Ciekawostki o liczbach

1. Ciekawostki o liczbach Prezentacje wykonały: Dorota Burkot, Paulina Teper, Wioleta Opiekun, Ewelina Barczyk

2. Zero • Zero było używane już w VII wieku • p.n.e. przez Babilończyków, ale nigdy nie • występowało samodzielnie. Zero jako cyfra • zostało po raz pierwszy zastosowane przez • matematyków hinduskich jako oznaczenie braku czegoś. Dopiero w XVII wieku symbol zera był powszechnie rozpoznawany(w Europie) jako oznaczający liczbę. Odkrycie zera miało istotny wpływ na wprowadzenie dziesiętnego systemu liczbowego. • Zero nie występuje w rzymskim systemie zapisu liczb. • Zero nie jest ani liczbą pierwszą, ani złożoną, choć jest wielokrotnością każdej liczby całkowitej. • Każda liczba zakończona zerem jest parzysta. • Zero jest elemętem neutralnym dodawania (tzn. po dodaniu do dowolnej liczby zera otrzymamy tę samą liczbę) • a+0=a

3. Iloczyn dowolnej liczby przez liczbę zero jest równy zero. • Potęga o dowolnym wykładniku naturalnym dodatnim i podstawie równej zero jest równa zero, na przykład: • 0233=0,02009=0 • Potęga o wykładniku zero i podstawie różnej od zera jest równa jeden, na przykład: • 1770=1, (-2009)0=1 • Zero jest jedyna liczbą rzeczywistą, przez którą nie można wykonać dzielenia.

4. Jeden • Jeden jest najmniejszą liczbą naturalna dodatnią • Każda liczba naturalna dodatnia jest o jeden większa od liczby ją poprzedzającą. • Jeden nieb jest ani liczbą złożoną, ani pierwszą, choć jest dzielnikiem każdej liczby. • Jeden ma dokładnie jeden dzielnik-siebie • Jeden jest elemętem neutralnym mnożenia (tzn. iloczyn dowolnej liczby i liczby jeden jest równy tej samej liczbie) • a•1=a. • Iloraz dowolnej liczby przez jeden jest równy dzielnej • a:1=a • Potęga o wykładniku jeden i dowolnej podstawie równej jeden jest rowna jeden, na przykład: • 12009=1,1-34=1

5. Oto ciekawe tożsamości z liczbami zapisanymi z użyciem wyłącznie jedynek • 11•11=121 • 111•111=12 321 • 1111•1111=1 234 321 • 11111•11111=123 454 321 • 111111•111111=12 345 654 321 • Wyłączniki tych działań są liczbami palindromicznymi, czyli takimi, które można czytać również do końca. • Wśród liczb zbudowanych ( w systemie dziesiętnym) z samych jedynek występuje nieskończenie wiele liczb pierwszych i liczb złożonych • Ostrosłup ma tylko jedną podstawę. • Przez jeden punkt na płaszczyźnie przechodzi nieskończenie wiele prostych.

6. Dwa • Dwa jest najmniejszą liczbą pierwszą i jedyną • liczbą parzystą pierwszą. • Każda liczba pierwsza ma dokładnie dwa dzielniki. • Każda liczba zakończona dwójką jest podzielna przez dwa. • Potęga dowolnej liczby o wykładniku dwa jest nazwana jej kwadratem. • Potęga o podstawie naturalnej zakończonej cyfrą dwa wykładniku, który po podzieleniu przez cztery daje resztę jeden ma w rzędzie jedności cyfrę dwa, na przykład: • 221=2 097 152 • 42453=……………..2 • Pierwiastek dowolnego stopnia z liczby dwa jest liczbą niewymierną.

7. Oto ciekawe działania z dwójkami: • 22•22=484 • 22•222=4884 • 22•2222=48 884 • 22•22222=488 884, itd. • Przez dwa różne punkty na płaszczyźnie przechodzi dokładnie jedna prosta. • Każdy odcinek ma dwa końce. • Każdy czworokąt ma dokładnie dwie przekątne. • Prostokąt, romb odcinek mają po dwie osie symetrii. • Dawna jednostka długości o nazwie łokieć miała dwie stopy.

8. Trzy • Trzy jest najmniejszą pierwszą liczbą nieparzystą. • Każda liczba złożona ma co najmniej trzy dzielniki. • Liczba naturalna jest podzielna przez trzy, jeśli suma jej cyfr jest liczbą podzielną przez trzy. • Potęga dowolnej liczby o wykładniku trzy jest nazywana jej sześcianem. • Odwrotność liczby trzy wynosi: • 1/3=0,33333... • Potęga o podstawie naturalnej zakończonej cyfrą trzy i wykładniku który po podzieleniu przez cztery daje resztę jeden ma w rzędzie jedności cyfrę trzy, na przykład: • 333= 5559060566555523 • 813441=…….3 • 19932009=…….3

9. Każdy ułamek zwykły nieskracalny o mianowniku podzielnym przez trzy ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone okresowe. • Pierwiastek dowolnego stopnia z liczby trzy jest liczbą niewymierną. • Oto ciekawe tożsamości z liczbami zapisanymi z użyciem wyłącznie trójek: • 33•33=1089 • 333•333=110 889 • 3333•3333=11 108 889 • 33333•33333=1 111 088 889, itd. • Kolejne interesujące zależności można otrzymać mnożąc dwie kolejne liczby, z których pierwsza składa się z samych trójek: • 3•4=12 • 33•34=1122 • 333•334=111 222 • 3333•3334=11 112 222, itd. • W każdym wierzchołku dowolnego wielościanu spotykają się co najmniej trzy krawędzie i co najmniej trzy ściany.

