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Lezione 15 -16

Lezione 15 -16. Soluzioni dell'equazione di Dirac sistema a riposo soluzioni generali Operatore di spin Operatore di parità Momento angolare totale Elicità Interpretazione degli stati a energia negativa La scoperta del positrone Operatore di chiralità - Equazioni di Weyl.

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Lezione 15 -16

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  1. Lezione 15 -16 • Soluzioni dell'equazione di Dirac • sistema a riposo • soluzioni generali • Operatore di spin • Operatore di parità • Momento angolare totale • Elicità • Interpretazione degli stati a energia negativa • La scoperta del positrone • Operatore di chiralità - Equazioni di Weyl

  2. Soluzioni dell’ equazione di Dirac Presa l’equazione di Dirac: cerchiamo una soluzione a energia positiva: in forma di onda piana: dove u(p) è uno spinore che dipende solo dal quadrimpulso, ma non dalle coordinate spazio-temporali. Sostituiamo la (2) nella (1): ed eseguiamo la derivata dell'esponenziale:

  3. Soluzioni dell' eq. di Dirac a energia positiva nel S.R. a riposo Se ci poniamo nel sistema di riferimento in cui la particella è a riposo, avremo: e quindi, in questo sistema, gm pm si riduce a: e l’equazione (3) diventa: N.B. Posso semplificare la massa solo se m ≠ 0 In questo sistema di riferimento, abbiamo anche: e lo spinore y sarà dato da:

  4. Per risolvere la (4), esprimiamo lo spinore u( m; 0) a quattro componenti come composto da due spinori a due componenti: Vediamo in pratica, cioè dal punto di vista matriciale, che cosa significa l'equazione (4): I membro: II membro:  Sullo spinore c+ non vi sono condizioni, mentre lo spinore φ+ deve essere nullo.

  5. STATI A ENERGIA POSITIVA (SPIN UP E SPIN DOWN) Un generico spinore c+ a due componenti può essere espresso come la combinazione lineare di due spinori ortonormali fra loro: La base degli stati a energia positiva è quindi data da:

  6. Soluzioni dell' eq. di Dirac a energia negativa nel S.R. a riposo In modo del tutto analogo, per le soluzioni ad energia negativa cerchiamo una soluzione nella forma di onda piana (E < 0; nel S.R. a riposo E = -m; N.B. nella nostra notazione m>0): Riportiamo qui l'equazione (3) generale a cui deve soddisfare lo spinore y: cosicché la (3) diventa:

  7. Per risolvere la (4), esprimiamo lo spinore v( m; 0) a quattro componenti come composto da due spinori a due componenti: Vediamo in pratica, cioè dal punto di vista matriciale, che cosa significa l'equazione (4): I membro: II membro:  Sullo spinore φ-non vi sono condizioni, mentre lo spinore c- deve essere nullo.

  8. STATI A ENERGIA NEGATIVA (SPIN UP E DOWN) Un generico spinore φ- a due componenti può essere espresso come la combinazione lineare di due spinori ortonormali fra loro: La base degli stati a energia negativa è quindi data da:

  9. Soluzioni generali dell’ eq. di Dirac (non lo dimostriamo) ENERGIA POSITIVA u(1) (p)

  10. u(2) (p) Possiamo quindi così riscrivere le due soluzioni a energia positiva (E>0):

  11. Soluzioni generali dell’ eq. di Dirac (non lo dimostriamo) ENERGIA NEGATIVA

  12. OPERATORE DI SPIN Definiamo l’operatore di spin come il seguente prodotto di matrici È la generalizzazione dell’operatore di spin di Pauli ½ skda due a quattro dimensioni. Si può far vedere facilmente che in rappresentazione di Dirac (fatelo per esercizio), si ha:  e che gli autovalori di tale operatore associati agli stati u(1)(m;0) e u(2)(m;0) (e v(1)(m;0) e v(2)(m;0)) sono: SPIN DOWN SPIN UP ENERGIA POSITIVA ENERGIA NEGATIVA

  13. Infatti: Se passiamo nel S.R. in cui la particella non è a riposo, gli stati u e v saranno autostati di S3 solo nel sistema in cui p è diretto lungo l'asse z.

