… se si impiega anche la conoscenza del modello del sistema , si perviene al Filtro di Kalman

1. … se si impiega anche la conoscenza del modello del sistema, si perviene al Filtro di Kalman Filtro di Kalman

2. È possibile costruire un filtro ricorsivoche prenda in ingresso tutte le misure disponibili e combini tra loro le informazioni contenute in ciascun dato, compresa la conoscenza del modello dello strumento che lo ha fornito Il temine ricorsivo è fondamentale per un’implementazione al calcolatore del filtro di Kalman, esso indica infatti che l’algoritmo non richiede la memorizzazione e la rielaborazione di tutta la storia dei dati ogni volta che è disponibile una nuova misura Filtro di Kalman

3. Stima dello stato basata su modello del sistema La conoscenza degli ingressi (controlli) e uscite (misure) può essere utilizzata per effettuare una stima dello stato del sistema Filtro di Kalman

4. Le fonti di incertezza sul modello del sistema o incertezza di modello derivano dalla non completa conoscenza di tutte le variabili che influiscono sulla sua dinamica e da scostamenti dal modello matematico spesso semplificato. Le fonti di incertezza sulle misure comprendono: - la non perfetta conoscenza di quali sono le relazioni tra le variabili di stato e le uscite misurate (incertezza di modello degli strumenti) – effetti principalmente modificanti - l’incertezza dovuta agli errori casuali e sistematici – effetti principalmente interferenti Filtro di Kalman – fonti incertezza

5. Sotto le seguenti ipotesi il filtro di Kalman fornisce una stima ottima dello stato: • - il sistema sia descritto da un modello lineare • il rumore associato al sistema e alle misure sia bianco e Gaussiano(ovvero a media nulla, con densità di potenza spettrale distribuita uniformemente su tutta la banda di frequenze e con distribuzione di probabilità Normale, e non correlato nelle sua realizzazione ovvero non c’è correlazione tra un suo campione ed il successivo!) Filtro di Kalman - ipotesi

6. Il modello di sistema lineare è giustificabile per varie ragioni. - spesso un modello lineare si adatta bene allo scopo - in presenza di non linearità, l’approccio ingegneristico più utilizzato è quello della linearizzazione del modello attorno a una qualche configurazione del sistema, ad esempio un punto o una traiettoria - la teoria dei sistemi lineari è molto più completa e pratica di quelli non lineari Esistono dei metodi per estendere l’applicazione del filtro di Kalman ai sistemi non lineari qualora essi dovessero rivelarsi inadeguati: Filtro di Kalman esteso Filtro di Kalman – ipotesi di linearità

7. L’ipotesi di rumore bianco implica che i valori di rumore non sono correlati tra di loro nel tempo. In pratica, se si conosce quanto vale il rumore all’istante attuale, ciò non aggiunge nessuna informazione ai fini di una previsione su quale sarà il suo valore in un altro istante. Inoltre un rumore bianco ha uno spettro con uguale densità di potenza per tutte le frequenze, ciò implica che un tale segnale ha potenza infinita!, pertanto un rumore bianco non può esistere in natura Poiché però ogni sistema fisico ha una banda passante limitata nello spazio delle frequenze ed è tipicamente affetto da un rumore a larga banda, dal punto di vista del sistema è equivalente ad assumere che vi sia rumore bianco Filtro di Kalman – ipotesi di rumore bianco

8. Se invece all’interno della banda passante del sistema il rumore non ha densità spettrale uniforme, oppure è correlato nel tempo, attraverso un filtro aggiuntivo è possibile riprodurre, partendo da un rumore bianco, qualsiasi forma di rumore correlato (il filtro consiste in un sistema lineare chiamato “shaping filter”). Tale filtro viene poi aggiunto alla dinamica del sistema. Filtro di Kalman – ipotesi di rumore bianco

9. Mentre l’attributo “bianco” per un rumore è riferito alle sue caratteristiche temporali (o di frequenza), l’attributo “Gaussiano” è riferito alla sua ampiezza. Cioè, per ogni singolo istante temporale, la densità di probabilità dell’ampiezza di un rumore Gaussiano ha la nota forma di una campana. Questa assunzione è giustificata in senso fisico dal fatto che, tipicamente, vi è un gran numero di piccole sorgenti che contribuiscono a creare il rumore di misura. Questo fenomeno è descritto dal teorema del limite centrale: all’aumentare del numero di variabili casuali indipendenti che si sommano tra loro, qualora non ve ne sia nessuna preponderante, qualunque sia la distribuzione di probabilità di ciascuna, la distribuzione di probabilità della somma tende ad essere quella Gaussiana Filtro di Kalman – ipotesi di rumore gaussiano

