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Suites numériques

Suites numériques. Sommaire. Suites arithmétiques Exemple 1 Définition Calcul d’un terme Exemple 2 Terme de rang n Somme n premiers termes Exemple. Sommaire. Suites géométriques 1. Définition 2. Terme de rang n 3. Somme des n premiers termes Application. Suites arithmétiques .

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Presentation Transcript

  1. Suites numériques T. Thangaï LP Le Verger

  2. Sommaire • Suites arithmétiques • Exemple 1 • Définition • Calcul d’un terme • Exemple 2 • Terme de rang n • Somme n premiers termes • Exemple T. Thangaï LP Le Verger

  3. Sommaire Suites géométriques • 1. Définition • 2. Terme de rang n • 3. Somme des n premiers termes • Application T. Thangaï LP Le Verger

  4. Suites arithmétiques T. Thangaï LP Le Verger

  5. I.   Définition T. Thangaï LP Le Verger

  6. Une suite arithmétique est une suite de nombres tels que chacun d'eux, à partir du second, s'obtient en ajoutant au précédent un même nombre appelé raison de la suite. • Le premier terme ou terme de rang 1 est noté U1 ; • la raison est notée r. • Le terme de rang n est noté Un; • le terme précédent de rang n ‑ 1 est noté Un -1 • Dans ces conditions : • Un = Un-1 + r. • Par exemple : U2 = U1 + r ; U3 = U2 + r, etc. T. Thangaï LP Le Verger

  7. II. Calcul d’un Terme de rang n T. Thangaï LP Le Verger

  8. U1 U2 U3 U4 U1 U2 = U1 + r U3 = U1 + 2 r U4 = U1 + 3 r Plus généralement, on remarque que: Un = U1 + (n ‑1) r T. Thangaï LP Le Verger

  9. III. Somme des n premiers termes d’une suite arithmétique T. Thangaï LP Le Verger

  10. Exemple On donne une suite arithmétique de premier terme U1 et de raison r • Calculer en fonction de U1 et U7 : = U1 + (U6 + r) U2 + U6 = U1 +U7 = U1 + (U5 + 2 r) U3 + U5 = U1 +U7 = U1 + (U4 + 3 r) U4 + U4 = U1 +U7 = U1 + (U5 + 2 r) U5 + U3 = U1 +U7 = U1 + (U6 + r) U6 + U2 = U1 +U7 2. On constate donc que: U1 + U7 = U2 + U6 = U3 + U5 = U4 + U4 = U5 + U3 = U6 + U2 = U7 + U1 T. Thangaï LP Le Verger

  11. 3. Pour calculer la somme S7 des 7 premiers termes de • cette suite arithmétique en fonction de U1 et r, On écrit S7 de 2 façons différentes: S7 = U1 + U2 + U3 + U4 + U5 + U6 + U7 S7 = U7 + U6 + U5 + U4 + U3 + U2 + U1 2×S7 = (U1 + U7) + (U2 + U6) + (U3 + U5) + (U4 + U4) + (U5 + U3) + (U6 + U2) + (U1 + U7) 2×S7 = 7× (U1 + U7) T. Thangaï LP Le Verger

  12. D’où: On démontre que pour tout nombre entier n > 1 la somme des n premiers termes d’une suite arithmétique de premier U1 et de raison r est donnée par la relation: T. Thangaï LP Le Verger

  13. Suites géométriques T. Thangaï LP Le Verger

  14. 1. Définition  Une suite géométrique est une suite de nombres, tels que chacun d'eux, à partir du second, s'obtient en multipliant le précédent par un même nombre appelé raison de la suite. • Le premier terme est noté U1; • La raison est notée q. • Le terme de rang nest noté Un ; • Leterme précédent de rang n ‑ 1est noté Un - 1 Dans ces conditions : Un = Un -1 ×q. • Par exemple : U2 = U1 × q U3 = U2 × q,etc T. Thangaï LP Le Verger

  15. Voir exemple : activité suite géométrique (séance informatique) T. Thangaï LP Le Verger

  16. 2. Terme de rang n d’une suite géométrique : • Soit (Un) une suite géométrique de premier terme U1 et de la raison q On a donc : Un = Un -1 ×q T. Thangaï LP Le Verger

  17. Un = Un -1 ×q • Écrire les termes U2 à U7 de cette suite en fonction de U1 et de q U2 = U1 × q U3 = U2 × q U4 = U3 × q U5 = U4 × q U6 = U5 × q U7 = U6 × q T. Thangaï LP Le Verger

  18. Sachant que tous les termes de cette suite sont non nuls, donner le résultat du produit membre à membre des expressions suivantes U2 = U1 × q U3 = U2 × q U4 = U3 × q U5 = U4 × q U6 = U5 × q U7 = U6 × q U7 = U1 × q6 = U1 × q7 - 1 T. Thangaï LP Le Verger

  19. U1 U2 U3 U4 U1 U2 = U1 ×q U3 = U1 ×q2 U4 = U1 ×q3 • On admet donc que: ×q ×q ×q Un = U1 ×q(n ‑1) et plus généralement: T. Thangaï LP Le Verger

  20. 3. Somme des n premiers termes d’une suite géométrique : • On considère une suite géométrique de premier terme U1 et raison q( ). • Soit S6 la somme des 6 premiers termes de cette • suite géométrique : S6 = U1 + U2 + U3 + U4 + U5 + U6 1.  Montrer que: qS6 = U2 + U3 + U4 + U5 + U6 + U7 qS6 = q×U1 + q×U2 + q×U3 + q×U4 +q× U5 + q×U6 = U2 + U3 + U4 + U5 + U6 + U7 T. Thangaï LP Le Verger

  21. 2.     Montrer que: S6 – q× S6 = U1 - U7 = U1 – U1×q6 Pour cela, on a: S6 = U1 + U2 + U3 + U4 + U5 + U6 qS6 = U2 + U3 + U4 + U5 + U6 + U7 S6 – q S6 = U1 - U7 Ou encore S6 ×(1– q )= U1 – U1×q6 = U1×(1 - q6 ) T. Thangaï LP Le Verger

  22. 3.  Montrer que: On a: (1– q)× S6 = U1 (1 – q6 )donc: T. Thangaï LP Le Verger

  23. La somme Sn d’une suite géométrique de premier terme U1 et de raison q(q 1) est donnée par la relation : Sn = U1 + U2 + U3 + U4 + ……… + Un = Remarque : Si q = 1, alors Sn = n×U1 T. Thangaï LP Le Verger

  24. Application Calculer la somme des 6 premiers termes de la suite géométrique de premier terme 1 et de raison . T. Thangaï LP Le Verger

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