  14. OPERATORE DI PARITÀ Abbiamo già visto che una possibile rappresentazione dell'operatore di parità è: Pertanto applicando tale operatore agli stati di particella e di antiparticella otteniamo i seguenti numeri quantici associati (cioè le seguenti parità intrinseche): ENERGIA POSITIVA

  15. ENERGIA NEGATIVA Otteniamo dunque: È arbitrario aver scelto come matrice g0 la matrice indicata. Al suo posto avremmo anche potuto scegliere la matrice -g0= eipg0 che differisce da g0 solo per una fase; in tal caso avremmo ottenuto -1 come parità intrinseca del fermione, ma la parità intrinseca dell'antifermione sarebbe stata in ogni caso opposta (+1). In definitiva, ciò che non è arbitrario è il fatto che il fermione e l'antifermione hanno sempre parità opposte.

  16. Momento angolare totale = costante del moto Si può dimostrare che nè il momento angolare orbitale nè lo spin separatamente si conservano per una particella di Dirac libera, ma si conserva la loro somma, cioè il suo momento angolare totale J: Infatti l’hamiltoniana non commuta con L e con Σ separatamente, mentre commuta con J: (non lo dimostriamo) 

  17. Elicità = costante del moto Un’altra costante del moto è l’elicità, definita come la proiezione dello spin lungo la direzione dell'impulso: Si può infatti dimostrare che questo operatore commuta con l’hamiltoniana: Nella rappresentazione di Dirac, avremo:

  18. s3 p p h=+1 Preso un certo sistema di riferimento, lo spin potrà essere parallelo o antiparallelo rispetto alla direzione dell’impulso. Ad esempio, preso un sistema con l’asse z diretto come l’impulso, potremo avere: s3 h=-1 Calcoliamo i numeri quantici dell'elicità associati alle quattro soluzioni dell'equazione di Dirac in un sistema di riferimento in cui la particella per semplicità ha moto solo lungo la direzione dell'asse z:

  19. ENERGIA POSITIVA ENERGIA NEGATIVA

  20. Riassumendo, i due stati di particella (elettrone, ad esempio) a energia positiva e energia negativa che hanno lo spin parallelo alla direzione del moto hanno elicità +1; i due stati di particella a energia positiva e a energia negativa che hanno lo spin antiparallelo alla direzione del moto hanno elicità -1. N.B. L'elicità si conserva, una volta scelto un determinato sistema di riferimento. Tuttavia essa può cambiare valore passando da un sistema di riferimento all'altro. Consideriamo infatti un S.R. nel quale la particella ha un determinato impulso diretto lungo l'asse z nel suo verso crescente: l'elicità di una particella a spin up sarà positivo. Se con un boost di Lorentz ci spostiamo in un S.R. in cui l'impulso p è diretto dall’altra parte (e questo lo possiamo fare prendendo un S.R. che si muove nella stessa direzione della particella ma più velocemente di lei), lo spin della particella sarà sempre orientato nello stesso modo ma è cambiato il verso dell'impulso e pertanto l'elicità della particella sarà diventata negativa.  Solo le particelle di massa 0 o ultrarelativistiche, che vanno cioè alla velocità della luce, avranno la stessa elicità in tutti i S.R in quanto non è possibile trovare un S.R. nel quale l'impulso della particella cambi di direzione (una particella che si muove a velocità c in una certa direzione si muoverà a velocità c e in quella direzione in tutti i S.R.).

