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1. Amintas engenharia

2. Noções sobre Vetores Prof. Amintas Paiva Afonso

3. + : E x E . :  x E E E (x,y) (,y) Noções sobre Vetores Espaço Vetorial • # Um conjunto E () onde são definidas as seguintes operações: composição interna + (x,y) := x + y composição externa  (,x) :=  . x

4. Noções sobre Vetores Espaço Vetorial • Para x, y, z  E e , , temos as seguintes propriedades: • i)     x + y = y + x; • ii)    x + ( y + z ) = ( x + y ) + z; • iii)    0  E tal que: x + 0 = x x  E; • iv)   Dado x  E, existe (-x)  E tal que: x + (-x) = 0; • v)    (x) = ()x; • vi)   (x + y) = x + y; • vii)  (+)x = x + x; • viii) 1.x = x x  E;

5. Noções sobre Vetores Espaço Vetorial • Um conjunto que satisfaz essas propriedades é chamado de espaço vetorial real. • (E, +, , ) é um quatérnio e E pode ser o próprio .

6. Noções sobre Vetores Espaço Vetorial • Qualquer elemento de um espaço vetorial chama-se VETOR. • Exemplos de espaços vetoriais: • o conjunto os números reais; • o conjunto dos números complexos; • o conjunto dos vetores da geometria definidos por meio de segmentos orientados; • o conjunto das matrizes Mmxn (), o espaço n; • o espaço Cn, o conjunto dos polinômios reais de grau  n Pn(); • o conjunto dos polinômios complexos Pn(C), etc.

7. Noções sobre Vetores Espaço Vetorial • Para verificar que um determinado conjunto constitui um espaço vetorial devemos verificar se ele satisfaz cada uma das oito propriedades apresentadas.

8. Noções sobre Vetores Vetores • Um vetor é uma ficção, uma entidade criada para descrever “coisas” no mundo que têm direção e sentido. Que coisas são essas? • o vento; • o fluxo de H2O de um rio; • a emissão puntiforme de luz; • um campo elétrico; • a velocidade de um trem bala; • o movimento dos planetas (aliás, a teoria de Newton não explica por que os planetas se movem todos num mesmo sentido), etc.

9. y y’ 0 x’ x Noções sobre Vetores Sistema de Coordenadas Para bem determinar a posição de um vetor é necessário a escolha de um sistema de coordenadas. Sistema de coordenadas retangulares ou cartesianas Define-se um sistema de coordenadas cartesianas quando é dada uma unidade linear para medir os comprimentos e dois eixos perpendiculares ordenados numa ordem qualquer. P(x,y) . O ponto P(x,y) significa que o ponto P tem por abscissa o nº x e por ordenada o n.º y.

10.   O A Noções sobre Vetores Sistema de coordenadas polares Um sistema de coordenadas polares é definido quando se dá um ponto O, chamado pólo, uma semi-reta OA que parte desse ponto O, chamado eixo polar, e um segmento arbitrário com unidade de comprimento. Convém, nesse sistema, definir o sentido positivo de rotação em redor do ponto O. (Geralmente, é o sentido anti-horário). P Chama-se coordenadas polares de um ponto P qualquer aos números =OP e =ang AOP. O símbolo P(, ) significa que o ponto P tem coordenadas polares  e .

11. Noções sobre Vetores Passagem das coordenas polares para as coordenadas cartesianas Sejam (x,y) as coordenadas de um ponto no sistema de coordenadas cartesianas e (, ) as coordenadas de um ponto no sistema de coordenadas polares: x = . cos  y = . sen 

12. Noções sobre Vetores Representação gráfica • A representação gráfica de um vetor é a de uma flecha apontando para algum lugar. • Propriedades -  direção; -  sentido; -  magnitude. • Grandezas vetoriais: a aceleração, a velocidade e o deslocamento, força, etc. • Grandezas escalares: a massa, o tempo e a temperatura, densidade, etc.

