuje sva imena (Berry): za svako ime i, ako i ima manje od 20 slogova, i ne imenuje broj n • svi pridjevi i pridjev svih pridjeva (ako ne govore o sebi) (Grelling) • svi iskazi i iskaz o svim iskazima (ako ih sada iskazujem) (Lažljivac): za bilo koji iskaz p vrijedi, ako sada tvrdim p, p nije istinito • Lažljivacisrodni paradoksi • “Skupovno-teorijski” naspram “semantičkih” paradoksa • Rješenja za paradokse • Russellovo rješenje: teorija tipova, načelo poročnoga kruga • Tarskijevo rješenje: hijerarhija jezikâ • Kripkeovo rješenje: utemeljenost

8. “Skupovno-teorijski” naspram “semantičkih” paradoksa • Skupovno-teorijski paradoksi- (Ramsey. "logički"), Russellov paradoks, Cantorov paradoks, Burali-Fortijev paradoks - (bitno uključuju "skup", "", "redni broj") • Semantički paradoksi- (Ramsey. "epistemološki"), Paradoks Lažljivac i varijante, Grellingov paradoks, Berryev i Richardov paradoks - (bitno uključuju "neistinit", "neistinit o" i "definabilan") • Lažljivacisrodni paradoksi • “Skupovno-teorijski” naspram “semantičkih” paradoksa • Rješenja za paradokse • Russellovo rješenje: teorija tipova, načelo poročnoga kruga • Tarskijevo rješenje: hijerarhija jezikâ • Kripkeovo rješenje: utemeljenost

9. Rješenja za paradokse • Rješenje treba dati konzistentnu formalnu teoriju, tj. što se to ne smije dopustiti (koje premise ili načela zaključivanja) - formalno rješenje • Treba dati objašnjenje zašto se toj premisi ili načelu može prigovoriti - filozofsko rješenje • Lažljivacisrodni paradoksi • “Skupovno-teorijski” naspram “semantičkih” paradoksa • Rješenja za paradokse • Russellovo rješenje: teorija tipova, načelo poročnoga kruga • Tarskijevo rješenje: hijerarhija jezikâ • Kripkeovo rješenje: utemeljenost

10. Rješenja za paradokse • Zabrana autoreferencije- upitna je kao pravilo, jer mnoge autoreferencijalne rečenice nisu problematične • Zaključak na proturječje- dovodi nas do tri istinosne vrijednosti- ne pruža dostatno objašnjenje • Lažljivacisrodni paradoksi • “Skupovno-teorijski” naspram “semantičkih” paradoksa • Rješenja za paradokse • Russellovo rješenje: teorija tipova, načelo poročnoga kruga • Tarskijevo rješenje: hijerarhija jezikâ • Kripkeovo rješenje: utemeljenost

11. Russellovo rješenje – hijerarhijska podjela • Teorija tipova (formalno rješenje) • Jednostavna TT • Razgranata TT • Načelo poročnoga (začaranog) kruga (filozofsko rješenje)- paradoksi će se izbjeći ako se pridržavamo načela poročnoga kruga: što god uključuje sve članove neke skupine (collection), ne smije biti član te skupine.Odnosno, niti jedna sveukupnost (totality) ne može sadržavati članove definirane tom sveukupnošću. • Lažljivacisrodni paradoksi • “Skupovno-teorijski” naspram “semantičkih” paradoksa • Rješenja za paradokse • Russellovo rješenje: teorija tipova, načelo poročnoga kruga • Tarskijevo rješenje: hijerarhija jezikâ • Kripkeovo rješenje: utemeljenost

12. Tarskijevo rješenje: hijerarhija jezikâ • Objektni jezik – O • Meta-jezik – M (sadrži sredstva referiranja na izraze u O, i sadrži predikate “istinit u O” ili “neistinit u O”) • Meta-jezik – M` (sadrži sredstva referiranja na izraze u M, i sadrži predikate “istinit u M” ili “neistinit u M”) • etc. • Lažljivacisrodni paradoksi • “Skupovno-teorijski” naspram “semantičkih” paradoksa • Rješenja za paradokse • Russellovo rješenje: teorija tipova, načelo poročnoga kruga • Tarskijevo rješenje: hijerarhija jezikâ • Kripkeovo rješenje: utemeljenost

13. Kripkeovo rješenje: utemeljenost • Predlaže da paradoksalne rečenice nemaju nikakvu istinosnu vrijednost- paradoksalna je rečenica ona kojoj se ne može konzistentno dodijeliti istinosna vrijednost niti u jednoj fiksnoj točki • Rečenica je utemeljena samo ako na kraju dobija istinosnu vrijednost- načelo prema kojemu možemo tvrditi da je neka rečenica istinita samo ako imamo pravo na to, i obrnuto • Lažljivacisrodni paradoksi • “Skupovno-teorijski” naspram “semantičkih” paradoksa • Rješenja za paradokse • Russellovo rješenje: teorija tipova, načelo poročnoga kruga • Tarskijevo rješenje: hijerarhija jezikâ • Kripkeovo rješenje: utemeljenost