  21. FORME BILINEARI COVARIANTI Studiamo il comportamento delle diverse forme bilineari covarianti cioè espressioni della forma per effetto di una trasformazione di Lorentz propria (come una traslazione spaziale) e per effetto dell'operazione di parità (non lo dimostreremo): dove Ga è una delle seguenti matrici o prodotti di matrici:

  22. Se si applicano trasformazioni di Lorentz, la forma bilineare y g5 y ci appare come uno scalare. Solo se applichiamo una trasformazione di parità essa ci apparirà per quello che realmente è e cioè uno pseudo-scalare.

  23. Se consideriamo solo trasformazioni di Lorentz proprie, il covariante bilineare ci appare come un quadri-vettore; solo se gli applichiamo una operazione di parità esso ci appare per quello che è e cioè un vettore assiale o pseudo-vettore.

  24. Interpretazione di Dirac degli stati a energia negativa N.B. Mentre nell’eq. di Dirac è risolto il problema di non positività di ,non è invece risolto il problema degli stati a energia negativa. Ci si domandò per lungo tempo se le soluzioni a energia negativa avessero un reale significato fisico o no. Esse tuttavia, come abbiamo visto, nascono in modo del tutto naturale dalla richiesta di alcune ipotesi di base a cui l'equazione di Dirac deve soddisfare e dalle conseguenti proprietà matematiche delle matrici. La base completa per le soluzioni generali dell'eq. di Dirac è costituita da 4 stati (due a energia positiva e due a energia negativa). Se si considerassero solo gli stati a energia positiva, questi NON costituirebbero una base completa. Rimaneva però aperta la questione dell'interpretazione degli stati a energia negativa. Dirac interpretò il risultato ottenuto invocando il principio di esclusione di Pauli. L’energia positiva minima possibile per una particella è quella di massa. Lo spettro degli stati a energia positiva descrive particelle che si muovono a un’ energia uguale o superiore a mc2. Al di sotto dello spettro a energia positiva, starebbe lo spettro degli stati a energia negativa con energie a partire da E=-mc2 e inferiori.

  25. La domanda che ci si può porre è la seguente: per quale motivo un elettrone a energia positiva a riposo, cioè avente la minima energia positiva possibile (E=mc2 ) non decade indefinitamente verso gli stati di energia negativa che stanno sotto di lui? Per rispondere a questa domanda, Dirac assunse che nel vuoto tutti i livelli energetici fossero completamente riempiti ("mare" di Dirac) da particelle aventi la stessa carica dell'elettrone ma energie negative. L'elettrone non potrebbe quindi decadere negli stati sottostanti a causa del principio di esclusione di Pauli.

  26. Il vuoto sarebbe dunque in realtà "pieno" di un mare di particelle. L'esistenza di tali particelle del mare può essere sperimentata, solo nel momento in cui un fotone, assorbito da una di queste particelle a energia negativa, le dia abbastanza energia per transire, trasformandola in una particella a energia positiva che lascia al suo posto una lacuna con carica e energia opposte alle proprie. Se infatti un fotone di energia minima Eg= 2mec2 incide su uno stato a energia –mec2 del mare di Dirac, questo, assorbendo il fotone, acquisterà energia mec2 e potrà quindi transire nella parte di spettro a energia positiva. Che caratteristiche ha la lacuna lasciata dall'elettrone a energia negativa al suo posto? e- A EN. POSITIVA LACUNA

  27. ENERGIA DELLA LACUNA Quando al vuoto viene sottratto un elettrone di energia negativa (ad es. –mec2), la sua energia aumenta di una quantità positiva. Pertanto l’energia finale del vuoto sarà: E’vuoto= Evuoto – (–mec2) = Evuoto+ mec2 La quantità fisicamente osservabile è solo la variazione di energia tra il prima e il dopo, pertanto misurerò una variazione di energia: DEvuoto = E’vuoto– Evuoto = mec2 CARICA DELLA LACUNA La carica della particella a energia negativa quella dell’elettrone (– e), quindi, quando al vuoto viene sottratto un elettrone di energia negativa che ha carica (– e), la sua carica aumenta di una quantità positiva. La carica finale del vuoto sarà: Q’vuoto= Qvuoto – (–e) = Qvuoto+ e Di nuovo la quantità fisicamente osservabile è la variazione di carica: DQvuoto = Q’vuoto– Qvuoto = e

