1 ．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数．

1. 第5课时 对数函数 1．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数． 2．理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性与函数图象通过的特殊点．知道指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数(a>0，a≠1)，体会对数函数是一类重要的函数模型．

2. 【应试对策】 1．要熟练掌握对数的运算性质、换底公式以及常用恒等式，能在题目中灵活使用，进行运算． 2．比较两个对数的大小，可以使用换底公式化为同底数的对数进行比较，还可以借助于一些中间数比较，比如0或1. 3．比较两个对数的大小常借助于函数的单调性，当底数不同时可以借助于对数函数的图象进行比较．

3. 4.理解对数函数图象的特征: y轴是对数函数的渐近线,当0＜a＜1时，x→0，y→＋∞；当a>1时，x→0，y→－∞.当a>1时，a值越大，图象越靠近x轴，递增速度越慢；当0<a<1时，a值越小，图象越靠近x轴，递减速度越 慢．对于方程logf(x)g(x)＝c转化为 求解． 5．在讨论对数函数的性质时，应注意定义域及对底数a的分类讨论．(含参数的对数问题，要注意分类讨论的思想)

4. 【知识拓展】 1．反函数 (1)反函数的概念：函数y＝f(x)的定义域为A，值域为C，由y＝f(x)得x＝φ(y)．函数x＝φ(y)是y＝f(x)的反函数，记作：x＝f－1(y)． (2)求反函数的步骤：①由y＝f(x)解出x＝f－1(y)；②将x＝f－1(y)中的x与y互换位置，得y＝f－1(x)；③由y＝f(x)的值域，确定y＝f－1(x)的定义域． 即：反解；调换；注明定义域。 (3)互为反函数的图象关于直线y＝x对称． (4)指数函数与对数函数互为反函数．

5. 2．对数函数的性质在比较对数值大小中的应用2．对数函数的性质在比较对数值大小中的应用 (1)比较同底数的两个对数值的大小，例如：比较logaf(x)与logag(x)的大小，其中a>0且a≠1. ①若a>1，f(x)>0，g(x)>0，则 logaf(x)>logag(x)⇔f(x)>g(x)>0. ②若0<a<1，f(x)>0，g(x)>0；则 logaf(x)>logag(x)⇔0<f(x)<g(x)．

6. (2)比较两个同真数的对数值的大小，例如：比较logaf(x)与logbf(x)的大小 ，其中a>b>0，且a≠1，b≠1. ①若a>b>1，如图1. 当f(x)>1时，logbf(x)>logaf(x)；当0<f(x)<1时，logaf(x)>logbf(x)． 图1　　　　　　　　　　　　图2

7. ②若1>a>b>0，如图2. 当f(x)>1时，logaf(x)＜logbf(x)；当1>f(x)>0时，logaf(x)>logbf(x)． ③若a>1>b>0， 当f(x)>1时，则logaf(x)>0>logbf(x)； 当0<f(x)<1时，则logaf(x)<0<logbf(x)．

8. 3．求与对数函数相关的复合函数的单调区间 求复合函数y＝f[g(x)]的单调区间的步骤： (1)确定定义域． (2)将复合函数分解成基本初等函数：y＝f(u)，u＝g(x)． (3)分别确定这两个初等函数的单调区间． (4)若这两个函数同增或同减，则y＝f[g(x)]为增函数；若一增一减，则y＝f[g(x)]为减函数，即“同增异减”．

9. 4．对数方程的类型及解法 (1)对数方程：在对数符号后面含有未知数的方程叫对数方程． (2)解对数方程的基本思路是化为代数方程，常见的可解类型有： ①形如logaf(x)＝logag(x)(a>0且a≠1)的方程，化成f(x)＝g(x)＞0求解． ②形如F(logax)＝0的方程，用换元法解． ③形如logf(x)g(x)＝c的方程，化成指数式[f(x)]c＝g(x)求解． (3)在将对数方程化为代数方程的过程中，未知数范围扩 大或缩小就容易产生增减根，因此解对数方程要注意验 根． (4)含参数的指数、对数方程在求解时，需注意将原方程 等价转化为某个混合方程或不等式组，并在等价转化的原 则下简化求解，对参数进行分类讨论．

10. 1．对数 (1)对数的概念 如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，就是ab＝N，那么，数b叫做， 记作logaN＝b，其中a叫做对数的，N叫做对数的． (2)常用对数：通常将log10N叫做常用对数，记作. 自然对数：通常将以无理数e＝2.718 28…为底的对数叫做自然对数，记作. 以a为底N的对数 真数 底数 lgN lnN

