Komplexné čísla

1. Komplexné čísla Ján Šarmír, Ján Maruškin Ďalej

2. Čo obsahuje táto prezentácia • Pojem komplexné číslo • Geometrický model komplexných čísel • Komplexne združené čísla • Operácie k. čísel v algebrickom tvare • Goniometrický tvar komplexného čísla • Súčin a podiel komplexných čísel v goniometrickom tvare • Moivrova veta • Binomická rovnica • Riešenie kvadratickej rovnice v obore C • Algebrické rovnice n-tého stupňa • Záver : Pohľad do dejín matematiky – Gauss a Galois

3. Pojem komplexné číslo Komplexné číslo je usporiadaná dvojica reálnych čísel. Množinu C = R×R nazývame množinou komplexných čísel. Zápis: z = [a,b] or z = x + yi a – reálna časť komplexného čísla b – imaginárna časť komplexného čísla Rovnosť k. čísel: [a,b] = [c,d]  a = c ^ b = d Imaginárna jednotka : je komplexné číslo i = [0,1] mocnina imaginárnej jednotky : i2 = -1 , i3 = -i , i4 = 1 obecne : i4k = 1 , i4k+1 = i , i4k+2 = -1 , i4k+3 = -i Druhy komplexných čísel : [a,b] je reálne číslo , ak b = 0 ; [a,0] [a,b] je imaginárne číslo ak [a,b] je rýdzoimaginárne , ak a = 0, ;[0,b] Späť do menu

4. Geometrický model komplexných čísel Každému komplexnému číslu môžeme jednoznačne priradiť bod v rovine so súradnicami [x,y] Reálne čísla vyplnia pri tomto zobrazení os X – reálna os a os Y je imaginárnou osou K. čísla sčítavame v grafickom prevedení ako súčet vektorov a rozdiel urobíme ako rozdiel vektorov . Absolútna hodnota k. čísla z = a + bi : je nezáporné reálne číslo vyjadruje vzdialenosť obrazu komplexného čísla z od obrazu čísla 0 v Gaussovej rovine. Y ( 2 + 3i ) + ( i – 1 ) = ( 1 + 4i ) 2 + 3i i – 1 X Späť do menu

5. Komplexne združené čísla Komplexne združeným číslom k z : je číslo Obrazy komplexne združených čísel sú súmerne združené podľa reálnej osi. Späť do menu

6. Operácie k. čísel v algebrickom tvare Späť do menu

7. Goniometrický tvar komplexného čísla kde je absolútna hodnota k. čísla ( Je to obraz čísla z od začiatku súradnicovej sústa - vy v Gaussovej rovine) je amplitúda k. čísla , pre ktorú platí : Každé nenulové komplexné číslo môže byť zapísané v goniometrickom tvare.Goniometrický tvar k. čísla nie je určený jednoznačne. Späť do menu

8. Násobenie a delenie k. čísel v goniometrickom tvare Späť do menu

9. Moivrova veta Ak máme n rovnakých činiteľov , teda ak Máme vzťah pre n-tú mocninu k. čísla v goniometrickom tvare : v prípade k. jednotky Platí vzťah Toto plati pre mocniny A pre odmocniny platí : Späť do menu

10. Binomická rovnica rovnica tvaru ,kde sú komplexné čísla , n je prirodzené číslo Každú rovnicu , ktorá má tvar môžeme upraviť na tvar : riešiť túto rovnicu znamená určiť všetky n-té odmocniny z čísla a => • X a A napíšeme v goniometrickom tvare : • Použijeme vzťah na umocnenie komplexného čísla • Využijeme rovnosť komplexných čísel na porovnanie absolútnych hodnôt a amplitúd : a súčasne • Vypočítame reálne čísla a : a súčasne • Dosadením vypočítaných hodnôt dostaneme n koreňov binomickej rovnice : Späť do menu

11. Riešenie kvadratickej rovnice v obore C Rovnicu, ktorá má tvar (1) kde a, b, c sú komplexné čísla, a 0, nazývame kvadratická rovnica Ak sme doteraz riešili kvadratickú rovnicu v obore reálnych čísel, predpokladali sme, že a, b, ca pre nezáporný diskriminant sme dostali korene (2) V prípadoch, kedˇ bol diskriminant záporné číslo, sme hovorili, žekvadratická rovnica nemáv obore reálnych čísel riešenie.Vzťah (2) môžeme odvodiť postupným rozkladom ľavej strany rovnice(1) na lineárne činitele. Z tohto vyplýva vzťah(2) Je zrejmé, že všetky úpravy ľavej strany rovnice (1) na odvodenie vzťahu sú správne aj vtedy, kedˇ a, b, c sú komplexné čísla a kedˇkorene rovnice hľadáme v množine všetkých komplexných čísel.Pretože operácia odmocnina má v obore komplexných čísel zmysel pre ľubovoľné komplexné číslo, ohraničenie riešiteľnosti kvadratickej ronvnice, ktoré sme poznali v obore reálnych čísel preD<0, nie je v oborekomplexných čísel potrebné . Ďalej