  28. SPIN DELLA LACUNA Lo spin della particella a energia negativa è ½ e terza componente ±½; pertanto, quando al vuoto viene sottratto un elettrone di energia negativa che ha tali caratteristiche, la lacuna che rimane dovrà avere stesso spin dell'elettrone ma terza componente opposta a quella dell'elettrone a energia negativa. Riassumendo dunque: la lacuna si comporta agli effetti sperimentali come una particella di energia positiva (uguale e opposta a quella dell'elettrone a energia negativa), carica positiva (uguale e opposta a quella dell'elettrone a energia negativa), stesso spin dell'elettrone a energia negativa, ma terza componente dello spin opposta a quella dell'elettrone a energia negativa. Questa particella è rivelabile sperimentalmente e si chiama POSITRONE. Fu rivelata da Anderson per la prima volta nel 1932.  Anzichè trattare il mare con una teoria a molti corpi, che descrive gli infiniti elettroni a energia negativa in esso contenuti, possiamo trattarlo in modo più semplice, descrivendo gli elettroni che mancano dal mare e cioè le lacune in esso presenti.Il problema è che dunque il numero delle particelle di un sistema PUÒ CAMBIARE. Noi invece abbiamo sempre scritto un'equazione per una particella libera o soggetta a potenziale. Occorrerà passare alla teoria dei campi, che permetterà la creazione e la distruzione di particelle. N.B. La spiegazione di Dirac, calzante per il caso dei fermioni, non potè però essere adottata per i bosoni, quando si scoprì che anche i bosoni hanno antiparticelle.

  29. La scoperta del positrone (Anderson, 1932) Nel 1932, veniva osservata sperimentalmente da Anderson (Nobel, 1936) una particella di carica positiva e massa uguale a quella dell'elettrone.Una camera a nebbia era inserita dentro un grande elettromagnete di 25 000 (o 15 000) Gauss per creare un campo magnetico che deflette le particelle cariche; le particelle cariche lasciano una traccia di goccioline lungo il loro passaggio e tale traccia può essere fotografata. Il raggio di curvatura della traccia, a fissato campo magnetico, dipenderà dall' impulso della particella in base alla legge (vedi lezione sulla spettrometria): Quindi piccoli raggi di curvatura corrispondono a particelle leggere o lente.

  30. Nota la direzione di viaggio della particella e fissato il campo magnetico, la particella si "arrotolerà" intorno al campo verso destra o sinistra a seconda che abbia carica negativa o positiva (fig. a) e b)). Tuttavia una particella positiva che viaggia verso l'alto produrrà una traccia con curvatura verso destra, analoga cioè a quella di una particella negativa che viaggia verso il basso (vedi figure c) e b)). Quindi se non è nota la direzione di viaggio della particella non si può essere sicuri della sua carica. a) q<0 b) q>0 c)      B B B           q<0 Anderson osservò altrettante tracce associabili a particelle positive e negative. Quelle positive inoltre erano per la maggior parte dovute a una particella molto più leggera del protone (l'unica particella positiva nota all'epoca). Per risolvere l'ambiguità sulla direzione di provenienza delle tracce, Anderson pensò di inserire in mezzo alla camera una lastra di piombo, nella quale le particelle perdono energia. Se la particella proviene dal basso ed ha carica negativa, curverà verso sinistra e nella regione di camera sotto la lastra essa sarà più energetica e quindi avrà raggio di curvatura minore rispetto alla zona superiore. Il contrario avverrà per una carica negativa proveniente dall'alto.

