Informação Quântica e Teoria da Relatividade

1. Informação Quântica e Teoria da Relatividade Seminário de Teoria Quântica de Campos I Miguel Quartin Junho 2005

2. Resumo • Conceitos Preliminares • Aquisição de Informação • Descoerência • Matrizes de Kraus e POVMs • O Processo Relativístico de Medida • Não Localidade Quântica? • Analogias Clássicas • Entropia Quântica e Relatividade Restrita • TQC e Relatividade Geral • Conclusões • Problemas em Aberto • Referências

3. Se o estado for puro: Conceitos Preliminares O operador densidade ρ: • Permite a descrição de estados de mistura • Possui vantagens na descrição de estados puros: • | ; e i | resultam no mesmo ρ • As fórmulas acima são lineares em ρ, mas quadráticas em |.

4. Conceitos Preliminares (2) Operador densidade reduzido e traços parciais: Sejam { |u(1)} e { |v(2)} bases de H(1) e H(2)

5. Conceitos Preliminares (3) • O operador ρ[1] nos permite calcular todos os valores esperados como se o sistema 1 estivesse isolado e seu operador de densidade fosse ρ[1]; • Não há um vetor de estado que descreva o sistema 1 quando o sist. total não estiver em um estado produto direto. O operador ρ[1], no entanto, sempre existe. • Dificuldade: a evolução temporal de ρ[1] em geral depende do operador ρ completo;

6. Conceitos Preliminares (4) • Um estado quântico não é uma grandeza física, cujo valor (embora desconhecido) seja bem determinado; • A noção contrária não possui nenhuma evidência experimental e nos leva a aparentes paradoxos; • Estes paradoxos são frutos de uma interpretação incorreta da MQ, que por si só nunca é contraditória; • | e ρ meras expressões matemáticas que codificam informação sobre potenciais resultados de nossas intervenções; • Uma situação física contendo vários observadores não pode ser descrita por (t) com lei relativística de transformação. • Ex.: “Paradoxo” EPRB  se A mede Z = +1, quando o estado do spin de B muda p/ aquele onde Z = -1 com prob. = 1?

7. Aquisição de Informação • A preparação e a medida são realizadas por dispositivos macroscópicos  descritos em termos clássicos; • O aparato obedece à MQ durante a interação • Ao término, ele é “desquantizado” e descrito por uma densidade clás. de Liouville (e não 1 ponto no esp. de fase); • “Uma medida força o sistema a um salto para o auto-estado associado à variável medida”. • Este salto (ou colapso), é algo que ocorre na nossa descrição do sistema, e não no próprio sistema. • Se o resultado de uma medida é a ausência de detecção, não importa se isto foi fruto de um detector mal projetado ou de uma prob. < 1 de um detector perfeito ser ativado. O sistema quântico não permanece inalterado!

8. Estamos supondo que o estado inicial é puro Aquisição de Informação (2) • Intervenções se iniciam por uma interação do sistema com o aparato de medida, chamada pré-medida. • A escolha de USλ determina qual propriedade do sistema está correlacionada ao aparato e é, portanto, medida; • Detectores são descritos por operadores positivos E. • A prob. do detector  ser excitado é Tr(ρE); • Um conj. completo de Econstitui uma POVM (Positive Operator-Valued Measure); • Em geral: POVM ≠ medida de observável.

9. Isoladas do ambiente Interagemcom o ambiente Aquisição de Informação (3) • A medida envolve: sistema estudado + aparato de medida + ambiente (possui graus de liberdade não-especificados); • Estes g.d.l. interagem com os g.d.l. relevantes; • Descrição completa do sistema composto C envolve: variáveis microscópicas + var. macroscópicas. • Propriedade essencial de C: seus estados formam um número finito de sub-espaços ortogonais distinguíveis pelo observador. • Cada sub-espaço  um resultado da intervenção, que define um elemento de POVM E.

10. Desaparece o emaranhamento entre estados com  distintos Aq. de Info. - Descoerência (4) • Seja {| , } uma base para o sist. composto C •   Sub-espaço macroscópico (associado a um E) •   Estados microscópicos nesse sub-espaço • Estados do ambiente correlacionados com sub-espaços  distintos de C são aproximadamente ortogonais; • Ortogonalidade  matriz de densidade diagonal em blocos • Resultado  predições estatísticas idênticas àquelas obtidas em uma mistura de estados puros (não-normalizados) |: Descoerência