11. (3)对数的性质 ①零和负数没有对数；②loga1＝(a>0，且a≠1)； ③logaa＝(a>0，且a≠1)；④alogaN＝(a>0，且a≠1，N>0)． 0 1 N 2．对数的运算性质

12. 3．对数函数:(1) 概念：函数y＝logax(a>0，a≠1)叫做，它的 定义域是． (2)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表所示： (0，＋∞) 对数函数 (0，＋∞) R (1,0) 增 减

13. 3．函数f(x)＝lg 的定义域为________． 4．若函数y＝loga(x＋b)(a>0，a≠1)的图象过两点(－1,0)和(0,1)，则a＝______，b＝________. 1．lg 8＋3lg 5的值为________． 2．已知log7[log3(log2x)]＝0，那么等于________． 5．方程xlg(x＋2)＝1有______个不同的实数根．

14. 对数的化简与求值的基本思路： (1)利用换底公式及 ，尽量地转化为同底的和、差、积、商运算； (2)利用对数的运算法则，将对数的和、差、倍数运算，转化为对数真数的积、商、幂再运算； (3)约分、合并同类项，尽量求出具体值．

15. 【例1】 计算： (1)(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25; (2)(log32＋log92)·(log43＋log83)． 思路点拨：对数运算问题要注意化同底和lg 2＋lg 5＝1等结论的应用． 解：（1）原式＝(lg 2)2＋(1＋lg 5)lg 2＋lg 52 ＝(lg 2＋lg 5＋1)lg 2＋2lg 5 ＝(1＋1)lg 2＋2lg 5＝2(lg 2＋lg 5)＝2. (2)原式＝

16. 变式1：(改编题)求值： (1) ； (2)(lg 2)3＋(lg 5)3＋3lg2lg 5； (3)

17. 【例2】 已知3a＝5b＝c，且 ＋ ＝2，求c的值． 变式2：(11.2)a＝1 000，(0.011 2)b＝1 000，则 ＝___. 掌握指数式与对数式的互化公式是解决指数与对数互化问题的一个有效途径，其互化公式为logaN＝b⇔ab＝N(a＞0，a≠1，N＞0)，在解题时要注意对公式灵活应用． 思路点拨：借助指数式与对数式的互化可以解决问题．

18. 1．比较同底的两个对数值的大小，可利用对数函数的单调性来完成．1．比较同底的两个对数值的大小，可利用对数函数的单调性来完成． (1)a>1，f(x)>0，g(x)>0，则 logaf(x)>logag(x)⇔f(x)>g(x)>0； (2)0<a<1，f(x)>0，g(x)>0，则 logaf(x)>logag(x)⇔0<f(x)<g(x)． 2．比较两个同真数对数值的大小，可先确定其底数，然后再比较． (1)若a>b>1，如图1.当f(x)>1时，logbf(x)>logaf(x)； 当0<f(x)<1时， logaf(x)>logbf(x)．

19. (2)若1>a>b>0，如图2.当f(x)>1时，logbf(x)>logaf(x)； 当1>f(x)>0时， logaf(x)>logbf(x)． (3)若a>1>b>0.当f(x)>1时，则logaf(x)>0>logbf(x)； 当0<f(x)<1时，则logaf(x)<0<logbf(x)．

20. 3．比较大小常用的方法 (1)作差(商)法；(2)利用函数的单调性；(3)特殊值法(特别是1和0为中间值)． 【例3】 对于0<a<1，给出下列四个不等式： ①loga(1＋a)<loga ；②loga(1＋a)＞loga ；③a1＋a<； ④a1＋a> .其中成立的是________． 思路点拨：从题设可知，该题主要考查y＝logax与y＝ax两个函数的单调性， 故可先考虑函数的单调性，再比较大小． 解析：由0＜a＜1⇒a< ⇒1＋a<1＋ ，∴loga(1＋a)>loga ， a1＋a，> ，则②④正确． 答案：②④

21. 变式3：已知1<x<10，那么lg2x，lgx2，lg(lgx)的大小顺序是________． 解析：∵1＜x＜10，∴0＜lgx＜1，∴lg(lgx)＜0,0＜lg2x＜2lgx， ∴lg(lgx)＜lg2x＜lgx2. 答案：lg(lgx)＜lg2x＜lgx2

