Hilberts och Clays problem

1. Hilberts och Clays problem

2. Hilberts och Clays problem • Hilberts biografi • Hilberts problem • The Clay Mathematics Institute of Cambridge • Millenniumproblemen

3. David Hilbert Wir müssen wissen, wir werden wissen We must know, we shall know. Born: 23/1 1862 Königsberg, Prussia (now Kaliningrad, Russia) Died: 14/2 1943 Göttingen, Germany

4. Education 1885 – received doctorate for a thesis entitled Über invariante Eigenschaften spezieller binärer Formen, insbesondere der Kugelfunktionen • Career 1886 to 1895 - Königsberg 1895 - University of Göttingen 1902 - University of Berlin

5. Work 1888 - he proved his famous Basis Theorem 1893 - began a work “Zahlenbericht” on algebraic number theory 1899 - published Grundlagen der Geometrie 1900 – 23 problems

6. * År 1900 på Världskongressen i Paris * Nytt millenium, nya upptäckter och framsteg Hilberts problem

7. Hilberts problemen • 1-2, 10 Matematikens grunder • 3-6 Grunder inom specifika områden • 7-9, 11-12 Talteori • 14-18 Algebra och geometri • 13, 19-23 Analys

8. Hilberts problem nr 1 • Bevisa att det inte finns något kardinaltal som ligger mellan de naturliga talens, som är uppräkneligt många, och de reella talens • Kardinaltal- betecknar antalet element i en mängd • Naturliga talens kardinalitet = alef0 • Reella talens kardinalitet =2^alef0

9. Hilberts problem nr 1 • Bevis Kurt Gödel 1940 • Hypotesen är sann • Bevis Paul Cohen 1963 • Negationen av hypotesen också sann • Resultat: Kontinuumhypotesen är oavgörbar. Hypotesen kan vara sann eller falsk beroende på vilka val vi gör.

10. Hilberts problem nr 2 • Bevisa att aritmetiken ej innehåller motsägelser och att varje sant påstående kan härledas från dessa axiom med ändligt antal logiska steg

11. Hilberts problem nr 2 • Bevis Kurt Gödel 1931 • Ofullständighetsteoremet ”i varje teori som är kraftfull nog att innefatta aritmetiken, finns sanna utsagor som ej går att bevisa” • Denna utsaga går ej att bevisa

12. Hilberts problem nr 2 • Bevis Alan Turing 1930-talet • Turingmaskinen Sats: det finns ingen algoritm med vars hjälp man kan avgöra om ett godtyckligt program P med en godtycklig input I någonsin kommer avsluta sin beräkningsprocess.

13. Hilberts problem • 3 Kan två tetraedrar bevisas ha lika stor volym, med lika bas och lika höjd? • 4 Är det möjligt att skapa geometrier där parallellaxiomet inte gäller? • 5 Är kontinuerliga grupper per automatik differentiella grupper?

14. Hilberts problem • 6 Axiomatisera fysiken • 7 Är a^b transcendent för alla algebraiska a≠0, a≠1 och alla irrationella algebraiska b?

15. Hilberts problem • 8 Riemann hypotesen • 9 Generell konstruktion av återgivningsteoremet • 10 Lösnings metoder för diofantiska ekvationer • 11 Utöka resultat från kvadratiska fält till godtyckliga algebraiska fält

16. Hilberts problem • 12 Utöka Kroneckers teorem för godtyckliga fält genom att konstruera Hilbert klass fält • 13 Visa omöjligheten att lösa godtyckliga sjundegrads ekvationer med två argument

17. Hilberts problem • 14 Visa ändligheten av relativa integralfunktions system • 15 Klargöra Schuberts enumerativa geometri • 16 Studera topologin hos reella algebraiska kurvor och ytor • 17 Finn en representtion av definita former för kvadrater • 18 Bygg rymder av kongruenta polyhedra.

18. Hilberts problem 19 Är lösningar till ”reguljära” problem i variationskalkylen nödvändigtvis analytiska? 20 Har alla variationsproblem med vissa randvillkor lösningar? 21 Bevisa existensen av linjära differentialekvationer med en specificerad monodromgrupp.

19. Hilberts problem 22 Gör analytiska relationer enhetliga genom att använda bijektiva funktioner. 23 Fortsätt utveckla variationskalkylen

20. Dedikerad åt att öka och sprida matematisk kunskap Clay Mathematics Institute

21. Historia • Grundades i september 1998 • Landon T. Clay, finansman i Boston • Lavinia D. Clay • Professor Arthur M. Jaffe • Jim Carlson • Från början kontor i Cambridge, Massachusetts • I oktober 2002 flyttade CMI sina lokaler till One Bow Street in Harvard Square.

22. Institutets mål och syften • Att öka och sprida matematisk kunskap • Att undervisa matematiker och andra vetenskapsmän om nya upptäckter inom matematiken • Att uppmuntra begåvade studenter att satsa på karriärer inom matematiken • Att känna igen extraordinära prestationer och framsteg i matematisk forskning. • Att föra vidare skönheten, kraften och universaliteten i det matematiska tänkandet.

23. Priser och utmärkelser • Millenniumproblemen • Clay Research Award • Clay Olympiad Scholar Award

24. Millenniumproblemen 7 olösta problem Clay institute 2000 1.000.000 $ pris Lösningen kontrolleras utförligt

25. Millenniumproblemen Birch och Swinnerton-Dyers förmodan Hodgeförmodan Navier-Stokes ekvationer P=NP problem Riemannhypotesen Yang – Mills teori Poincarés förmodan

26. Birch och Swinnerton-Dyers förmodan Invecklade ekvationer Hitta alla heltalslösningar Ändligt antal lösningar? Riemanns zetafunktion

27. Hodgeförmodan Byggklossar Avancerade objekt Högre dimensioner Geometriska beskrivningen Algebraiska klasser

28. Navier-Stokes ekvationer Strömningsmekanik Båtar, bilar, flygplan Strömningshastighet och tryckfördelning Partiella differentialekvationer Numeriska metoder Exakta lösningar?

29. P=NP problem Teoretisk datalogi Beräkningsproblem P och NP Perfekta Bordsplaceringen Genväg till lösningen? Datorsäkerhet Kryptering

30. Riemannhypotesen System i primtalfördelningen Zetafunktion som produkt Icke-triviala nollställen till ekvationen 1,5 miljard lösningarna kollats Slutliga beviset?

31. Yang-Mills-teori Fysik Naturkrafterna Matematiska teorin inte klar

32. Poincarés förmodan Algebraisk topologi Klotets yta Perelmans bevis kontrolleras fortfarande

33. Sammanfattning • Hilbert en ledande matematiker • 1900 - Hilberts problem, framtiden öppen • CMI – undervisa, sprida, uppmuntra, föra vidare • 2000 – Millenniumproblemen, framtiden öppen