11. Matrizes de Kraus O “salto quântico” não é um processo dinâmico que ocorre no sistema propriamente dito Aq. de Info. – Matrizes de Kraus (5) • O passo final da intervenção é descartar parte de C. A parte descartada pode depender de . • {| , }  novo sistema • {| , m}  parte descartada

12. pois U S   m é unitária Elemento de uma POVM • Condição suficiente para não poder haver transferência instantânea de informação: Aq. de Info. – Matrizes de Kraus (6) • Probabilidade de ocorrência do resultado :

13. O Processo Relativístico de Medida • Medidas quânticas são quase-instantâneas. • Pergunta: a mudança quase-inst. é causada por um agente exofísico consistente com a teoria da relatividade? • O importante não é como diferentes detectores se movem em relação um ao outro, mas como os efeitos devidos aos mesmos são descritos em um referencial ou em outro. • Sob uma transf. de Lorentz, não só os vários operadores são transformados, mas o modo de calcular o resultado de uma série de intervenções é alterado (pois a ordem cronológica dos operadores muda). • Estes diferentes ordenamentos devem resultar no mesmo conjunto de probabilidades. Este requisito não é trivial!

14. O Processo Relativ. de Medida (2) • Consideremos o “paradoxo” EPR à la Bohm (EPRB): um par de partículas de spin ½ preparadas num estado singleto se afastam e são detectas por 2 observadores; • Cada um mede uma componente de spin em uma direção arbitrária (intervenções são mutuamente do tipo espaço); • A evolução do estado quântico deste sistema bipartido parece ser genuinamente distinta nos 2 referenciais; • Os estados quânticos não são relacionados por T.L., mas todos os resultados observáveis são os mesmos; • Consistência com o arcabouço teórico impõe relações entre os vários operadores usados; • É suficiente para a consistência que os E comutem em tempos iguais (análogo à TQC).

15. Temos: Invariância de Lorentz garante: Donde concluímos que: O Processo Relativ. de Medida (3) • Há uma T.L. conectando ρ0 e ρ’0 , assim como há uma para ρf e ρ’f , mas não há T.L. p/ os estados intermediários; • Apenas nos nossos cálculos matemáticos há uma evolução determinística para o estado do sistema. Esta evolução não é um processo físico!!!

16. O P.R.M. – Não-Localidade? (4) • Fenômenos como aquele encontrado no “paradoxo” EPRB são comumente associados à não-localidade quântica  possibilidade de comunicação superluminal; • O Teorema de Bell garante que é impossível imitar a MQ por “variáveis ocultas”  qualquer imitação clássica da MQ é necessariamente não-local; • Mas a MQ não precisa ser não-local. Em particular, a TQC é manifestamente local; • Informação tem que ser carregada por partículas materiais, quantizadas ou não; • T.L. são implementadas por matrizes unitárias (G.L.H. é uma simetria válida)  causalidade não pode ser violada por medidas quânticas

17. O P.R.M. – Analogias Clássicas (5) • A relatividade e a MQ estão realmente envolvidas nisso? • Experimento clássico análogo ao EPRB  bomba explode em 2 partes, carregando momentos angulares opostos: • Alice e Bob medem componentes arbitrárias de J1 e J2; • A medida de Bob nada diz a respeito do que Alice fez (se é que ela fez algo!); • Bob sabe apenas o que Alice iria obter caso medisse a mesma componente que ele; • A analogia é completa se usarmos mecânica estatística: • A distribuição dos fragmentos é dada por uma fç. de Liouville no espaço de fase. Uma medida de J1 por Alice altera instan-taneamente a fç. de J2, não importa quão longe Bob esteja. • Fç de Liouville  apenas uma ferramenta estatística

18. Entropia: Matriz de densidade do sistema em estudo: Entropia Quântica e Relatividade • Descoerência  graus de liberdade do ambiente desconhecidos (ambiente é um exosistema); • V m componentes do vetor de estado; • Conseqüência da relatividade: • Variáveis primárias (cuja T.L. depende apenas de ) • Ex.: componentes de momento • Variáveis secundárias (cuja T.L. depende também de p) • Ex.: spin e polarização

19. Matriz densidade reduzida: Entropia: No referencial de Bob: Entropia Quântica e Relatividade (2) • Considere uma partícula de spin ½ e massa m > 0: • Considere ainda que Bob se afasta de Alice com v const.. • Ex.: Alice prepara Z  a2(p) = 0  S = 0 • No referencial de Bob, mostra-se que: a2(p) 0  S  0 • Conclusão: S não tem significado invariante, pois  não se transforma covariantemente!

