1 / 80

Multiple integraler

Multiple integraler. Innhold. Enkelt-integral Def Integrasjon ’omvendt operasjon’ av derivasjon’ Eksempler Dobbelt-integral Rektangulært område Generelt område Areal Gjennomsnitt Massesenter Treghetsmoment Polar form. Trippel-integral

quasim
Download Presentation

Multiple integraler

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Multiple integraler

  2. Innhold Enkelt-integral Def Integrasjon ’omvendt operasjon’ av derivasjon’ Eksempler Dobbelt-integral Rektangulært område Generelt område Areal Gjennomsnitt Massesenter Treghetsmoment Polar form Trippel-integral Rektangulære områder Generelle områder Volum Gjennomsnitt Massesenter Treghetsmoment Sylinderkoordinater Kulekoordinater Substitusjon i multiple integraler Dobbelt-integral Trippel-integral

  3. IntegrasjonAnvendelser - Areal / Volum / Buelengde Areal Volum Buelengde

  4. IntegrasjonAnvendelser - Musikk Derivasjon Integrasjon

  5. IntegrasjonAnvendelser - Sampling / Digitalisering Fourier Opprinnelig funksjon Reprodusert funksjon Samplings- punkter Enkelt- ledd Shannons samplingsteorem

  6. IntegrasjonAnvendelser - Mobiltelefon

  7. Dobbelt-integralEks:WaveletsGjennfinning / Skjuling Fjerner lav-frekv. W Fjerner høy-frekv. W Kreftsvulster Bomring Video-komprimering

  8. Enkelt-integralDef y = f(x) a xi* b xi

  9. Enkelt-integralIntegrasjon og derivasjon er ’motsatte’ operasjonerF’(x) = f(x) y = f(x) a x x+x x F(x+x) F(x) F F x x

  10. Enkelt-integralIntegrasjon og derivasjon er ’motsatte’ operasjonerF’(x) = f(x) - Eks Areal

  11. Dobbelt-integralDef z = f(x,y) f(xij*,yij*) yij* xij* R Aij

  12. Dobbelt-integralRektangulært område z = f(x,y) z = f(x,y) f(x,y) f(x,y) c c y y d d a a x x b b dA dA R R

  13. Dobbelt-integralRektangulært områdeEks 1 - Volum - dydx 4 z = f(x,y) = 4-x-y 1 2

  14. Dobbelt-integralRektangulært områdeEks 1 - Volum - dxdy 4 z = f(x,y) = 4-x-y 1 2

  15. Dobbelt-integralRektangulært områdeEks 2

  16. Dobbelt-integralGenerelt område c d a g1(x) b h1(y) g2(x) h2(y)

  17. Dobbelt-integralGenerelt områdeEks 1 - Volum - dydx 3 z = f(x,y) = 3-x-y 2 (1,1,1) 1 y=x 3 z = f(x,y) = 3-x-y 2 (1,1,1) 1

  18. Dobbelt-integralGenerelt områdeEks 1 - Volum - dxdy 3 z = f(x,y) = 3-x-y 2 (1,1,1) 1 y=x 3 z = f(x,y) = 3-x-y 2 (1,1,1) 1

  19. Dobbelt-integralIntegrasjonsgrenser [1/3] 1 x2 + y2 = 1 y = 1 – x2 x = 1 – y2 x = 1 - y R y y = 1 - x y = 1 - x x 1

  20. Dobbelt-integralIntegrasjonsgrenser [2/3] y = x2 4 y = 2x y = 2x x = y/2 R y = x2 x = y 2

  21. Dobbelt-integralIntegrasjonsgrenser [3/3] y = x2 y = x2 y = x2 y = x + 2 y = x + 2 y = x + 2 R R

  22. Dobbelt-integralEgenskaper

  23. Dobbelt-integralAreal - Eks 1 y (1,1) y = x y = x2 R x

  24. Dobbelt-integralAreal - Eks 2 y = x2 y = x + 2

  25. Dobbelt-integralGjennomsnitt - Innledning 2 4 9 0 1 2 10 0 100

  26. Dobbelt-integralGjennomsnitt - Enkeltintegral 0 10

  27. Dobbelt-integralGjennomsnitt - Dobbeltintegral - Def z = f(x,y) R

  28. Dobbelt-integralGjennomsnitt - Dobbeltintegral - Eks f(x,y) = xcos(xy)

  29. Dobbelt-integralMasse - Massesenter - Def M dm dm ycm r rcm xcm

  30. Dobbelt-integralMasse - Massesenter - Eks (1,2) x = 1 y =2x (xcm,ycm)

  31. Dobbelt-integralTreghetsmoment - Def Treghetsmoment y dm r L x Gyrasjons-radius

  32. Dobbelt-integralTreghetsmoment - Eks (1,2) x = 1 y =2x

  33. Dobbelt-integralPolar form - Rektangulært område y  =  R  = a b x   G  a b r

  34. Dobbelt-integralPolar form - Generelt område y  = r = g2() R  = r = g1() x y  = g2(r) r = b R  = g1(r) r = a a b x

  35. Dobbelt-integralPolar form - Grenser y x2 + y2 = 4 r = 2 R (2,2) r = 2 / sin  x

  36. Dobbelt-integralPolar form - Areal - Eks1 y 2 x R r r =   G a 2 

  37. Dobbelt-integralPolar form - Areal - Eks2 y R x r G /4 

  38. Dobbelt-integralPolar form - Volum - Eks1 z z = 16 – x2 – 3y2 z = 3x2 + y2 y x

  39. Trippel-integralDef T z Rijk y x

  40. Trippel-integralMasse - Volum - Gjennomsnitt Masse Volum Gjennomsnitt

  41. Trippel-integralRektangulært område (b,d,v) z dV T (a,c,u) y x

  42. Trippel-integralGenerelt område z = f2(x,y) z T z = f1(x,y) y y = g1(x) a b y = g2(x) x

  43. Trippel-integralIntegrasjons-grenser - Eks1 z z z 1 1 1 y + z = 1 y + z = 1 y + z = 1 1 1 1 y y y 2 2 2 x x x 1 1 1 y + z = 1 y + z = 1 y + z = 1 1 1 1 y y y 2 2 2 x x x

  44. Trippel-integralIntegrasjons-grenser - Eks2 (0,1,1) (0,1,1) z z (0,1,1) z z = y x –y + z = 0 y y y x + z = 1 (1,1,0) (1,1,0) x x (1,1,0) x (0,1,1) (0,1,1) (0,1,1) z z z y y y (1,1,0) x (1,1,0) (1,1,0) x x

  45. Trippel-integralIntegrasjons-grenser - Eks2 - Volumberegning (0,1,1) z z = y x –y + z = 0 y x + z = 1 (1,1,0) x

  46. Trippel-integralIntegrasjons-grenser - Eks3 – Volumberegning [1/2] z z = 8 – x2 – y2 z = x2 + 3y2 y = -(4-x2)/2 y y = (4-x2)/2 (2,0,0) x

  47. Trippel-integralIntegrasjons-grenser - Eks3 – Volumberegning [2/2]

  48. Trippel-integralGjennomsnitt - Eks1 z Bestem gjennomsnittet av funksjonen F(x,y,z) = xyz over terningen avgrenset av koordinatplanene og planene x = 2, y = 2, z = 2 i første oktant. 2 2 y 2 x z F = 0 0 8 0 1 2 0 0 y 0 0 x

  49. Trippel-integralEgenskaper

  50. Trippel-integralMasse - Massesenter - Treghetsmoment Masse Første moment om koordinatplan Massesenter Treghetsmoment Gyrasjonsradius

More Related