TEMA 2

1. TEMA 2 MATEMÁTICA FINANCIERA Matemáticas Aplicadas CS I

2. TEMA 2.7 * 1º BCS AMORTIZACIÓN Matemáticas Aplicadas CS I

3. Amortización de préstamos • AMORTIZACIÓN DE PRÉSTAMOS • Para la amortización de un préstamo mediante varios pagos aplazados se tiene en cuenta que: • 1.- Cada pago salda los intereses que produce la deuda en ese periodo y amortiza parte de la misma. • 2.- El último pago salda los intereses que produce la deuda en el último periodo y amortiza lo que falta de la misma. • 3.- Lo habitual es que la cantidad a pagar en cada periodo sea la misma. De esa cantidad, al principio se emplea la mayoría para cubrir los intereses, descendiendo progresivamente dicho porcentaje a favor de amortizar la deuda. • 4.- Para que sea viable un préstamo, el pago de cada periodo debe cubrir, al menos, el importe de los intereses. Matemáticas Aplicadas CS I

4. 1.- Tabla de AMORTIZACIÓN • Pedimos un préstamo personal de 5.000 € que nos dejan a un interés fijo del 10% anual. Si podemos devolver 1.000 € anuales, ¿cuántos años pasarán hasta amortizar toda la deuda contraída?. • Año Deuda Intereses Pago Amortizada Pendiente • 1 5.000 500 1.000 500 4.500 • 2 4.500 450 1.000 550 3.950 • 3 3.950 395 1.000 605 3.345 • 4 3.345 334,5 1.000 665,5 2.679,5 • 5 2.679,5 267,95 1.000 732,05 1.947,45 • 6 1.947,45 194,75 1.000 805,25 1.142,20 • 7 1.142,20 114,20 1.000 885,80 256,40 • 8 256,40 25,65 282 282 0 Matemáticas Aplicadas CS I

5. 2.- Tabla de AMORTIZACIÓN • Pedimos un préstamo personal de 3.000 € que nos dejan al 25% anual. Si podemos pagar ( amortizar ) 1.000 € anuales, ¿cuántos años pasarán hasta amortizar toda la deuda contraída?. • Año Deuda Intereses Pago Amortizada Pendiente • 1 3.000 750 1.000 250 2.750 • 2 2.750 687,5 1.000 312,5 2.437,5 • 3 2.437,5 609,4 1.000 390,6 2.046,9 • 4 2.046,9 511,72 1.000 488,28 1.558,62 • 5 1.558,62 389,65 1.000 610,35 948,27 • 6 948,27 237,07 1.000 762,93 185,34 • 7 185,34 46,34 231,68 185,34 0 • Nótese que la cantidad pagada es más del doble que el préstamo inicial. Matemáticas Aplicadas CS I

6. Anualidades de amortización • ANUALIDADES DE AMORTIZACIÓN • Si pedimos un crédito a una entidad financiera, para montar un negocio, comprar un piso, un coche o cualquier otro bien, deberemos devolver lo pedido más los intereses. • Para ello suponemos que podemos devolver todos los años un cierto capital , A, llamado anualidad, para pagar la deuda , D, contraída. • Al comienzo debemos D • Al año debemos D +D.r - A = D.(1+r) - A • A los dos años debemos [D.(1+r) - A] + [D.(1+r) - A].r - A = … = D.(1+r)2 - A(1+r) – A • A los tres años debemos [D.(1+ r)2 - A(1+r) – A] + [D.(1+r)2 - A(1+r) – A].r - A = • = D.(1+r)3 - A(1+r)2 - A(1+r) - A • Al cabo de “t” años habremos devuelto todo el capital prestado más los intereses producidos. Es decir, ya no deberemos nada; luego: • t t -1 t -2 • D.(1+r) - A(1+r) - A(1+r) - ....... - A = 0 • t t-1 t-2 • D.(1+r) = A(1+r) + A(1+r) + ....... + A(1+r) + A Matemáticas Aplicadas CS I