14. Paradoks “Epimenid” Krećanin zvan Epimenid, navodno je rekao kako su svi Krećani uvijek lažljivci. Ako je lažljivac netko tko uvijek govori ono što je neistinito, onda, ako je ono što Epimenid kaže istinito, to je neistinito. • Lažljivacisrodni paradoksi • “Skupovno-teorijski” naspram “semantičkih” paradoksa • Rješenja za paradokse • Russellovo rješenje: teorija tipova, načelo poročnoga kruga • Tarskijevo rješenje: hijerarhija jezikâ • Kripkeovo rješenje: utemeljenost

15. Grellingov paradoks U ovom paradoksu primjećujemo osobinu “samoprimjenjivosti”, odnosno, neke riječi imaju istu osobinu koju izražavaju. Tako je “višesložno” višesložna riječ, “apstraktno” je apstraktna riječ. Neke riječi nemaju tu osobinu, na primjer: “plavo” nije plava riječ, “daleko” nije udaljena riječ. Te riječi nazivamo heterogenim riječima. A možemo li reći je li "heterološki" heterološki izraz? Ako heterološki jest heterološki, on nije istinit o sebi, pa tako jest heterološki. I tako dolazimo do zaključka: heterološki jest heterološki akko heterološki nije heterološki. • Lažljivacisrodni paradoksi • “Skupovno-teorijski” naspram “semantičkih” paradoksa • Rješenja za paradokse • Russellovo rješenje: teorija tipova, načelo poročnoga kruga • Tarskijevo rješenje: hijerarhija jezikâ • Kripkeovo rješenje: utemeljenost

16. Richardov “definabilan” paradoks Semantički paradoks: 1) Skup svih (konačnih) izraza pomoću hrvatske abecede (30 slova) jest prebrojiv. Te izraze možemo poredati: jednočlani izrazi (jedno slovo): ima ih 30, dvočlani izrazi (dva slova): ima ih 30 × 30, tročlani izrazi (tri slova): ima ih 30 × 30 × 30, itd. 2) Svi (decimalni) brojevi koji se mogu definirati konačnim brojem riječi; ima prebrojivo mnogo takvih brojeva (npr. ima prebrojivo mnogo različitih brojeva koji se mogu izraziti kao konačni decimalni razlomci; no prebrojivim skupom izraza ne može se izraziti više od prebrojivo mnogo brojeva). Te brojeve i njihove definicije možemo poredati u niz (idemo redom po nizu izraza i preskačemo sve one koji ne označuju broj): 1. broj - definicija 1, 2. broj - definicija 2, 3. broj - definicija 3, itd. • Lažljivacisrodni paradoksi • “Skupovno-teorijski” naspram “semantičkih” paradoksa • Rješenja za paradokse • Russellovo rješenje: teorija tipova, načelo poročnoga kruga • Tarskijevo rješenje: hijerarhija jezikâ • Kripkeovo rješenje: utemeljenost

17. Richardov “definabilan” paradoks 3) Broj koji ima 0 kao cijelu znamenku, a od n-toga broja izmedu 0 i 1 razlikuje se u njegovoj n-toj znamenci p, tako da umjesto p ima p + 1 ako p nije 8 ili 9, ili 1 ako je p 8 ili 9. Toga broja nema u tablici, a ipak je definiran konačnim brojem riječi. (To je dijagonalni postupak kao u Cantora za neprebrojivost skupa realnih brojeva.) Kao da ima više nego prebrojivo mnogo brojeva s konačnim definicijama, a ipak, ima samo prebrojivo mnogo brojeva s konačnim definicijama. • Lažljivacisrodni paradoksi • “Skupovno-teorijski” naspram “semantičkih” paradoksa • Rješenja za paradokse • Russellovo rješenje: teorija tipova, načelo poročnoga kruga • Tarskijevo rješenje: hijerarhija jezikâ • Kripkeovo rješenje: utemeljenost

18. Berryev “specifikabilan” paradoks George Godfrey Berry (oxfordski knjižničar), paradoks formulirao Russell (1906) na temelju Berryeva pisma: Najmanji broj “neimenljiv” u manje od devetnaest slogova. “The least integer not nameable in fewer than nineteen syllables.” • Lažljivacisrodni paradoksi • “Skupovno-teorijski” naspram “semantičkih” paradoksa • Rješenja za paradokse • Russellovo rješenje: teorija tipova, načelo poročnoga kruga • Tarskijevo rješenje: hijerarhija jezikâ • Kripkeovo rješenje: utemeljenost