13. Noções sobre Vetores Representação simbólica • Por convenção, para saber que estamos falando de vetores e não de variáveis ou outro ente matemático qualquer, designamos o vetor por uma letra e utilizamos uma flecha sobre a letra. • Mas há outras maneiras de representar um vetor. Imagine, por exemplo, um vetor no plano:

14. Y B y2 y1 A X x1 x2 Noções sobre Vetores Representação simbólica • A sua origem e a sua extremidade podem ser associadas a pontos no plano xy. Assim, o vetor acima pode ser representado como o segmento orientado e seu comprimento é dado por B – A. As coordenadas de A são (x1, y1) e as coordenadas de B são (x2, y2). Logo, o comprimento do vetor AB é dado por B – A = (x2 -x1 , y2 -y1)

15. Y B y2 y1 A X x1 x2 Noções sobre Vetores Exemplo • Seja = [2,2]. (3,4) (1,2) Podemos associar a o segmento de reta orientado com ponto inicial A(1,2) e ponto final B(3,4). = B – A = (3-1, 4-2)=(2,2)

16. Noções sobre Vetores Operações com vetores • Considere 2 vetores: e . A resultante + é obtida pela chamada “lei do paralelogramo”. Construímos um paralelogramo unindo a origem dos dois vetores e traçando retas paralelas a e a partir de suas extremidades.

17. Noções sobre Vetores Lei do paralelogramo A lei do paralelogramo foi idéia de Aristóteles quando este estudava a composição de forças no caso particular do retângulo.

18. Noções sobre Vetores Variações Mas, além da lei do paralelogramo, a soma de vetores pode ser obtida unindo-se a extremidade do primeiro vetor à origem do segundo.

19. Noções sobre Vetores Somando mais que dois vetores

20. Noções sobre Vetores • Em termos de suas coordenadas, a soma se dá componente a componente: • Definição:Sejam e dois vetores no plano. A soma dos vetores e é o vetor . Exemplo: Sejam e então, 1.ª coordenada 2.ª coordenada

21. Noções sobre Vetores Exemplo: Interpretação geométrica

22. Noções sobre Vetores Diferença de vetores Representamos o vetor + (-1) por . Esse vetor é a diferença de e .

23. Noções sobre Vetores Produto de um vetor por um escalar Considere que o vetor tem a magnitude de uma unidade. Se multiplicarmos esse vetor por um número real qualquer, por exemplo, 3, o vetor tem sua magnitude aumentada para 3 unidades. A direção é conservada se o escalar for 0, caso contrário, o vetor assume a direção oposta.

24. Noções sobre Vetores Exemplo Se a = 2, b = -3 e = (1,-2), então: e

25. Noções sobre Vetores Produto escalar • O produto escalar dos vetores de dimensão n: • a = (a1,a2,...an) e b = (b1,b2,...,bn), é definido por: • a.b = a1b1 + a2b2 + ...+ anbn = • Exemplo • Calcule o produto escalar de = (1,-2,3,4) e = (2,3,-2,1). • . = 1.2 + (-2).3 + 3.(-2)+ 4.1 = -6

26. Noções sobre Vetores Ângulo entre dois vetores O produto escalar entre dois vetores resulta num número que mede a tendência de outro vetor apontar na mesma direção e é dado por: onde  é o ângulo formado por e .

27. Noções sobre Vetores Exemplo Encontre o ângulo entre os vetores = (2,4) e = (-1,2). . = 2.(-1) + 4.2 = 6 Portanto, Usando a calculadora, descobrimos que o ângulo é aproximadamente 53º.

28. Noções sobre Vetores Ângulo entre dois vetores Se e então, cosseno Neste caso, os vetores são perpendiculares entre si.

29. Noções sobre Vetores Ângulo entre dois vetores O produto escalar entre dois vetores não nulos é zero se, e só se, o cosseno do ângulo entre eles é zero e, isto só acontece quando os vetores são perpendiculares . Exemplo Os vetores = (2,-4) e = (4,2) são ortogonais, já que:

30. Noções sobre Vetores Ângulo entre dois vetores . => Mas, , logo Temos então que:

31. y 0 x1 x Noções sobre Vetores Comprimento ou norma de um vetor O comprimento, tamanho ou norma de um vetor = (x1,y1) é: y1 Além disso, dado um escalar , pertencente a :

32. Noções sobre Vetores Desigualdade triangular A norma da soma de dois vetores é sempre menor ou igual à soma das normas de cada um dos vetores: Desigualdade de Cauchy-Schwarz-Bunyakowski Essa desigualdade é conhecida por Desigualdade de Cauchy-Schwarz em homenagem a Augustin Cauchy e Hermann Amandus Schwarz. Na realidade é a desigualdade de Cauchy-Bunyakovski-Schwarz, mas o pobre Bunyakovski foi sendo esquecido com o tempo.

