Cursul 13. Forma a doua fundamentala

1. Cursul 13. Forma a doua fundamentala Fie pe suprafata

2. .

3. Fie cuba Cuba (n) se numeste sectiunea normala in punctul P pentru directia tangenta data.

4. Cuba (n) avand curbura Ko , are normala principala in planul sectiunii normale, deci  =0 sau   Notand cu Teorema 1. (Meusnier) Doua curbe cu aceeasi tangenta in punctul P si acelasi plan osculator au in acest punct acelasi centru de curbura (sau simetrice fata de planul sectiunii normale). Teorema 2. (Meusnier) Centrul de curbura intr-un punct P al unei curbe oarecare ( )  () este proiectia ortogonala pe planul osculator al acestei curbe a centrului de curbura al sectiunii normale corespunzatoare in acest punct.

5. Definitia 1. Directia tangenta prin P pentru care curbura normala corespunzatoare este nula se numeste directie asimptotica. Obs. Printr-un punct P() trec cel mult 2 directii asimptotice. Obs. 1) daca L = M = N = const.  () este o portiune de plan 2) daca K0=0  P – punct planar 3) punct suprafetei () in care curbura oricarei sectiuni normale este aceeasi se numesc puncte ombilicale. Definitia 2.Valorile extreme ale curburii normale K1,K2 se numesc curburi principale, iar sectiunile normale corespunzatoare acestor directii se vor numi sectiuni principale.

6. Definitia 3.O curba cu proprietatea ca directia tangenta este o directie principala in fiecare punct al ei se numeste linie de curbura Ecuatia directiilor principale: Ecuatia curburilor principale:

7. Teorema 3. (Gauss, de egregium) Curbura lui Gauss se poate exprima numai in functie de coeficientii primei forme fundamentale si a derivatelor de ordinul unu si doi ale acestora. Daca K = constant  (  ) – suprafata de curbura totala constanta Daca H = 0  (  ) – suprafata minimala Daca Aplicatie: Definitia 4. O curba pe suprafata (  ) se numeste linie geodezica daca in orice punct al curbei planul osculator contine normala la suprafata.