Ciekawostki matematyczne

1. Ciekawostki matematyczne • Złudzenia optyczne • Wieża Hanoi • Alfabet Morse'a • Papirus Rhinda • Gwiazda pitagorejska • Szyfr Cezara • Mosty królewieckie • Tangram • Bryły platońskie

2. Złudzeniaoptyczne Każdy z nas z pewnością miał wrażenie, że coś się rusza mimo iż w rzeczywistości wciąż znajdowało się na tym samym miejscu. Złudzenia optyczne mogą przyjmować różną postać. Błędna interpretacja obrazu przez mózg jest związana z wpływem kontrastów, kolorów i cieni, które wprowadzają mózg w błąd. Mechanizmy percepcji źle odbierają konkretne obrazy, przez co zamiast pomagać – prowadzą do złudzeń. Powodem jest również opóźnienie w odbiorze danych wizualnych podczas przenoszenia ich z siatkówki oka do odpowiedniego obszaru mózgu. Jest to bardzo krótkie opóźnienie – ok. jednej dziesiątej sekundy. Umysł jednak nawet w tak krótkim czasie potrafi „dorysować” sobie odpowiedni obraz. Oto kilka przykładów takiej iluzji.

3. Wieża Hanoi W wielkiej świątyni Benares w Hanoi, pod kopułą, która zaznacza środek świata, znajduje się płytka z brązu, na której umocowane są trzy diamentowe igły, wysokie na łokieć i cienkie jak talia osy. Na jednej z tych igieł, w momencie stworzenia świata, Bóg umieścił 64 krążki ze szczerego złota. Największy z nich leży na płytce z brązu, a pozostałe jeden na drugim, idąc malejąco od największego do najmniejszego. Bez przerwy we dnie i w nocy kapłani przekładająkrążki z jednej diamentowej igły na drugą, przestrzegając niewzruszonych praw Brahma. Prawa te chcą, aby kapłan na służbie brał tylko jeden krążek na raz i aby umieszczał go na jednej z igieł w ten sposób, by nigdy nie znalazł się pod nim krążek mniejszy. Wówczas, gdy 64 krążki zostaną przełożone z igły, na którejumieścił je Bóg w momenciestworzenia świata, na jedną z dwóch pozostałych igieł, wieża, świątynia, bramini rozsypią się w proch i w jednym oka mgnieniu nastąpi koniec świata. Oczywiście, nie musimy przejmować się przepowiednią zawartą w tej legendzie, ponieważ, czas potrzebny na przełożenie 64 krążków jest bardzo długi, dla 64 krążków ilość ruchów wynosi 264-1 i jest to olbrzymia, 19-cyfrowa liczba. Jeśli przyjąć, że każdy ruch trwa 1 sekundę to przełożenie 64 krążków będzietrwać setki miliardów lat.

4. Alfabet Morse'a W 1832 roku, podczas drogi powrotnej z Hawru do Nowego Jorku na statku pocztowym "Sully", Morse spotkał geologa z Bostonu, Charlesa T. Jacksona, który wiele opowiadał mu o najnowszych odkryciach w dziedzinie elektryczności. Pod wpływem tych rozmów, Morse wpadł na pomysł wykorzystania elektryczności do przesyłania wiadomości na odległość. W 1836 r. uzyskał już pierwsze sukcesy, gdzie w 1837 r. zademonstrował działanie swego telegrafu elektromagnetycznego na uniwersytecie nowojorskim. W 1840 r. przy pomocy Alfreda Vaila stworzył stosowany do dziś kod telegraficzny, zwany alfabetem Morse'a. Wszystkie znaki reprezentowane są przez kilkuelementowe serie sygnałów krótkich (kropek) i długich (kresek). Działanie telegrafu Morse'a polegało na zamykaniu i przerywaniu obwodu elektrycznego przez naciskanie specjalnego klucza - na stacji odbiorczej ołówek, umieszczony nad przesuwającym się paskiem papieru, kreślił na nim kreski lub kropki, zależnie od czasu przepływu prądu. Tabela konwersji liter i cyfr na kod alfabetu Morse'a:

5. Papirus Rhinda Papirus Rhinda to jeden z najstarszych znanych dokumentów matematycznych, sporządzony w XVII w. p.n.e. przez skryba króla Ahmesa (1650 r. p.n.e.). Papirus Rhinda zawiera przepisy na rozwiązanie 85 zadań matematycznych, a jego nazwa pochodzi od nazwiska ang. egiptologa, który odnalazł go w 1853 roku we wnętrzu piramidy Ramzesa II w ruinach starożytnego miasta Teby. Zwój mierzący ponad 5 m o szerokości 33 cm, składa się z 14 arkuszy papirusu i zawiera wszystko, co w tamtej epoce było Egipcjanom znane w zakresie arytmetyki i geometrii. Pierwsze zagadnienia, traktują o podziale pewnej liczby chlebów pomiędzy dziesięciu ludzi. Był to jeden ze stosowanych przez Egipcjan sposobów przedstawiania tabliczki mnożenia do 9. W papirusie tym w wielu obliczeniach występują ułamki, przy czym operowano ułamkami o licznikach równych jedności. Jedynym wyjątkiem był ułamek dwie trzecie, dla którego istniał osobny symbol. Wszystkie ułamki sprowadzały się do sum ułamków prostych, czyli o liczniku równym jedności. Papirus Rhinda zawierał tablice podające rozkłady na ułamki proste dla wszystkich liczb nieparzystych od 5 do 331. Zgodnie z systemem egipskim ułamek 3/4 to nie było trzy czwarte, a połowa i ćwierć. W papirusie, zapisana test też egipskim sposobem wartość liczby pi: π = 3 + 1 13 + 1 17 + 1 173 . Egipcjanie w ten sposób starali się rozłożyć każdy ułamek i tym samym wkroczyli na drogę uciążliwych poszukiwań rozkładu ułamków. Egipski system zapisu ułamków był popularny w Europie do XVIII wieku. System hinduski, znany nam dziś zastąpił go więc całkiem niedawno. W papirusie zapisano również bardzo ciekawy sposób obliczania pola koła, według którego równe jest polu kwadratu, którego bok równa się 8/9 długości średnicy.

6. Gwiazda pitagorejska Umiłowaną figurą geometryczną pitagorejczyków był pentagram, zwany również gwiazdą pitagorejską. Jest to prawidłowy pięciokąt, którego boki przedłużone w obie strony tworzą pięciokąt gwiaździsty. Znakiem tym pitagorejczycy pozdrawiali się i wzajemnie rozpoznawali, kreśląc go na piasku. Gwiazda pitagorejska posiada właściwości wyróżniające ją spośród innych gwiazd. Suma kątów wewnętrznych pentagramu równa jest kątowi półpełnemu (180°). Promienie gwiazdy pitagorejskiej "tworzą" trójkąty równoramienne z dwoma kątami u podstawy 72° i kątem przy wierzchołku równym 36°. Możemy doszukać się więc trójkątów podobnych, z których wynika, że długość odcinka a + b równa jest długości odcinka c. Odcinek a + b jest przykładem złotej proporcji, czyli taki podział odcinka na dwie części, że większa część do mniejszej ma się tak samo jak całość do części większej. Takie złote cięcia odnajdujemy we wszystkich punktach skrzyżowania promieni gwiazdy pitagorejskiej.

7. Szyfr Cezara Jeden z najstarszych sposobów szyfrowania pochodzi od Juliusza Cezara, który szyfrował swoją korespondencję z Cyceronem. Sposób ten polegał na tym, że zamiast każdej litery pisał literę występującą w alfabecie trzy miejsca dalej. Tak więc, jeśli użyjemy dzisiejszego alfabetu łacińskiego (abcdefghijklmnopqrstuvwxyz) to zamiast c będziemy pisać f, zamiast g piszemy j, zamiast y piszemy b. Alfabet traktujemy cyklicznie, tzn. po ostatniej literze z następuje ponownie litera a itd. Szyfr Cezara bardzo łatwo jest opisać w sposób matematyczny. Kolejnym literom alfabetu łacińskiego przyporządkujemy liczby od 0 do 25. Oznaczenie a mod b oznacza resztę z dzielenia liczby całkowitej a przez dodatnią liczbę całkowitą b. Szyfr Cezara może teraz być zdefiniowany wzorem: C = (n + k) mod 26, gdzie k jest kluczem szyfrowania, n jest numerem litery, którą szyfrujemy, a C jest numerem litery po zaszyfrowaniu. Każdą zaszyfrowaną wiadomość trzeba kiedyś rozszyfrować. W szyfrze Cezara znajdujemy literę stojącą w alfabecie trzy miejsca bliżej, czyli stosujemy ten sam algorytm szyfrowania z innym kluczem. Do szyfrowania używamy klucza +3, a do rozszyfrowywania klucza -3. Gdy znamy klucz szyfrowania, to znamy też klucz rozszyfrowywania, jest to ten sam klucz, jeśli pominiemy jego znak. Rozszyfrowywanie odbywa się według wzoru: C = (n - k) mod 26.