20. Entropia Quântica e Relatividade (3) • Não existe uma mecânica estatística relativística para um sistema de N partículas com espaço de fase de dimensão 6N definido pelos pn e qn. • Interações relativísticas são mediadas por campos; • Uma fç. de Liouville completa deve conter os campos; • A partir desta, podemos definir uma fç. de Liouville reduzida, que dependa só dos pn e qn. • No entanto, a evolução temporal da fç. reduzida depende dos campos. • Se Alice prepara um par de estados, qual a prob. de Bob distinguí-los?

21. Implicações sobre propriedades do canal de comunicação quântico Entropia Quântica e Relatividade (4) • Consideremos agora fótons. • Imperfeições nas fibras óticas e efeitos de difração nos receptores levam a regras de superseleção impossível definir uma matriz densidade reduzida para a polarização. • Mas podemos definir matrizes densidade efetivas; • E construir POVMs. Porém se nos restringirmos a medidas de polarização por estas POVMs  não mais existem estados de polarização ortogonais. • O teorema de não-clonagem se aplica! • Se Bob se move com v em relação a Alice, mostra-se que:

22. TQC e Relatividade Geral • Alguns resultados da TQC são importantes na generalização de conceitos como POVMs e emaranhamento; • Corolário do Teorema de Reeh-Schlieder: se modelamos um detector por um operador localizado, este detector apresenta “contagens escuras”. • Corolário do Teorema de Epstein-Glaser-Jaffe: Nenhuma POVM construída por operad. locais satisfaz Ω|E(x)|Ω = 0. • Intervenções clássicas em sistemas quânticos são aproximadamente localizadas no espaço e no tempo • “O conceito de ‘posição’ em um dado tempo não é um atributo do elétron, mas um atributo da interação entre o elétron e um dispositivo de detecção adequado.” -- R. Haag (1996)

23. TQC e Relatividade Geral (2) • Quão localizados podem ser os detectores? • A idealização de “um detector por ponto espaço-temporal” é claramente impossível; • Como garantir que 2 detectores possuem probabilidade zero de se sobrepor? • Aparentemente há um compromisso fundamental entre confiabilidade e localizabilidade. • Problema em aberto... • Estados com um número definido de partículas  conceitos teóricos úteis. • Estados experimentalmente acessíveis  não são, em geral, auto-estados de operadores número de partículas. • A realização física de um único qubit é uma idealização.

24. II Bob III I IV TQC e Relatividade Geral (3) • Um “Bobservador” acelerado descreve uma trajetória hiperbólica. • Bob nunca não tem acesso à região I. • Onde Alice vê um estado puro, Bob vê um estado de mistura... alguma informação se perdeu. • Situação análoga a presença de um buraco negro • Se uma partícula cai no buraco negro, sua entropia desaparece? • Se cai em um buraco negro matéria com correlações quânticas com matéria que permanece fora, essas correlações são observáveis? O estado é descrito pela MQ?

25. Conclusões • O estado quântico e as funções de onda devem ser encarados como meras ferramentas matemáticas para o cálculo de probabilidades em um dado referencial; • “Colapsos” decorrentes de medidas ocorrem apenas na nossa descrição do sistema em questão; • Causalidade não pode ser violada por medidas quânticas; • Evolução de estados puros para estados de mistura é a regra geral ao se realizar uma intervenção clássica; • Entropia não é um conceito covariante de Lorentz; • TQC impõe um compromisso entre confiabilidade e localizabilidade de detectores.

26. Problemas em Aberto • Discussão quantitativa do “compromisso” imposto pela TQC aos detectores; • Passando da relatividade restrita para a geral, qual o sentido de transporte paralelo de spin? • Em um espaço curvo, isto depende do caminho. • O que significa então dizer que um par de partículas distantes está num estado singleto? • Como o grupo de rotações O(3) não é mais uma simetria, a classificação e o próprio conceito de partícula torna-se duvidoso. • Método para a detecção de emaranhamento relativístico que envolva as propriedades espaço-temporais do sistema (ex.: combinar POVMs de spin e localização).

27. Referências Referência básica: • A. Peres, D. Terno, Rev. Mod. Phys., vol. 76, pág. 93 (2004) Referências adicionais: • C. Cohen-Tannoudji et al., Quantum Mechanics vol. 1 • J. Sakurai, Modern Quantum Mechanics (2nd ed.) • L. Reichl, A Modern Course in Stat. Phys. (2nd ed.) • J. Preskill, Quantum Information and Computation, notas de aula (1998) • R. D’Inverno, Introducing Einstein’s Relativity • C. Fuchs, J. van de Graaf, IEEE Trans. Inf. Theory, 45, p.1216