10. Filtro di Kalman – modello sistema lineare

11. Filtro di Kalman – modello sistema discreto

12. L’ipotesi di base per il filtro di Kalman in cui si assume che il rumore del processo di evoluzione dello stato e il rumore di misura siano a media nulla e temporalmente scorrelati si traduce rispettivamente con le equazioni è la stima dello stato all’istante k condizionata alle sole informazioni ottenute fino all’istante k-1 è detta previsione di un passo in avanti. Tale simbologia viene impiegata da ora in avanti

13. Si assume che al passo k-esimo siano noti i seguenti parametri: la stima la covarianza condizionata Si calcola la previsione:

14. Si calcola l’aggiornamento: Scarto tra misura e previsione della misura Dove, la matrice di Kalman: • NOTA: • la previsione è generata dal filtro utilizzando il modello di evoluzione del misurando • l’aggiornamento fa uso del modello di misura

15. Filtro di Kalman – schema ricorsivo

16. Si calcoli l’aggiornamento per un semplice caso scalare: Dove, la matrice di Kalman: (combinazione Bayesiana della misura z e della previsione x) Si noti anche che se misura e previsione sono uguali non c’è aggiornamento Filtro di Kalman – filtraggio Bayesiano!

17. Abbiamo visto i fondamenti dell’applicazione del teorema di Bayes e del filtro di Kalman, per la combinazione delle informazioni, ora vediamo un esempio concreto di SENSOR FUSION! Teorema di Bayes

18. 1° STEP (a & b) 1° STEP (c) • Odometers • Gyro • Laser Triangulating Scanner 2° STEP - No drift - Limited repeatability (motion, poor environment, …) - Smooth updates - Drift 1 & 2° STEP: Smooth updates & no drift Esempio di applicazione (veicoli mobili)

19. Sensor Fusion Delay Comp. Esempio di applicazione

20. Si fondono i dati all’istante Ts e poi si somma la variazione di posa e l’accumulo di covarianza Laser Scan data Tl Ts2 = (n+m)Tl LS_NAV computation time Data Fusion To Odometric estimation time Ts1 = nTl Tcomp = nTl+ kTo Esempio di applicazione

21. L’incertezza del LS_NAV è funzione della velocità angolare che provoca un degrado della mappa dovuto al moto del veicolo sovrapposto al moto di scansione del raggio laser : velocità lineare ed angolare Esempio di applicazione – stima incertezza laser

22. In evidence initial guess of pose and searching fields of possible solutions derived from computed covariance given as an input to the LS_NAV algorithm Esempio di applicazione

23. Assetto fuso e relativo intervallo di confidenza Esempio di applicazione – assetto fuso

24. Esempio di applicazione – compensazione deriva

25. SLAM Simultanea localizzazione e mappatura di veicoli autonomi in ambiente non strutturato

26. Strutturato: Ingegnerizzazione dell’ambiente Bassa flessibilità Conoscenza a priori della mappa Non strutturato: Non necessita di infrastrutture Alta flessibilità Costruzione mappa in tempo reale Passi fondamentali per interagire con ambiente non-strutturato: - navigazione e propagazione incertezza mediante sistemi di misura autocontenuti - autolocalizzazione mediante landmark naturali - fusione tra navigazione incrementale e quella riferita all’ambiente - mappatura dell’ambiente stesso Ambiente in cui il robot opera

27. Veicolo a guida differenziale- Sistema di acquisizione PXI LabView RTOS - 2 Encoder incrementali : no:4000 - Laser a scansione IR [SICK PLS-101] : Tempo di volo Risoluzione angolare max: 0.5° Campo di scansione: (0°,180°) Distanza massima: 50 m Accuratezza = f(orientazione,materiali) Veicolo e strumentazione

28. ΔLS RL θLS PLS αi,j δ [x,y,δ] b RR Equazione cinematica di ricorrenza: Parametri incerti: Equazione cinematica di ricorrenza(PLS): Covarianza della posa: Propagazione incertezza: Propagazione incertezza odometrica

29. Mappatura

30. Sono stati fatti compiere al veicolo 2 giri del laboratorio per verificare i metodi sviluppati

31. Sono stati fatti compiere al veicolo 2 giri del laboratorio per verificare i metodi sviluppati: filmato che mostra l’ambiente, il veicolo ed una tecnica di determinazione del percorso mediante scansioni e gestione del grafo delle profondità