Bloque II * Tema 057

1. Bloque II * Tema 057 TEOREMAS DEL SENO Y DEL COSENO Matemáticas Acceso a CFGS

2. TEOREMA DEL SENO A • TEOREMA DEL SENO • En todo triángulo una altura parte al triángulo en dos triángulos rectángulos. • En el triángulo AHB podemos poner: • sen B = h / c • En el triángulo ACH podemos poner: • sen C = h / b • Como la altura h es común a los dos triángulos, la despejamos e igualamos sus resultados: • h=c.sen B ,, h=b.sen C  •  c.sen B = b.sen C • Trazando otra altura cualquiera y repitiendo el proceso quedaría: • a.sen B = b.sen A • y también c.sen A = a.sen C b c h B C B H a C • Englobando dos cualesquiera de los resultados queda: • a b c • -------- = -------- = --------- • sen A sen B sen C • Que es la fórmula resultante. Matemáticas Acceso a CFGS

3. A • TEOREMA DEL SENO • La fórmula obtenida para el teorema del Seno es la misma con independencia de si el triángulo es acutángulo u obtusángulo. • Observar en la figura de la izquierda que la altura correspondiente al vértice A queda fuera del área del triángulo y no corta al lado a. • Pues bien, también se forman dos triángulos rectángulos, uno el de color naranja y otro la suma del naranja más el amarillo. Y también la altura es común a los dos. • A tener en cuenta que sen B = sen B’ • Casos que resuelve • Si tenemos dos lados del triángulo y un ángulo distinto del que comprenden. • Si tenemos dos ángulos y un lado. b c h B C B’ H B a C Matemáticas Acceso a CFGS

4. Ejercicios • Ejemplo 1 • Hallar los lados y ángulos cuyos datos conocidos son: • A=100º, a=5 cm, b= 3 • Por el Teorema del Seno: • a / sen A = b / sen B = c / sen C • Sustituyendo los datos conocidos: • 5 3 c • ----------- = -------- = --------- • sen 100 sen B sen C • Tenemos: 5.sen B = 3.sen 100  sen B = 3.0,9848 / 5 = 9,5901 • Luego B=arcsen 0,5901 = 36’22º y 143’78º • Si el ángulo A ya es obtuso, B debe ser agudo, luego B=36’22º • El ángulo C valdrá: C = 180 – A – B = 180 – 100 – 36’22 = 43’78º • Volviendo al Teorema del seno: • a.sen C = c.sen A  c = 5.sen 43’78 / sen 100 = 5.0’6919 / 0’9848 = 3,51 cm Matemáticas Acceso a CFGS

5. Ejercicios • Ejemplo 2 • Hallar los lados y ángulos cuyos datos conocidos son: • B=45º, C=75º, a = 10 cm • Hallamos el ángulo A: A = 180 – B – C = 180 – 45 – 75 = 60 • Por el Teorema del Seno: • a / sen A = b / sen B = c / sen C • Sustituyendo los datos conocidos: • 10 b c • ----------- = --------- = ---------- • sen 60 sen 45 sen 75 • Tenemos: 10.sen 45 = b.sen 60  •  b = 10.0’7071 / 0,8660 = 8’165 cm • Volviendo al Teorema del seno: • a.sen C = c.sen A  •  c = 10.sen 75 / sen 60 = 10.0’9659 / 0’8660 = 11,15 cm Matemáticas Acceso a CFGS

6. TEOREMA DEL COSENO A • TEOREMA DEL COSENO • En todo triángulo una altura parte al triángulo en dos triángulos rectángulos. • En el triángulo AHB podemos poner, mediante Pitágoras: • h2 = c2 – m2 • Siendo m la proyección de c sobre a. • En el triángulo ACH podemos poner: • h2 = b2 – n2 • Siendo n la proyección de b sobre a. • Como la altura h es común a los dos triángulos, igualamos sus resultados: • c2 – m2 = b2 – n2 • La suma de las proyecciones es el lado a • m+n=a  m = a – n • c2 – (a – n)2 = b2 – n2 • c2 – a2 + 2.a.n – n2 = b2 – n2 b c h B C m n B H a C • Finalmente como n=b.cos C • c2 – a2 + 2.a.b.cos C= b2 • Despejando c2 queda: • c2 = a2 + b2 – 2.a.b.cos C • que es la fórmula buscada. Matemáticas Acceso a CFGS

