Problema 19.159

1. Problema 19.159 Una placa cuadrada delgada de a por lado puede oscilar alrededor del eje AB ubicado a una distancia b de su centro de masa G. a) Determine el periodo de las oscilaciones pequeñas si b = a/2. b) Determine un segundo valor de b para el cual el periodo de la oscilación pequeña sea el mismo que el hallado en el inciso a. A a B G b a

2. Problema 19.159 Una placa cuadrada delgada de a por lado puede oscilar alrededor del eje AB ubicado a una distancia b de su centro de masa G. a) Determine el periodo de las oscilaciones pequeñas si b = a/2. b) Determine un segundo valor de b para el cual el periodo de la oscilación pequeña sea el mismo que el hallado en el inciso a. A a B G b a Resolución de los problemas por sí mismo 1. Elija una coordenada con la que se medirá el desplazamiento del cuerpo desde su posición de equilibrio. Para la rotación de un cuerpo alrededor de un eje fijo, el ángulo que mide la rota- ción del cuerpo desde su posición de equilibrio es la coorde- nada más conveniente para usar.

3. Problema 19.159 Una placa cuadrada delgada de a por lado puede oscilar alrededor del eje AB ubicado a una distancia b de su centro de masa G. a) Determine el periodo de las oscilaciones pequeñas si b = a/2. b) Determine un segundo valor de b para el cual el periodo de la oscilación pequeña sea el mismo que el hallado en el inciso a. A a B G b a Resolución de los problemas por sí mismo 2. Dibuje una ecuación en diagrama de cuerpo libre para expre- sar que el sistema de las fuerzas externas es equivalente al sistema de las fuerzas eficaces, el cual consta del vector ma y del par Ia, en donde a = xy a = q. .. .. 3. Escriba la ecuación diferencial del movimiento al igualar los momentos de las fuerzas externas y eficaces alrededor del eje fijo de rotación.

4. Problema 19.159 Una placa cuadrada delgada de a por lado puede oscilar alrededor del eje AB ubicado a una distancia b de su centro de masa G. a) Determine el periodo de las oscilaciones pequeñas si b = a/2. b) Determine un segundo valor de b para el cual el periodo de la oscilación pequeña es el mismo que el hallado en el inciso a. A a B G b a Resolución de los problemas por sí mismo 4. Escriba la ecuación diferencial del movimiento con b como una variable. Se modela el mismo problema, excepto en que la di- mensión b es una variable.

5. Problema 19.159 Solución a) Determine el periodo de las oscilaciones pequeñas si b = a/2 Elija una coordenada con la que se medirá el desplazamien-to del cuerpo. .. a = q at= ba Ay A Dibuje una ecuación en diagrama de cuerpo libre Ax b = a/2 man = mat G q G Escriba la ecuación diferencial del movimiento Ia SMA = S(MA)ef: mg -mgb sen q = Ia + (b)mat = (I + mb2)a

6. Problema 19.159 Solución a) Determine el periodo de las oscilaciones pequeñas si b = a/2 .. a = q Escriba la ecuación diferencial del movimiento SMA = S(MA)ef: Ay A -mgb sen q = (I + mb2)a Ax b = a/2 man Para las oscilaciones pequeñas sen q = q = .. -mg(a/2)q= (ma2/12 + m(a/2)2)q mat G q G .. Ia mga 2 1 3 ma2q + q = 0 .. mg 3g 2a q + q = 0 2a 3g wn2 = 3g/2a t = 2p

7. Problema 19.159 Solución b) Determine un segundo valor de b para el cual el periodo de la oscilación pequeña sea el mismo que el hallado en el inciso a. Escriba la ecuación diferencial del movimiento con b como una variable SMA = S(MA)ef: Ay A -mgb sen q = (I + mb2)a b Ax man = Para las oscilaciones pequeñas sen q = q .. mat G q G 1 12 -mgbq = ( ma2 + mb2)q Ia .. gb (a2/12 + b2) q + q = 0 mg .. 3g 2a gb (a2/12 + b2) a = q wn2 = =

8. Problema 19.159 Solución b) Determine un segundo valor de b para el cual el periodo de la oscilación pequeña sea el mismo que el hallado en el inciso a. 3g 2a gb (a2/12 + b2) wn2 = = Ay A b Ax man 3b2 - 2ab + a2/4 = 0 = mat G q G 1 6 b = [2a + 4a2- 3a2 ] Ia = a/3 + a/6 mg b = a/6