Les médiatrices d’un triangle sont-elles concourantes… en classe de cinquième?

1. Les médiatrices d’un triangle sont-elles concourantes…en classe de cinquième? DEJEAN Audrey, LOZE Delphine, MATHIEU Johan

2. Sommaire ∙ Analyse à priori∙ Analyse didactique∙ Evaluation∙ Développement

3. Activité proposée

4. Objectifs 1. Conjecturer que les trois médiatrices d’un triangle sont concourantes 2. Rédiger un programme de construction

5. Difficultés attendues D1: Comprendre et reformuler le problème D2: Construction de médiatrices D3: Les médiatrices obtenues ne sont pas concourantes D4: Savoir conjecturer un résultat, une propriété

6. Organisation mathématique OM1 : [ T1 , t1 , τ1 , Ө1 ] T1 : construire un point àégale distance de trois points non alignés t1 : construire un point àégale distance des trois points qui modélisent les maisons τ1 : construire les médiatrices de deux segments du triangle ABC (ces deux droites sont sécantes en un point qui est solution du problème posé) Ө1 : deux médiatrices d’un triangle sont sécantes en un point qui est àégale distance des trois sommets du triangle

7. Organisation mathématique OM2 : [ T2 , t2 , τ2 , Ө2 ] • T2 : démontrer que trois droites sont concourantes • t2: démontrer que les trois médiatrices du triangle sont concourantes • τ2 : on trace deux médiatrices et on montre que le point d’intersection de ces deux droites appartient à la troisième médiatrice • Ө2: caractérisation de la médiatrice

8. Organisation didactique ∙ Moment de première rencontre • ∙ Moment exploratoire • ∙ Moment technologico-théorique • ∙ Moment du travail de l’OM • ∙ Moment d’institutionnalisation • ∙ Moment d’évaluation

9. Evaluation de l’organisation mathématique OM1 : [ T1 , t1 , τ1 , Ө1 ] T1 : construire un point àégale distance de trois points non alignés τ1 : construire les médiatrices de deux segments du triangle ABC (ces deux droites sont sécantes en un point qui est solution du problème posé) Ө1 : deux médiatrices d’un triangle sont sécantes en un point qui est àégale distance des trois sommets du triangle

10. Evaluation de l’organisation mathématique OM2 : [ T2 , t2 , τ2 , Ө2 ] • T2 : démontrer que trois droites sont concourantes • τ2: on trace deux médiatrices et on montre que le point d’intersection de ces deux droites appartient à la troisième médiatrice • Ө2: caractérisation de la médiatrice

11. Evaluation de l’organisation didactique 1. Chronogenèse 2. Mésogenèse 3. Topogenèse 4. Dialectique du groupe et de l’individu

12. Chronogenèse L’ organisation mathématique 1 : • Moment de première rencontre (reformulation de l’énoncé…) • Moment exploratoire (mise en commun…)

13. Chronogenèse L’ organisation mathématique 1 (suite) : • Moment technologico-théorique • Moment du travail de l’OM • Moment d’institutionnalisation (programme de construction…)

14. Chronogenèse Absence de filiation entre l’OM1 et l’OM2 L’ organisation mathématique 2 : • La phase de démonstration a manqué de sens ! → un moment de première rencontre réduit → un moment exploratoire trop bref, trop guidé → des moments de l’étude difficiles à distinguer

15. Mésogenèse Quels sont les moyens et les ressources didactiques nécessaires ou utiles à la création de l’OM1 et de l’OM2 ?

16. Mésogenèse 1. Un point remarquable OM1: 2. Des phases d’expérimentations successives 3. Mise en commun lien entre expérimentation et déduction 4. Une longue phase d’argumentation 5. Alternance des phases de déduction et d’expérimentation

17. Mésogenèse OM2: → dialogues avec le groupe classe → des traces écrites communes → des ébauches d’expérimentation → phases de déduction plus présentes

18. Topogenèse OM1: ▪ enrichissement du topos de l’élève ▪ rôle du prof. volontairement réduit OM2: ▪ forte réduction du topos de l’élève ▪ les moments de l’étude relèvent majoritairement du topos de l’enseignant

19. Dialectique du groupe et de l’individu ▪ enrichissement du topos d’une majorité de la classe Chacun, à sa mesure et à sa façon, a eu la possibilité concrète de contribuer au travail de la classe. ▪ aucun foyer d’inactivité… mais quelques lieux d’activités différents La classe a-t-elle été un outil efficace au service de chacun de ses membres ?

20. Comment améliorernotre séance? Gestion de la séance La démonstration La modélisation Le logiciel de géométrie dynamique

21. La phase de modélisation INDISPENSABLE!

22. La gestion de la séance La recherche personnelle de l’élève à mettre au premier plan! • L’élève: • rassemble son bagage mathématique • formule une conjecture • Le professeur: • a un aperçu du niveau de l’élève • est rassuré; le débat qui suit sera dense • en propositions

23. Le premier débat Le professeur devient « porte-craie » • Le professeur • renvoie les questions à la classe • fait reformuler si nécessaire • L’élève • apprend à s’exprimer clairement • s’entraine à argumenter Une conjecture est énoncée par la classe

24. Et la démonstration? Le professeur doit donner le goût et l’envie de démontrer à ses élèves Comment? Nous devons la motiver, la rendre indispensable S’appuyer sur des figures litigieuses et mener un débat qui ne trouverait pas d’issue

26. Comment mener la démonstration? Deux temps forts: 1. La phase de recherche et de production d’une preuve 2.La mise en forme de la démonstration

27. La phase de recherche et de production d’une preuve La recherche doit être libre Il ne faut pas imposer une rédaction rigoureuse L’élève apprend à organiser ses idées L’élève doit trouver les grandes lignes de la démonstration

28. La phase de recherche et de production d’une preuve

29. 2. La mise en forme de la démonstration Réalisée en classe à partir de l’arbre de démonstration Correction faite par le professeur pendant la séance En devoir à la maison Correction faite par un élève à la séance suivante

30. La synthèse de la séance ne pas l’oublier! Le logiciel de géométrie dynamique est un atout Observer des cas particuliers Se créer une image mentale Vient conforter le résultat que l’on a démontré

31. Retour sur nos pratiques