7. A • TEOREMA DEL COSENO • Si trazamos otra altura cualquiera y repetimos el proceso, obtendremos otras dos fórmulas del Teorema del Coseno. • En total tendremos tres muy semejantes: • c2 = a2 + b2 – 2.a.b.cos C • b2 = a2 + c2 – 2.a.c.cos B • a2 = b2 + c2 – 2.b.c.cos A • Casos que resuelve • Si tenemos dos lados del triángulo y el ángulo que comprenden. • Si tenemos los tres lados. • Nota: Tener los tres lados del triángulo no significa que tenga solución. Ejemplo: a=3, b=4, c= 8 b c h B C m n B H a C Matemáticas Acceso a CFGS

8. Ejercicios • Ejemplo 3 • Hallar los lados y ángulos cuyos datos conocidos son: • a=5 cm, b= 3 cm, C = 100º • Probamos con el Teorema del Seno, si hay dudas: • a / sen A = b / sen B = c / sen C • Sustituyendo los datos conocidos: • 5 / sen A = 3 / sen B = c / sen 100 • Vemos que no podemos extraer ninguna ecuación útil. • Nos vamos al T. del Coseno. • c2 = a2 + b2 – 2.a.b.cos C , al conocer el ángulo C • c2 = 52 + 32 – 2.5.3.cos 100  c2 = 39’21  c = 6’26 cm • Volviendo al Teorema del seno: • a.sen C = c.sen A  sen A = 5.sen 100 / 6’26 = 0’7866  • A = arc sen 0,7866 = 51’87º y 128’13º, que no vale al ser C >90º • Y finalmente hallamos B = 180 – A – C = 180 – 51’87 – 100 = 28’13º Matemáticas Acceso a CFGS

9. Ejemplo 4 • Hallar los lados y ángulos cuyos datos conocidos son: • a=5 cm, b= 3 cm, c = 7 cm • Probamos con el Teorema del Seno, si hay dudas: • a / sen A = b / sen B = c / sen C • Sustituyendo los datos conocidos: • 5 / sen A = 3 / sen B = 7 / sen C • Vemos que no podemos extraer ninguna ecuación útil. • Nos vamos al T. del Coseno, con una cualquiera de las fórmulas. • a2 = b2 + c2 – 2.b.c.cos A , para hallar el ángulo A • 52 = 32 + 72 – 2.3.7.cos A  cos A = (9 + 49 – 25) / 2.3.7 = 0,7857  •  A = arcos 0,7857 = 38,21º y - 38’21º, esta última no vale. • Volviendo al Teorema del seno: • a.sen C = c.sen A  sen C = 5.sen 38,21º / 7 = 0,4418  •  C = arcsen 0,4418 = 26,22º y 153’78º , que pueden valer las dos. • Y finalmente hallamos B = 180 – A – C = 180 – 38,21º – 26,22º = 115’57º ; • Y también: B = 180 – A – C = 180 – 38,21º – 153,78º = – 12º , que no vale Matemáticas Acceso a CFGS

10. ÁREA DEL TRIÁNGULO A • ÁREA DEL TRIÁNGULO • El área de un triángulo es A = a.h / 2 • En el triángulo AHB podemos poner: • h = c.sen B • En el triángulo ACH podemos poner: • h = b.sen C • El área será: • A= ½ a.c.sen B • Y también: • A= ½ a.b.sen C • Igualmente, si hubiéramos trazado otra altura distinta, tendríamos: • A= ½ b.c.sen A • Que son las tres fórmulas trigonométricas utilizadas para hallar el área de un triángulo cuando conocemos dos lados y el ángulo que forman. b c h B C B H a C • Si conocemos los tres lados, lo usual es emplear la fórmula: • A = √ [ p.(p – a).(p – b).(p – c) ] • Siendo p el semiperímetro: • p = (a+b+c)/3 Matemáticas Acceso a CFGS

11. Ejercicios • Ejemplo 5 • Hallar el área de los triángulos de los ejercicios anteriores. • 5.1 a=5, b=3, C=43’78º • El área será: A= ½ a.b.sen C • A= ½ 5.3.sen 43’78º = 5,19 cm2 • 5.2 a=10, B=45º, c=11,15 • El área será: A= ½ a.c.sen B • A= ½ 10.11,15.sen 45º = 39,42 cm2 • 5.3 a=5, b=3, C=100º • El área será: A= ½ a.b.sen C • A= ½ 5.3.sen 100º = 7,386 cm2 • 5.4 A=38,21º, b=3, c=7 • El área será: A= ½ b.c.sen A • A= ½ 3.7.sen 38’21º = 6,4947 cm2 Matemáticas Acceso a CFGS