  31. c) b) q>0 B      B           B q<0      B Ecco una fotografia scattata da Anderson che rivela il passaggio di un positrone dal basso verso l'alto della camera a nebbia (Caso c)).

  32. Foto di sciami elettromagnetici con elettroni e positroni

  33. Interpretazione di Pauli-Weisskopf degli stati a energia negativa Una interpretazione successiva a quella di Dirac degli stati a energia negativa venne fornita nel 1934 da Pauli e Weisskopf, che ripresero in considerazione l’equazione di Klein-Gordon. Ricordiamo che la densità di probabilità e di corrente erano date da: Cerchiamo la soluzione dell’equazione di K.-G. : in forma di onda piana: N.B. L'equazione (1) è soddisfatta da una soluzione nella forma della (2) purchè l'energia è l'impulso siano legati dalla relazione relativistica (provate a dimostrarlo):

  34. Ricaviamo ora le espressioni per la densità di probabilità e di corrente, che saranno funzione degli autovalori dell’energia: positivo o negativo In particolare la densità sarà positiva per E>0 e negativa per E<0. Pauli e Weisskopf pensarono di inserire davanti a r e a j la carica -e della particella e di interpretarle come la densità di carica e di corrente rispettivamente anzichè come densità di probabilità. L’espressione della carica e della densità per un elettrone di energia positiva E>0 sarà:

  35. Se ora calcoliamo la densità di carica e corrente per una particella (il positrone) di carica positiva e di energia positiva, ci accorgeremo che queste sono identiche a quelle di un elettrone di carica negativa ed energia negativa. Infatti si ha: Questo apre una nuova possibile interpretazione agli stati di energia negativa: un positrone, cioè una particella di carica positiva q=+e e a energia positiva E>0, è equivalente a un elettrone di carica negativa q=+e e di energia negativa –E<0. Pertanto le soluzioni a energia negativa possono essere considerate come soluzioni di particelle con carica opposta ed energia positiva (che sono le antiparticelle dell'elettrone). In questa interpretazione abbiamo ignorato lo spin dell'elettrone e lo abbiamo descritto con l'equazione di Klein-Gordon.

  36. Interpretazione di Feynman-Stückelberg degli stati a energia negativa L'interpretazione di Feynman e Stückelberg è che, dal punto di vista dell'evoluzione temporale, possiamo considerare l'elettrone a carica negativa ed energia negativa come una particella che va indietro nel tempo. Infatti la sua evoluzione temporale è data da: e-iEt =ei|E|t con E<0 e questo andamento può essere pensato come quello di una particella che va indietro nel tempo se mandiamo t  -t: ei|E|t = e-i|E|(-t) Il positrone, invece, essendo una particella a energia positiva, va in avanti nel tempo con la legge: e-iEt t e- E<0 e+ E>0

  37. Pertanto, l'emissione di un positrone è equivalente all'assorbimento di un elettrone a energia negativa e viceversa. Ad esempio (come vedremo più in là) il processo di creazione di coppia e+e- da parte di un fotone può essere schematizzato come l'emissione di un e- a energia positiva e l'assorbimento di un e- a energia negativa (equivalente all'emissione di un positrone a energia positiva) o viceversa nell'annichilazione di una coppia:  emissione di e- (E>0) emissione e+ (E>0) = assorbimento di e- (E<0) assorbimento di e- (E>0)  e- e+ assorbimento di e+ (E>0) = emissione di e- (E<0)

  38. Il positrone è dunque una particella a energia positiva, rivelabile sperimentalmente, che però dal punto di vista della teoria di Dirac si comporta come l'antiparticella dell'elettrone. L'interpretazione degli stati a energia negativa dell'elettrone come una particella a carica positiva e energia positiva risolve alcuni problemi che l’interpretazione di Dirac lasciava irrisolti: 1) L’interpretazione non è applicabile ai bosoni, perchè per essi non vale il principio di esclusione di Pauli 2) Nel mare dovrebbero essere contenuti infiniti stati con infiniti elettroni a energia negativa, ma la loro energia e carica non sono osservabili sperimentalmente (e nemmeno le interazioni tra di essi)