10. Cztery • Cztery jest sumą dwójek, ich iloczynem • oraz kwadratem liczby 2: • 4=2+2, 4=2•2, 4=22 • Cztery jest najmniejszą liczbą złożoną i ma trzy dzielniki(1,2,4). • Liczba naturalna jest podzielna przez cztery , jeśli dwie ostatnie jej • cyfry tworzą liczbę podzielną przez cztery (lub są zerami) • Kwadrat dowolnej liczby naturalnej zakończonej czwórką ma w rzędzie • jedności cyfrę sześć. • Potęga o podstawie naturalnej zakończonej cyfrą cztery i wykładniku nieparzystym ma w rzędzie jedności cyfrę cztery na przykład: • 421=4 398 046 511 104 • 194123=………4 • 18841887=……..4

11. Potęga o podstawie cztery i wykładniku o cyfrze jedności równej dziewięć kończy się cyframi 44, na przykład • 419=274877906944, • 42009=……4 • Dwie proste nierównoległe dzielą płaszczyznę na cztery części. • Nie ma wielokąta, który ma dokładnie cztery przekątne. • Wielokąt wklęsły musi mieć przynajmniej cztery boki. • Godzina ma cztery kwadranse. • W talii kart są cztery kolory. • Są cztery strony świata. • Stosowana dawniej jednostka pojemności o nazwie garniec odpowiada czterem litrom.

12. Pięć • Pięć jest liczbą pierwszą i sumą dwóch • najmniejszych kolejnych liczb pierwszych: • 5=2+3. • Dowolna liczba naturalna jest podzielna przez pięć, jeżeli cyfrą jedności tej liczby jest zero lub pięć. • Potęga liczby zakończonej piątką o wykładniku naturalnym dodatnim ma w rzędzie jedności cyfrę pięć • Dwie ostatnie cyfry kwadratu liczby zakończonej piątką to dwa i pięć, a cyfry stojące przed nimi są wynikiem mnożenia liczby otrzymanej po skreśleniu piątki przez liczbę o jeden większą, na przykład • 152=225 (2=1•2) • 252=625 (6=2•3) • 352=1225 (12=3•4)

13. 452=2025 (20=4•5) • 1652=27 225 (272=16•17) • 2052=42 025 (420=20•21 itd. • Oto ciekawe kwadraty liczb mających w rzędzie jedności piątkę: • 652=4225 • 6652=442 225 • 66652=44 422 225 • 66 6652=4 444 222 225,itd. • Pierwiastek dowolnego stopnia z liczby pięć jest liczbą niewymierną. • Ułamki nieskracalne o mianownikach będących iloczynami samych piątek (samych dwójek lub trójek i piątek) mają rozwinięcia dziesiętne skończone. • Liczba pięć jest piątym wyrazem w ciągu Fibonacciego. • Pięciokąt ma pięć przekątnych i jest jedynym wielokątem, w którym liczba przekątnych jest taka sama jak liczba boków

14. Sześć • Sześć jest najmniejszą liczbą naturalną • mającą cztery dzielniki (1,2,3,6) • Sześć jest jedyną liczbą równą iloczynowi swoich • dzielników mniejszych od siebie (jest tzw. Liczbą doskonałą) oraz sumie tych dzielników: • 6=1+2+3. • Cyfrą jedności potęgi o podstawie naturalnej zakończonej szóstką i wykładniku różnym od zera jest zawsze sześć, na przykład: • 613 =13 060 694 016, • 20062006 =…………..6, • 121262009=………….6 • Pierwiastek z dowolnego stopnia z liczby sześć jest liczba niewymierną. • Trzy osoby można ustawić w rzędzie na sześć różnych sposobów

15. Ciekawe tożsamości z liczbami zapisanymi z użyciem szóstek: • 62=36 • 662=4356 • 6662=44 435 556, itd. • 6•7=42 • 66•67=4422 • 666•667=444 222 • 6666•6667=44 442 222, itd. • Nie istnieje wielokąt, który ma dokładnie sześć przekątnych. • Stosowana dawniej jednostka długości o nazwie sążeń miała sześć stóp.