22. 1．对数函数的性质是每年高考必考内容之一，其中单调性和对数函数1．对数函数的性质是每年高考必考内容之一，其中单调性和对数函数 的定义域是热点问题．其单调性取决于底数与“1”的大小关系． 2．利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方 法是“同底法”．即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决．

23. 3．与对数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤3．与对数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤 (1)确定定义域； (2)弄清函数是由哪些基本初等函数复合而成的，将复合函数分解成基本 初等函数y＝f(u)，u＝g(x)； (3)分别确定这两个函数的单调区间．

24. 【例4】 是否存在实数a，使f(x)＝loga(ax2－x)(a>0，且a≠1)在区间[2,4]上 是增函数？若存在，求出a的范围；若不存在，说明理由． 思路点拨：①讨论a与1的大小关系．②讨论函数y＝ax2－x的图象的 对称轴与区间[2,4]的关系，并保证在区间[2,4]上，ax2－x>0. 解：∵f(x)＝loga(ax2－x)在区间[2,4]上是增函数， ∴ 或 ，即 或 ∴a>1，所以实数a的取值范围为(1，＋∞)．

25. 变式4：(创新题)若函数f(x)＝loga(x3－ax)(a>0，a≠1)，在区间 内单 调递增，则a的取值范围是________． 解析：设g(x)＝x3－ax，则g′(x)＝3x2－a， 当a>1时，不等式组 ，对于x∈ 恒成立，a无解； 当0<a<1时，不等式组 ，对于x∈ 恒成立．解得 ≤a<1. 答案：

26. 【规律方法总结】 1．指数式ab＝N与对数式logaN＝b的关系以及这两种形式的互化是对数运算 法则的关键． 2．在运用性质logaMn＝nlogaM时，要特别注意条件，在无M>0的条件下应为 logaMn＝nloga|M|(n∈N*且n为偶数)． 3．注意对数恒等式、对数换底公式及等式 ， logab＝ 在解题中的灵活应用． 4．在解决问题的思路和方法上，要注意与指数函数进行比较．

27. 同一坐标系下的图象关系 当底大于1时，底越大，图象越靠近坐标轴；当底小于1大于0时，底越小，图象靠近坐标轴．如果底数、指数都不同，则要利用中间变量.

28. 【高考真题】 【例5】 (2009·天津卷)设 ，则() A．a<b<cB．a<c<b C．b<c<a D．b<a<c 分析：根据对数函数、指数函数的性质判断a、b、c的大致范围， 进而得解． 规范解答：由题意，得a＝ ＝－log32<0，b＝ > ＝1，c＝ >0，且c<1，所以a<c<b.故选B.

29. 【全解密】 【命题探究】 本题主要考查对数函数、指数函数的性质．考题的命题，利用对数函数、指数函数的性质比较数的大小，达到了考查考生灵活应用对数函数、指数函数性质的目的，较好地体现了重视基础的命题特点． 【课本探源】 本题是江苏版数学必修1第39页第14题“设a＝0.32，b＝20.3，c＝ ， 试比较a，b，c的大小”的改编题，考题将a，b，c稍作变化，且由正值变成了负值，使得考题增加了能力的成分，但解答题变成了选择题，又使得解题的结果有了比较的依据．

30. 【技巧点拨】 比较两个幂值和两个对数值大小的方法 (1)若是两个幂值的大小的比较，则首先分清底数相同还是指数相同，如果底数相同，可以利用指数函数的单调性；如果指数相同，可以转化为底数相同，也可以借助图象；如果底数不同，指数也不同，就要利用中间量进行比较． (2)若是两个对数值的大小比较，如果底数相同，可以利用对数函数的单调性；如果底数不相同，可以利用换底公式化为同底数的对数；如果底数、真数都不相同，就要注意与0比较或与1比较.

31. 1．若函数f(x)的反函数为f－1(x)，则函数f(x－1)与f－1(x－1)的图象可能1．若函数f(x)的反函数为f－1(x)，则函数f(x－1)与f－1(x－1)的图象可能 是________． 解析：f(x)与f－1(x)的图象关于y＝x对称，则f(x－1)与f－1(x－1)的图象 应关于y＝x－1对称，填④. 答案：④

32. 2．求f(x)＝ 的单调区间． 解：函数f(x)＝ 的定义域为{x|－3<x<1}． 令u＝3－2x－x2，x∈(－3,1)， 则y＝ .因为y＝ 在定义域内是减函数， 当x∈(－3，－1]时，u(x)＝－(x＋1)2＋4是增函数， 所以f(x)在(－3，－1]上是减函数． 同理，f(x)在(－1,1)上是增函数．