7. t t-1 t-2 • D.(1+i) = A(1+i) + A(1+i) + ....... + A(1+i) + A • En la ecuación anterior la parte de derecha es la suma de los términos de una progresión geométrica de razón (1+r) y cuyo primer término vale A • Aplicando la suma de los términos de una progresión geométrica queda: • t t • t A.(1+r) - A A [ (1+r) - 1 ] • D.(1+r) = -------------------- = ---------------------- • (1+r) - 1 r • A [ (1+r)t - 1 ] • D.(1+r)t = -------------------------- • r • Que es la fórmula a emplear en las anualidades de amortización, como por ejemplo al pedir un crédito hipotecario, donde todos los años aportamos una cantidad fija (aunque normalmente esté dividida en letras o pagarés mensuales), A. • El valor de r dependerá del periodo entre pagarés, años, trimestres o meses. • Evidentemente cuando el rédito es variable hay que recalcular todo cada año. Matemáticas Aplicadas CS I

8. EJEMPLO_1_ DE ANUALIDAD • Pedimos un préstamo hipotecario de 200.000 €, que nos ponen a un 6% fijo anual. Hallar la anualidad a pagar para poder amortizar el préstamo en 20 años. • t • t A [ (1+i) - 1 ] • D.(1+i) = -------------------- , donde D=200000, t = 20 y i = 6/100 • i • 20 • 20 A [ (1+ 0,06) - 1 ] • 200000.(1+ 0,06) = ---------------------------- • 0,06 • 200000. 3,2071 = A [3,2071 – 1 ] / 0,06 • 641427 = A.36,5856  A = 641427 / 36,5856 = 17.436,91 € • En total hemos pagado, por el préstamo de 200.000 €: • 17436,91x20 = 348.738 € • Nota: Habríamos pagado menos empleando mensualidades. Matemáticas Aplicadas CS I

9. EJEMPLO_2_ DE ANUALIDAD CON PAGO MENSUAL • Pedimos un préstamo hipotecario de 200.000 €, que nos ponen a un 6% fijo anual. Hallar la mensualidad a pagar para poder amortizar el préstamo en 20 años (240 meses). • t • t A [ (1+i) - 1 ] • D.(1+i) = -------------------- , donde D=200000, t = 240 y i = 6/1200 • i • 240 • 240 A [ (1+ 0,005) - 1 ] • 200000.(1+ 0,005) = ---------------------------- • 0,005 • 200000. 3,3102 = A [3,3102 – 1 ] / 0,005 • 662040,89 = A . 462,0409  A = 662040,89 / 462,0409 = 1431,72 € • En total hemos pagado, por el préstamo de 200.000 €: • 1431,72 x 12 x 20 = 343 613 € • Nota: Habríamos pagado unos 5.000 € menos que por anualidades. Matemáticas Aplicadas CS I

10. EJEMPLO_3_DE ANUALIDAD • Necesitamos urgentemente un préstamo personal de 30.000 €, que nos ofrecen al 24% fijo anual. Si podemos devolver 1000 € al mes, ¿cuánto tiempo estaremos pagando hasta amortizar toda la deuda?. • A [ (1+r)t - 1 ] • D.(1+r) t = -------------------- , donde D=30000, A= 1000 y i = 24/1200 • r • 1000 [ (1+ 0,02) t - 1 ] • 30000.(1+ 0,02) t = ---------------------------------- • 0,02 • 30000. 1,02t . 0,02 = 1000 [1,02t – 1 ] • 600. 1,02t • -------------- = 1,02t – 1  0,6. 1,02t = 1,02t – 1  1 = 1,02t - 0,6.1,02t • 1000 • 1 = 0,4 . 1,02t 1 / 0,40 = 1,02t 2,5 = 1,02t • Tomando logaritmos decimales: • log 2,5 = t . log 1,02  t = log 2,5 / log 1,02 = 46,27 meses. • Habremos pagado 46.271 € por un préstamo de 30.000 € Matemáticas Aplicadas CS I