12. V obore komplexných čísel má kvadratická rovnica,kde a, b, c sú komplexné čísla, vždy riešenie. Korene sú dané vzťahom Kde je ľubovoľná komplexná odmocnina z čísla Ak, má táto rovnica dva korene, ak D=0, má jeden (dvojnásobný) koreň. Späť do menu

13. Algebrické rovnice n-tého stupňa V doterajšom štúdiu matematiky sme sa dosť podrobne zaoberalialgebrickými rovnicami prvého a druhého stupňa. Tieto rovnice majútvar Kde b, c sú reálne alebo komplexné čísla. Vieme, že v obore komplexných čísel má každá rovnica prvého stupňa práve jeden koreň, každá rovnica druhého stupňa práve dva korene. V algebre treba však často riešiť aj rovnice vyšších stupňov. Algebrická rovnica n-tého stupňa má tvar kde x je neznáma, sú dané komplexné čísla, pričom .Prirodzené číslonurčuje stupeň rovnice. Späť do menu

14. Pohľad do dejín matematiky – Gauss a Galois Problém existencie riešenia rovníc a určenie počtu koreňov bol dlho problémom celej algebry. V roku 1799 vynikajúci nemecký matematik Karol Friedrich Gauss(1777-1855) dokázal vetu: Každá alerická rovnica n- tého stupňa má aspoň jeden komplexný koreň. Toto tvrdenie sa v algebre uvádza často pod názvom základná veta algebry. (Všimnite si, koľko rokov mal Gauss, kedˇ ju vyslovil a dokázal.) Okrem pôvodnéhoGaussovho dôkazu vety bolo potupne predložených veľa iných spôsobov dôkazu. Nakoniec sám Gaus vetu dokázal ešte dˇaľšími tromi odlišnými spôsobmi. Na riešenie rovníc prvého a druhého stupňa poznáme všeobecné vzťahy , podľa ktorých možno nájsť ich korene. Pre rovnice prvého stupňa ax + b = 0, kde , je tovzťah Pre rovnice druhého atupňa ax+ bx + c = 0, kde, je to vzťah  Jestvujú aj vzťahy na určenie koreňov rovníc tretieho a štvrtéhostupňa(Cadanove vzorce).Tie sú však už značne komplikované a výpočty podľa nich zdĺhavé. Treba povedať, že korenerovníc prvého až štvrtého stupňa možno vyjadriť pomocou koeficientov týchto rovníc a použitím sčítania, odčítania, násobenia, delenia, mocnenia  odmocnenia.Porovnaj toto tvrdenie s vyjadrením koreňov kvadratickej rovnice). Hovoríme , že korene týchto rovníc možno vyjadriť pomocou radikálov. Ďalej

15. Matematici sa dlho usilovali nájsť aj ,,vzorec” na riešenie rovníc piateho a vyšších stupňov.No neúspešne. Nakoniec nórsky matematik Niels Henrik Abel (1802-1829) dokázal, ževšeobecnú algebrickú rovnicupiateho stupňa nemožno riešiť pomocou radikálov. Vyčerpavjúcu odpovedˇ o podmienkach, za ktorých možno algebrickú rovnicu riešiť pomocou radikálov, dal francúzsky matematik EvaristeGalois (1811-1832). Presné riešenie algebrických rovníc piateho a vyšších stupňov nie je vždy možné. Napríklad rovnica je pomocou radikáov neriešiteľná, kým rovnicu tvaru možno pomocou radikálov riešiť pomerne ľahko. Na riešenie algebrických rovníc, ktorých korene nemožno určiť pomocou radikálov, sa používajú numerické(približné) alebo grafické metódy, obyčajne vhodné aj pre matematicjé stroje . Poznatky o algebrických rovniciach sa využili ako veľmi dobrý pomocný aparát aj pri riešení niektorých geometrických úloh. Umožnili nájsť podmienky pre riešiteľnosť niektorých úloh pomocou pravítka a kružidla. Pomocou týchto poznatkov sa podarilo napríklad dokázať,že pravítkom a kružidlom sa nedajú riešiť tri už v staroveku známe úlohy- trisekcia uhla(rozdeliť ľubovoľný uhol na tri rovnké časti), detský problém Ďalej

16. (zdvojenie kocky, t.j. zostrojiť kocku s dvojnásobným objemom ako má daná kocka),kvadratúru kruhu (zostrojiť štvorec s rovnakým obsahom ako má daný kruh). Podobnými problémom je aj zostrojiť pomocou pravítka kružidla pravidelný n- uholník. Týmito pomôckami nie je úloha vždy riešiteľná. Riešiteľná je napríklad pre n=3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, ale nie je riešiteľná pre n=7, 9, 11, 13, 14, 18, 19. Ako sme videli, takéto n-uholníky možno zostrojiť po zostrojení obrazov koreňov príslušných binomických rovníc. Späť do menu

17. Koniec Ďakujeme za návštevu našej prezentácie.