Zeitreihenanalyse WS 2004/2005

1. Zeitreihenanalyse WS 2004/2005 Michael Hauhs / Gunnar Lischeid • Definition einer Zeitreihe, Eigenschaften • Tests und Trenderkennung bei Zeitreihen • Beispiele (ACF, Tests), Fouriertransformationen, Powerspektrum • Zeitreihenmodellierung der ARMA-Klasse • Modellierung von Zeitreihen mit langem Gedächtnis • Kausalität, Transferfunktionen, multivariate Methoden • Skalierung, (Multi-)Fraktale • Komplexität und Information von Zeitreihen • Wavelets

2. Problem der ARMA/ARIMA(p,q)-Modelle: Autokorrelation fällt exponentiell für grosse Abstände ( ) Beobachtete Zeitreihen haben aber oft ein langes Gedächtnis: Wiederholung: Das Gedächtnis M einer Zeitreihe ergibt sich aus den Autokorrelationskoeffizienten Langes Gedächtnis Z.B. wenn für grosse Abstände (algebraisches Abklingen) Modellierung von Zeitreihen mit langem Gedächtnis

3. unkorreliertes (Gaußsches) Rauschen Beobachtungen, Rückwärtsschiebeoperator Autoregressives Polynom der Ordnung p Moving Average Polynom der Ordnungq Differenzenoperator Reihenentwicklung: D.h. alle vorangegangenen Zeitpunkte tauchen auf (bis zum Abbruch)! Modellierung beliebig langreichweitiger Korrelationen: Fractional Autoregressive Integrated Moving Average (FARIMA) Modelle

4. Verhalten von FARIMA(p,d,q)-Modellen Verhalten der Autokorrelation: dheißt Persistenz-Parameter (d=0 keine, d=0.5 maximale Persistenz)

5. Vorgehen bei der Konstruktion von FARIMA(p,d,q)-Modellen an Beispielen(Montanari et al., WRR 33, 1035-1044 (1997); WRR 36, 1249-1259 (2000)) • x(t): 51 Jahre tägliche Werte, 18748 Datenpunkte; 122 Jahre monatliche Werte, 1466 Datenpunkte • Elimination von periodischen Instationaritäten: Desaisonalisierung mit geeignetem Verfahren • Berechnung der Autokorrelation für die desaisonalisierte Reihe und Abschätzung der benötigten Terme für den Differenzenoperator • Ggf. Transformation der Daten, um Normalverteilung zu approximieren (Box-Cox-Transformation), nicht immer nötig • Bestimmung einer ersten Schätzung für d (Hurst-Analyse) • Wahl von p und q und Ermittlung der optimalen Koeffizienten mit Maximum Likelihood-Verfahren • Auswahl des besten Modells mit dem Akaike-Informations-Kriterium

6. Simulation der Zeitreihe mit dem besten Modell und Vergleich von Autokorrelation und Wahrscheinlichkeitsverteilung • Untersuchung der Residuen (unkorreliertes Gaußsches Rauschen?) mit dem Portmanteau-Test • Falls erfolgreich: Abflussgenerator gefunden!

7. Beispiel: Lago Maggiore-Zufluss Langreichweitige Autokorrelationen sind klar vorhanden. Die Entwicklung des Differenzenoperators sollte ca. 100 Terme umfassen.

8. Die Portmanteau-Statistik zeigt: optimales Modell ist FARIMA(1,0.38,1), genauer: ...aber auch, dass das Restrauschen nicht Gaußsch ist!

9. Das Restrauschen ist nicht signifikant korreliert Das Restrauschen ist nicht mit einer Normalverteilung verträglich

10. Die Simulationen mit dem optimalen Modell liefern AKFs und pdfs, die die Beobachtungen sehr gut widerspiegeln

11. Beobachtung an Nil-Hochwässern (2000 Jahre): D.h. die Extremereignisse wachsen sehr viel schneller an: Persistenz Das Hurst-Phänomen Beobachtung (Hurst 1951): Der Wertebereich q oder die Höhe von Extremereignissen hängt von der gewählten Zeitauflösung oder Aggregation k wie eine Potenzfunktion ab: H: Hurst-Koeffizient (-Exponent) Theoretische Rechnung: Bei Prozessen erster Ordnung (Random Walk, ARIMA(0,1,0), Brownsche Bewegung) gilt

12. Das Nilometer bei Kairo: Längste hydrologische Zeitreihe der Welt: 621-1921 A.D. aus: Sutcliffe and Parks (1999)

13. Nil-Abfluß

14. Nile runoff 1872 - 1996 Years

15. Beispiel Nil: Autokorrelation

16. Nil-Wahrscheinlichkeiten

17. Teilsummen Fenstermittel Abweichungen vom linearen Verhalten Bereichsstatistik Standardabweichung im Fenster Mandelbrots Test Statistik Die R/S Methode zur Hurst Statistik Man plottet log q gegen log k und bestimmt die Steigung H

18. Eigenschaften des Hurst-Exponenten • Klassifikation von Prozessen: • Persistenz (H > 0.5), • Anti-Persistenz (H < 0.5), • Brownsches Rauschen (H = 0.5) • Regen meistens in der Nähe von H=0.5 • Typischer Abflusswert (Weltmittel) : H=0.73(Nil ist ein Extremfall) • Theoretischer Zusammenhang mit dem Persistenzparameter:d=H-0.5 (manchmal nicht gut erfüllt, s. später) • Prinzipielles Problem: Langsame Instationaritäten (sehr lange Mittelwertdrifts), die durch Trendtests nicht erkannt werden, führen zu H>0.5 genau wie "echte" Persistenz

21. Steinkreuz Hurst Statistik 3.9 Abfluss, H=0.96 3.4 Regen, H=0.68 2.9 2.4 1.9 log q 1.4 0.9 0.4 -0.1 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 log k Im Regensignal ist ein endliches Gedächtnis (Abflachen) zu erkennen

22. Hurst-Exponenten von Flüssen (weltweit) 0.9 0.85 Paar Loisach Donau Amper 0.8 Hurst-Exponent Ammer Isar 0.75 0.7 0.65 Nil Kochel Dasing Fischen Kelheim Dillingen Inkhofen Achleiten Ingolstadt Manching Lenggries Oberndorf Amazonas Hofkirchen Mittenwald Mississippi Donauwörth Oberammergau Fürstenfeldbruck Bad Tölz Kraftwerk Garmisch u.d. Partnach Günzburg u.d. Mündung Günz Ort