16. Siedem • Siedem jest największą jednocyfrową • liczbą pierwszą. • Ułamki nieskracalne o mianownikach, • będących wielokrotnościami liczby siedem, mają rozwinięcia dziesiętne nieskończone okresowe. • Siedem można zapisać tylko w jeden sposób w postaci sumy trzech różnych liczb naturalnych:7=1+2+4. rozkład ten przydaje się w uzupełnianiu diagramu kakuro (łamigłówki podobnej do sudoku). • Potęga o podstawie naturalnej zakończonej cyfrą siedem i wykładniku, który po podzieleniu przez cztery daje resztę jeden, ma w rzędzie jedności cyfrę siedem, na przykład: • 717=232 630 513 987 207 • 7301 =….7 • 457465=….7 • 20072009=….7 • Pierwiastek dowolnego stopnia z liczby siedem jest liczbą niewymierną.

17. Jeżeli zapiszemy iloczyny kolejnych wielokrotności liczby 15873 przez siedem to otrzymamy ciekawe wyniki: • 15 873•7=111 111 • 31 746•7=222 222 • 47 619•7=333 333 • 63 492•7=444 444 • 79 365•7=555 555 • 95 238•7=666 666 • 111 111•7=777 777 • 126 984•7=888 888 • 142 857•7=999 999 • Liczba 142 857 jest przy tym określeniem w rozwinięciu ułamka • 1/7= 0,142857142857…. • Maksymalną liczba obszarów, na które można podzielić płaszczyznę trzema prostymi ,jest siedem.

18. Osiem • Osiem jest liczbą równą iloczynowi swoich dzielników mniejszych od siebie • 8=1•2•4 • Osiem jest sześcianem liczby dwa: • 8=23. • Potęga o podstawie zakończonej cyfrą osiem i wykładniku który po podzieleniu przez cztery daje resztę jeden, ma w rzędzie jedności cyfrę osiem, na przykład: • 18301=……..8 • 668669=………8 • 20082009 =……..8 • Ułamki zwykłe o mianowniku osiem mają rozwinięcia dziesiętne skończone • Ósemka jest jedynym wyrazem w ciągu Fibonacciego, która jest jednocześnie sześcianem.

19. Nie istnieje wielokąt wypukły który ma dokładnie osiem przekątnych. • Wielościan foremny o ośmiu ścianach , które są przystającymi trójkątami równobocznymi, to ośmiościan foremny

20. Dziewięć • Dziewięć jest największą i jednocześnie jedyną nieparzystą liczbą jednocyfrową złożoną. • Dziewięć jest suma trzech kolejnych liczb naturalnych : • 9=2+3+4. • Liczba jest podzielna przez dziewięć, jeżeli suma jej cyfr tworzy liczbę podzielną przez dziewięć. • Potęgo o podstawie naturalnej, zakończonej cyfrą dziewięć i wykładniku nieparzystym, ma w rzędzie jedności cyfrę dziewięć, na przykład: • 913=2 541 865 828 329 • 39333=………9 • 129129=………9

21. 20092009=……..9 • Ułamki zwykłe nieskracalne o mianownikach dziewięć mają rozwinięcia dziesiętne nieskończone okresowe o okresie długości jeden, na przykład: • 4/9=0,4444… • Mnożąc dowolną liczbę przez dziewięć, możemy pomnożyć ją przed dziesięć i od otrzymanego iloczynu odjąć tę liczbę, na przykład: • 497•9=4970-497=4473 • Mnożąc dowolną liczbę przez 99, możemy pomnożyć ją przez 100 i od otrzymanego iloczynu odjąć tę liczbę, na przykład: • 759•99=75 900-759=75 141 • Jeżeli zapiszemy dowolną liczbę dwucyfrową, w której cyfry różnią się o jeden oraz liczbę z cyframi w odwrotnej kolejności i od większej odejmiemy mniejszą, to otrzymamy w wyniku dziewięć, na przykład: • 54-45=9

22. 65-56=9 • 76-67=9, itd. • Jeżeli zapiszemy dowolną liczbę trzycyfrową, w której pierwsza i ostatnia cyfra są różne oraz liczbę złożoną z tych samych cyfr w odwrotnej kolejności (są to tzw. Liczby lustrzane) i od większej odejmiemy mniejszą, to cyfra dziesiątek wyniku jest dziewięć, a sam wynik jest liczbą podzielną przez dziewięć, na przykład: • 371-173=198 • 522-225=298 • 703-307=396 • Oto ciekawe wartości kwadratów liczb naturalnych złożonych z samych dziewiątek: • 92=81 • 992=9801 • 9992=998 001 • 99992=99 980 001 itd. • Sześciokąt wypukły ma dziewięć przekątnych.

23. Bibliografia Szczepan Jeleński, lilavati, WSiP, Warszawa 1992 Praca zbiorowa, Encyklopedia Szkolna. Matematyka w Szkole nr 10/2009 Ciekawostki o liczbach-Małgorzata Wrzesińska Matematyka, WSiP, Warszawa 1997

24. Wykorzystane strony internetowe: www.eduwiedza.ovh.org www.zadane.pl www.math.edu.pl www.matzoo.pl