8. Mosty królewieckie W Królewcu (w Prusach) jest wyspa zwana Kneiphof [...]" - oto początek zdania z pracy Eulera Solutio problematis ad geometriam situs pertinetis, w której formułuje on słynne zadanie o mostach królewieckich: Czy można po siedmiu mostach łączących dzielnice miasta z wyspą na Pregole odbyć spacer w ten sposób, by przejść kolejno przez wszystkie mosty nie przechodząc po żadnym z nich więcej niż raz jeden? Odpowiedź Eulera brzmiała: Nie! Sytuację można przedstawić na grafie: Trzeba w tym grafie znaleźć cykl Eulera, czyli cykl przechodzący przez wszystkie wierzchołki i wszystkie krawędzie tego grafu, ale przez każdą krawędź tylko raz. W opublikowanej w 1736 roku pracy Euler sformułował pierwsze twierdzenie teorii grafów, które dziś zapisujemy następująco: W grafie można znaleźć cykl Eulera wtedy i tylko wtedy, gdy graf jest spójny i każdy jego wierzchołek ma parzysty stopień. Znając to twierdzenie zawsze można stwierdzić, czy łamigłówka typu "narysuj figurę nie odrywając ołówka od kartki" ma rozwiązanie. Figury, które można nakreślić jednym pociągnięciem ołówka, nie prowadzić go nigdy po linii już nakreślonej, nazywają się unikursalne. Jak rozpoznać figurę unikursalną? Figura jest unikursalna, gdy nie ma w niej punktów rzędu nieparzystego, lub jeśli są na niej dwa takie punkty. Graf mostów królewieckich ma ich trzy; znana dobrze wszystkim koperta ma dwa takie punkty.

9. Tangram Tangram to starożytna chińska układanka znana pod nazwą "chichiao-tu". Tangram tworzy kwadrat składający się z siedmiu części (wielokątów), z których każda część nazywana jest kamykiem lub tanem. Celem gry jest ułożenie przedstawionych figur geometrycznych z dostępnych części tangramu w taki sposób, aby wykorzystać wszystkie części, które muszą do siebie przylegać, ale nie mogą na siebie nachodzić. Każdą część tangramu można w razie potrzeby odwracać i obracać dookoła osi według potrzeb. Według jednej z legend Tangram wymyślił chiński uczony imieniem Tan, aby zaciekawić geometrią swoich uczniów. Do dziś każda z części tangramu jest nazywana tanem. Pierwsze europejskie wzmianki o tangramie pochodzą z XVIII wieku. Początkowo był on używany do nauki geometrii, jednak z czasem przekształcił się w grę towarzyską. Z tych prostych tanów można zbudować wiele tysięcy różnych wzorów. Tangram można wykorzystywać na wiele sposobów. Jest to dobra pomoc dydaktyczna, która kształtuje logiczne myślenie u dzieci, zmusza do poszukiwania nietypowych rozwiązań, wpływa bardzo pozytywnie na rozwój wyobraźni.

10. Bryłyplatońskie Wielościany foremne to bryły, których wszystkie ściany są przystającymi wielokątami foremnymi i w których z każdego wierzchołka wychodzi tyle samo krawędzi. Dla Platona bryły te miały zasadnicze znaczenie, uznawał bowiem, że materia zbudowana jest z całostek i nie jest podzielna, a całostki te mają charakter idealny. Nie są bowiem ciałami stałymi, lecz figurami geometrycznymi. Idealną najprostszą figurą geometryczną jest trójkąt, czyli płaszczyzna ograniczona najmniejszą liczbą linii prostych. Według Platona trójkąty są najprostszym elementem budulcowym, podstawową cegiełką, z której zbudowany się Kosmos. Z trójkątów równobocznych złożyć można trzy bryły idealne - tetraedr (czworościan foremny), oktaedr (ośmiościan foremny), ikosaedr (dwudziestościan foremny). Bryły te, według Platona, odpowiadają trzem elementom (ogień, powietrze, woda). Czwarty element - ziemię, reprezentuje heksaedr (sześcian), którego każda ściana da się podzielić na dwa trójkąty, jest więc też zbudowany z trójkątów. Istnieje wreszcie piąta bryła foremna - dodekaedr, zbudowana z 12 pięciokątów regularnych, którą Platon uznał za zespolenie całości, bryłę łączącą wszystkie elementy. Dlaczego tylko pięć brył? Pitagoras udowodnił, że płaszczyzna dookoła punktu może być zapełniona jednolicie tylko trzema rodzajami wielokątów foremnych: trójkątami, kwadratami albo pięciokątami. Żeby powstało naroże potrzebne są co najmniej trzy ściany oraz suma kątów płaskich w wierzchołku musi być mniejsza od kata pełnego. Wszystkie ściany w przypadku brył platońskich są jednakowe. Zatem jeśli wielokąty foremne tego samego rodzaju maja utworzyć naroże, to takich kombinacji jest właśnie pięć.

11. Prezentację opracowała Agnieszka Jandura. Więcej ciekawostek na stronie www.math.edu.pl