33. Noções sobre Vetores Eis o Bunyakowski, porque aqui todos merecem ser lembrados.

34. y P2 y2 y1 P1 0 x2 x Noções sobre Vetores Distância entre dois pontos Além disso, pelo teorema de Pitágoras, podemos obter comprimento do segmento orientado com ponto inicial P(x1,y1) e ponto final P(x2,y2): x1

35. Noções sobre Vetores Exemplo-1 Se = (2,-5), então o comprimento de é dado por: Exemplo-2 A distância entre P(3,2) e Q(-1,5), ou o comprimento do segmento orientado é dado por:

36. Noções sobre Vetores Versor ou Vetor unitário Um vetor unitário é um vetor de comprimento 1. Se é um vetor não-nulo, então o vetor: é um vetor unitário com a mesma direção e sentido que .

37. Noções sobre Vetores Exemplo Seja x = (-3,4). Então: Logo, o vetor É um vetor unitário, pois:

38. Noções sobre Vetores Ponto médio de um segmento O ponto médio do segmento de reta P1(x1,y1) a P2(x2,y2) é dado por: P2(x2,y2) M(x,y) P1(x1,y1)

39. Noções sobre Vetores Exemplo Determine o ponto médio M do segmento P1(-2,3) a P2(4,-2).

40. Noções sobre Vetores Produto vetorial Diferentemente do produto escalar, que dá como resultado um número, o produto vetorial tem como resultado, um outro vetor. Definição: Sejam = a1î + b1ĵ + c1k e = a2î + b2ĵ + c2k dois vetores em 3. Seu produto vetorial é o vetor x definido por:

41. Noções sobre Vetores Produto vetorial A igualdade anterior também pode ser escrita da seguinte forma: Exemplo: Sejam =2î + j + 2k e = 3î –j – 3k, então:

42. Noções sobre Vetores Produto vetorial O produto vetorial de um vetor consigo mesmo não forma ângulo. Eles são coincidentes. Logo, î x î = j x j = k x k = 0  Por outro lado, î x j = k; j x k = î; k x î = j.

43. v |u x v| = área do paralelogramo u Noções sobre Vetores Norma do produto vetorial Vimos que o produto de dois vetores resulta num terceiro vetor ortogonal ao plano que contém os vetores originais. O comprimento desse terceiro vetor, ou seja, sua norma, é numericamente igual à área do paralelogramo formado por esses vetores. u x v

44. Noções sobre Vetores Norma do produto vetorial Quando dois vetores forem paralelos no plano, então não há ângulo entre eles. Neste caso, em que = λ. , o produto vetorial x = 0. Já que o produto de dois vetores resulta num terceiro vetor perpendicular aos vetores originais, como saber a orientação desse vetor? Em outras palavras: para onde ele aponta?! Uma regra prática conhecida como “regra da mão direita” estabelece que se posicionarmos o indicador da mão direita na direção e sentido do vetor u e o dedo médio na direção e sentido de v , o polegar apontará o sentido do terceiro vetor.

45. Noções sobre Vetores Exemplo-1 Calcule a área do paralelogramo ABCD, sendo AB=(1,1,-1) e AD=(2,1,4). Área = || AB x AD || AB x AD = B C A D

46. Noções sobre Vetores Exemplo-1) continuação || AB x AD || = Exemplo-2 A medida em radianos do ângulo entre e é . Sendo || ||=1 e || ||=7, calcule || x ||. || x || = || ||.|| ||. sen = 1 . 7 . sen = 1 . 7 . 0,5 = 3,5

47. Noções sobre Vetores Produto misto Considere os vetores , e . O produto misto é o número real obtido como resultado da seguinte operação: O volume do paralelepípedo é dado por :

48. Noções sobre Vetores Exemplo Calcule o volume de um paralelepípedo definido pelos seguintes vetores: = (2,2,0); = (0,1,0) e = (-2,-1,-1) mas, h=||proj || 

49. Noções sobre Vetores Título: The Cauchy-Schwarz Master Class : An Introduction to the Art of Mathematical Inequalities Autor: J. Michael SteeleEditora: Cambridge University Press

50. Métodos de Cálculo II • Bibliografia utilizada: • Flemming, D. M. & Gonçalves, M. B. Cálculo A. Person Education. São Paulo, 1992. • Abdounur, O. J. & Hariki, S. Matemática Aplicada. Saraiva. São Paulo, 2006. • Stewart, J. Cálculo. Volume I. Thomson. São Paulo, 2006. • Priestley, W. M. Calculus: An Historical Approach. Springer-Verlag. New York, 1979. • Eves, H. Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics. Dover, 1990.