19. Russellov paradoks Russellov paradoks (publicira 1903) kaže sljedeće: promatrajmo skup S = {X : X  X} tj. skup svih skupova koji nisu elementi samog sebe. Ja li S element od S ili nije? Odgovor na to pitanje je kontradiktoran, jer po definiciji skupa S, S element od S  S nije element od S. Odnosno, neka je S skup svih skupova koji ne sadrže sebe kao element. Postavlja se pitanje pripada li skup S sam sebi. Primjer: U nekom selu postoji brijač koji brije one i samo one ljude koji se sami ne briju. Pitanje: Ko brije brijača? • Lažljivacisrodni paradoksi • “Skupovno-teorijski” naspram “semantičkih” paradoksa • Rješenja za paradokse • Russellovo rješenje: teorija tipova, načelo poročnoga kruga • Tarskijevo rješenje: hijerarhija jezikâ • Kripkeovo rješenje: utemeljenost

20. Cantorov paradoks Cantora se smatra ocem teorije skupova (kardinalni - ekvivalentni skupovi se još zovu i istobrojni. Umjesto AB pišemo k(A)=k(B) - kardinalni broj skupa A jednak je kardinalnom broju skupa B; i ordinalni brojevi - neka je A dobro uređen skup. Klasu dobro uređenih skupova koji su slični sa A nazivamo ordinalni broj, oznaka ord(A). Ordinalni brojevi dobro uređenih skupova {1},{1,2},{1,2,3,}... zovemo konačni ordinalni broj i označavamo ih sa 1,2,3,...). Paradoks koji Cantor uočava i publicira (1899) u svojoj teoriji, kasnije razvija i publicira (1900) Burali-Forti. Po Cantorovom teoremu, skup P(S) ima veći kardinal od S. Promotrimo sada skup svih skupova, u oznaci U. Tada P(U) ima veći kardinal od U, što je nemoguće jer P(U) ⊆U. Odnosno, uzmimo da je S skup svih skupova. Tada je svaki podskup od S ujedno i član od S. Dakle, i partitivni skup od S je podskup od S. P(S) podskup od S kP(S)<k(S) i kP(S)=k(S) Međutim prema Cantarovom teoremu je kP(S)>k(S). • Lažljivacisrodni paradoksi • “Skupovno-teorijski” naspram “semantičkih” paradoksa • Rješenja za paradokse • Russellovo rješenje: teorija tipova, načelo poročnoga kruga • Tarskijevo rješenje: hijerarhija jezikâ • Kripkeovo rješenje: utemeljenost

21. Burali-Fortijev paradoks (1897) Prema jednom od teorema, dobro uređeni skup W svih ordinalnih brojeva ima veći ordinalni broj od svih elemenata u W. No, to bi značilo da je W veći od svih ordinalnih brojeva, pa i od samog sebe. Odnosno, paradoks govori o skupu svih rednih brojeva: neka je redni broj skup svih prethodnih rednih brojeva, skup svih rednih brojeva je ω, ali je redni broj skupa ω broj ω + 1. • Lažljivacisrodni paradoksi • “Skupovno-teorijski” naspram “semantičkih” paradoksa • Rješenja za paradokse • Russellovo rješenje: teorija tipova, načelo poročnoga kruga • Tarskijevo rješenje: hijerarhija jezikâ • Kripkeovo rješenje: utemeljenost

22. Jednostavna TT • Jedinke – tip 0 • Skupovi jedinki – tip 1 • Skupovi skupova jedinki – tip 2 • etc. • Dobro i loše sastavljena formula • Lažljivacisrodni paradoksi • “Skupovno-teorijski” naspram “semantičkih” paradoksa • Rješenja za paradokse • Russellovo rješenje: teorija tipova, načelo poročnoga kruga • Tarskijevo rješenje: hijerarhija jezikâ • Kripkeovo rješenje: utemeljenost

23. Razgranata TT • Odnosi se na hijerarhiju redova propozicija i propozicijskih funkcija (zatvorenih i otvorenih rečenica). Niti jedna propozicija ne može biti “o” propoziciji istog ili višeg reda nego je sama.- ne može sadržavati kvantifikatore koji ju zahvaćaju. • Rečenica Lažljivca nije izraziva kao “član same sebe” u Jednostavnoj TT. • Lažljivacisrodni paradoksi • “Skupovno-teorijski” naspram “semantičkih” paradoksa • Rješenja za paradokse • Russellovo rješenje: teorija tipova, načelo poročnoga kruga • Tarskijevo rješenje: hijerarhija jezikâ • Kripkeovo rješenje: utemeljenost

24. Dodirne točke – usporedbe / kontrasti • Lažljivacisrodni paradoksi • “Skupovno-teorijski” naspram “semantičkih” paradoksa • Rješenja za paradokse • Russellovo rješenje: teorija tipova, načelo poročnoga kruga • Tarskijevo rješenje: hijerarhija jezikâ • Kripkeovo rješenje: utemeljenost