  39. Operatore di chiralità Consideriamo l’operatore di chiralità g5 che era cosi definito: g5 = i g0g1g2g3 Nella rappresentazione di Dirac, che è quella nella quale abbiamo estratto le soluzioni dell'eq. di Dirac, g5 non è diagonale: Definiamo i seguenti proiettori: Un fermione a energia positiva è descritto dal quadri-spinore: La funzione L ottenuta applicando a + l’operatore PL = ½ (144-5 ) è data da:

  40. Ricordiamo che lo spinore φ+poteva essere così espresso: Pertanto la (1) può essere così riscritta: Per i neutrini vale la relazione E>>m. In un sistema in cui l'impulso sia diretto lungo l'asse z avremo: e quindi la (2) diventa:

  41. Consideriamo esplicitamente i due casi possibili per c+ :  L'effetto dell' operatore PL sulla funzione  è quello di annullare la componente (1) (Right-handed) e di lasciare la componente (2) (Left-handed).

  42. Analogamente se consideriamo l'effetto del proiettore PL sulle soluzioni a energia negativa faremo annullare la parte Left-handed e si conserverà solo la parte Right-handed: dove:

  43. In sostanza, nella rappresentazione di Dirac avevamo scomposto gli stati su una base di quattro componenti, due con energia positiva, con elicità positiva e negativa, e due con energia negativa, con elicità positiva e negativa: Applicare a tale combinazione lineare il proiettore PL equivale a lasciare solo lo stato a energia positiva e elicità negativa e lo stato a energia negativa e elicità positiva. Lo stato ottenuto dall'applicazione di PL a y è una miscela di stati a energia positiva ed elicità negativa e stati a energia negativa ed elicità positiva (neutrino left-handed e antineutrino right-handed), mentre lo stato che si ottiene dall'applicazione di PR a y è una miscela di stati a energia positiva ed elicità positiva e stati a energia negativa ed elicità negativa (neutrino right-handed e antineutrino left-handed), : Possiamo dunque pensare agli spinori yL e yR come a una nuova base. Questa nuova base è quella che diagonalizza la matrice g5, e gli stati yL e yR saranno autostati di g5, associati agli autovalori rispettivamente +1 e -1.

  44. In questa nuova base gli stati fondamentali si potranno riscrivere come: dove gli spinori cL e cR sono spinori a due componenti così composti rispetto alle soluzioni in rappresentazione di Dirac: s s s s     particella L-H antiparticella R-H particella R-H antiparticella L-H L R R L cL cR

  45. Equazioni di Weyl - Particelle a massa nulla Scriviamo le equazioni valide per yL e yR:

  46. Per m= 0 la prima delle due equazioni (1) si riduce a: Poichè ci troviamo nella rappresentazione di chiralità, nella quale è diagonalizzata la matrice g5, le matrici g saranno date da: e lo spinore yL da: L'equazione (2) diventerà pertanto:

  47. L'equazione si riduce ad una equazione sullo spinore a due componenti cL e analogo risultato si può trovare per lo spinore a due componenti cR: EQUAZIONI DI WEYL PER PARTICELLE A MASSA NULLA Pertanto, se m=0, le equazioni a cui obbediscono la componente left e la componente right della particella sono completamente disaccoppiate e tali componenti evolvono indipendentemente l’una dall’altra. Ciò significa che l' esistenza di uno spinore yL che descrive un L e un R non implica necessariamente l'esistenza anche dello spinore yR che descrive un R e un L. Vedremo in seguito infatti che in natura esiste solo la prima combinazione di spinore e non la seconda. È attualmente ancora in studio il problema della massa effettiva del neutrino.

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