PROBLEMA 1 PROBLEMA 3

1. Electricidad y Magnetismo EXAMEN PRIMERA SEMANA. Febrero 2006 PROBLEMA 1 PROBLEMA 3

2. Electricidad Z 2a Y A a y Magnetismo PROBLEMA 1. Cálculo de campo eléctrico y potencial (aportaciones infinitesimales) Sobre un segmento rectilíneo de longitud a y una semicircunferencia de radio 2a y centro en el punto A (0, a, 0) se distribuye una densidad lineal de carga  (véase figura). Calcular el campo eléctrico y el potencial en el punto A. Pasos previos: cálculo del campo creado por una densidad lineal de carga (ver cálculo 1.1) y del campo creado por una densidad constante  sobre una semicircunferencia (ver cálculo 1.2) Campo del segmento rectilíneo: Campo de la semicircunferencia: Campo total en A: Cálculo del potencial creado por una densidad lineal de carga (ver cálculo 1.3) y por una densidad lineal sobre una semicircunferencia (ver cálculo 1.4). Potencial en A Campo del segmento rectilíneo: Campo de la semicircunferencia:

3. Electricidad Z a a/2 Y y Magnetismo PROBLEMA 3. Cálculo de campo magnético (aportaciones infinitesimales) Por una espira, formada por una semicircunferencia y dos tramos rectos tal como indica la figura, circula la corriente I. Calcular el campo magnético en el origen de coordenadas. Puesto que todos los elementos conductores están situados en el plano YZ, el campo magnético resultante en el origen tendrá la dirección del eje X (perpendicular al plano del esquema) El campo magnético en origen de los tramos rectilíneos estará dirigido en sentido entrante (compruébese con la regla de la mano derecha). El del tramo semicircular está dirigido en sentido saliente. Puesto que la distancia de los elementos de corriente del tramo semicircular al origen es mayor, el campo neto debe ser de sentido entrante (se comprobará). Pasos previos: cálculo del campo magnético creado por un filamento rectilíneo que conduce la corriente I(ver cálculo 3.1) y del campo magnético creado por una corriente I sobre una semicircunferencia (ver cálculo 3.2)

4. Electricidad Z a 1 a/2 Y y 2 Magnetismo X PROBLEMA 3. Cálculo de campo magnético (aportaciones infinitesimales, continuación) A) Tramos rectilíneos Según la orientación de la espira respecto a los ejes coordenados, el campo de cada tramo rectilíneo se expresa como 3 donde h = a/2 y los ángulos 1 y 2 son para el conductor superior 30º y 60º, y para el inferior 60º y 30º (véase que la contribución de cada uno de ellos es la misma porque en el resultado final figura la suma de los senos de los ángulos). B) Tramo semicircular: su sentido es saliente Campo total:

5. Electricidad y Magnetismo CÁLCULOS

6. Electricidad Z dz r L z 1 P  2 Y h Tomamos como origen este punto y Magnetismo Cálculo 1.1. Campo eléctrico debido a densidad lineal de carga  en un punto arbitrario P. VOLVER Supongamos que la densidad de carga lineal está distribuida sobre un segmento de longitud L con la orientación mostrada en la figura. Calculemos el campo en P El ángulo es positivo en sentido antihorario y su línea de referencia es la horizontal que pasa por P; por tanto los ángulos por encima de la horizontal que pasa por P tienen una contribución negativa a Ez ya que su seno es negativo (esto es lo que se muestra en el dibujo, pues se ha pintado un elemento dz por encima de esa horizontal). Los elementos dz por debajo de esa horizontal tienen contribución positiva, pues su seno es positivo. Véase que todas las contribuciones a Ey son positivas, pues cos  = cos (-). Relación entre el ángulo  y la coordenada z: (El signo negativo obedece a que cuando la coordenada z decrece, el ángulo  aumenta, pues su sentido positivo es el sentido antihorario) Límites de integración: -1 y 2 Caso particular planteado en nuestro problema: Cuando h = a, L = 2a, cos1 = 1/5, sen1 = 2/5, 2 = 0 VOLVER Cálculo 3.1

7. Electricidad Z y Y  Magnetismo d Rd 0 Cálculo 1.2. Campo eléctrico de arco de circunferencia (densidad lineal ) en su centro. VOLVER Sea un arco de circunferencia de 0 radianes y radio R con densidad lineal  C/m El sentido positivo del ángulo  es el antihorario. Límites de integración: 0 y 0 R Caso particular planteado en nuestro problema: Cuando R = a, 0 =  rad

8. Electricidad Z dz r L z 1 P  2 Y h Tomamos como origen este punto y Magnetismo Caso particular planteado en nuestro problema: h = a, L = 2a, cos1 = 1/5, sec1 = 5, sen1 = 2/5, tan1 = 2 2 = 0, cos2 = 1, sec2 = 1, sen2 = 0, tan2 = 0 Cálculo 1.3. Potencial eléctrico debido a densidad lineal de carga  en un punto arbitrario P. VOLVER Supongamos que la densidad de carga lineal está distribuida sobre un segmento de longitud L con la orientación mostrada en la figura. Calculemos el potencial en P

9. Electricidad Z y Y  Magnetismo d Rd 0 Cálculo 1.4. Potencial eléctrico de arco de circunferencia (densidad lineal ) en su centro. VOLVER Sea un arco de circunferencia de 0 radianes y radio R con densidad lineal  C/m El sentido positivo del ángulo  es el antihorario. Límites de integración: 0 y 0 R Caso particular planteado en nuestro problema: Cuando R = a, 0 =  rad

10. Electricidad  r l  h h Vector unitario perpendicular al plano de la figura, entrante a la izquierda y saliente a la derecha de la misma y Magnetismo r 1  2 Cálculo 3.1. Campo magnético de un conductor rectilíneo en un punto arbitrario. VOLVER El campo magnético debido a cada elemento de corriente en un punto como el indicado en el esquema tiene sentido entrante (a la derecha del conductor tiene sentido saliente, aunque esto no se muestra en la figura) Cálculo del campo por Biot y Savart: Módulo dB CASO PARTICULAR: En nuestro problema h = a/2 y los ángulos 1 y 2 son, respectivamente, para el conductor superior 30º y 60º, y para el inferior 60º y 30º (véase que la contribución de cada uno de ellos es la misma porque en el resultado final figura la suma de los senos de los ángulos). Discusión de los signos en Cálculo 1.1.

11. Electricidad Z a a Y  y d Magnetismo Cálculo 3.2. Campo magnético de un conductor semicircular en su centro. VOLVER El campo magnético en el centro debido a cada elemento de corriente tiene sentido saliente (compruébese con la regla de la mano derecha) Los vectores dl y urson perpendiculares El vector u es unitario y saliente Módulo dB Para calcular el campo en el origen producido por un arco de circunferencia de 0 radianes debemos integrar entre los límites  = 0 y  = 0 . Si se trata de una semicircunferencia 0 = 