Capítulo 8 Simulação de Grandes Escalas de Escoamentos Turbulentos

1. Capítulo 8 Simulação de Grandes Escalas de Escoamentos Turbulentos

2. 8.1. Introdução • Simulação de Grandes Escalas (SGE) é uma metodologia intermediária à Simulação Numérica Direta (SND) e à simulação via equações médias de Reynolds (URANS). • Em SGE as estruturas turbulentas transportadoras de energia e quantidade de movimento são resolvidas diretamente da solução das equações filtradas, enquanto que a transferência de energia entre as duas partes do espectro é modelada. • Considerando-se que as menores estruturas tendem a ser mais homogêneas e isotrópicas e menos afetadas pelas condições de contorno, espera-se que os modelos advindos sejam mais universais e independentes dos diferentes tipos de escoamentos, quando comparados com a metodologia média clássica. • As metodologias de SND e SGE são semelhantes no sentido que ambas permitem a obtenção de resultados tridimensionais e transientes das equações de Navier-Stokes. • Sendo assim, SGE continua a exigir malhas refinadas. No entanto, torna-se possível resolver escoamentos a altos números de Reynolds.

3. 8.2. Equações da Turbulência • Equações filtradas: revisão

5. Testes de importância relativa

7. Equações Filtradas - desprezando-se os tensores cruzados e de Leonard “Equações Médias de Reynolds” Equações Filtradas Globais Equações Globais da Turbulência

8. 8.3. Modelo sub-malha de Smagorinsky • Este modelo foi proposto por Smagorinsky (1963), baseando-se na hipótese do equilíbrio local para as pequenas escalas, ou seja, que a produção de tensões turbulentas sub-malha seja igual à dissipação: Na expressão para , e l, são as escalas de velocidade e de comprimento respectivamente.

9. Como a viscosidade turbulenta é proporcional à escala de velocidade e de comprimento, tem-se que: • Com estas três equações, chega-se a uma expressão para a viscosidade turbulenta: • A constante de Smagorinsky, CS =0,18, foi determinada analiticamente por Lilly (1967), para turbulência homogênea e isotrópica. • Aplicações para escoamentos não homogêneos e não isotrópicos?

10. 8.4. Modelo sub-malha Função Estrutura de Velocidade • Chollet e Lesieur (1982) apresentaram o formalismo para o cálculo de (viscosidade turbulenta) e (difusibidade turbulenta) no espaço de Fourier • Eles chegaram à seguinte expressão para a viscosidade turbulenta no espaço de Fourier: • A constante t+é determinada fazendo-se um balanço de energia como segue:

11. Considerando-se Obtém-se Observa-se que o cálculo da viscosidade turbulenta no espaço de Fourier exige determinar o nível de energia cinética turbulenta na freqüência de corte. Buscando-se aplicar este modelo no espaço físico, Métais e Lesieur (1990) mostraram que é possível fazer esta passagem, utilizando-se do conceito de Função Estrutura de Velocidade de Ordem 2:

12. Batchelor (1953), mostra que existe um dualismo entre a função estrutura (definida no espaço físico) e o espectro de energia (definido no espaço de Fourier), válido para turbulência homogênea e isotrópica. • Com este dualismo e com um espectro de energia de Kolmogorov, chega-se ao seguinte resultado: Logo, Com

13. Estes dois modelos são mais apropriados para escoamentos turbulentos plenamente desenvolvidos e fora de regiões parietais. Para escoamentos em transição e escoamentos parietais, um novo tipo de modelo foi proposto por Germano (1993)

14. 8.5. Modelagem dinâmica sub-malha • A modelagem sub-malha convencional envolve uma constante de proporcionalidade ad-hoc imposta. Apesar das limitações advindas deste fato, conseguiu-se, nos últimos anos, avanços extremamente importantes na área de simulação numérica dos escoamentos turbulentos. • Os resultados que podem ser obtidos em turbulência completamente desenvolvida e fora das regiões parietais colocam a SGE hoje como uma ferramenta paralela à experimentação em laboratórios (Bradshaw et al., 1996, e Gharib, 1996). • Uma das principais limitações diz respeito a análise de escoamentos em transição e nas proximidades de paredes, em conseqüência da imposição ad-hoc de uma constante de proporcionalidade • A determinação dinâmica de uma função de proporcionalidade no cálculo da viscosidade turbulenta pode representar avanços importantes.

15. A base desta modelagem é o uso de dois filtros com comprimentos característicos diferentes. • No primeiro, utiliza-se as dimensões da malha para calcular o seu comprimento característico. Ele é denominado filtro a nível da malha. • No segundo utiliza-se um múltiplo das dimensões das malhas para calcular o comprimento característico. Ele é denominado filtro teste. • Com base no uso dos dois níveis de escalas (acima da malha), conclui-se que, na modelagem dinâmica, utiliza-se informações do nível de energia contido nas menores escalas resolvidas, situadas entre as escalas dos dois filtros.

17. A base matemática dos modelos dinâmicos são as equação de Navier-Stokes: Primeiro processo de filtragem Tensor de Reynolds sub-malha generalizado

18. Chega-se a: Aplica-se agora um novo filtro G, de comprimento característico superior ao comprimento do primeiro filtro, sobre a equação seguinte:

19. Onde a seguinte relação entre os comprimentos característicos dos dois filtros é utilizada • Define-se o tensor das tensões relativas ao segundo filtro, também chamadas de sub-teste, como sendo: Logo, tem-se que:

20. Filtrando-se a seguinte equação:

21. Subtraindo-se uma equação da outra, entre as duas abaixo: Tem-se, Define-se, daí, o tensor global de Leonard:

22. A parte anisotrópica do tensor de Reynolds global sub-malha pode ser modelada com a hipótese de Bousinesq • Modelando-se as tensões sub-teste de Reynolds de forma análoga, tem-se: • Filtrando-se a primeira destas duas equações equações, tem-se:

23. Utilizando-se estas três equações, mais a identidde de Germano, isola-se a função de proporcionalidade procurada: Com Mi j e Li j dados por:

24. 8.5. Métodos Numéricos para LES Métodode Vórtices Discretização Volumes Finitos Elementos Finitos Diferenças Finitas

25. 8.5. Métodos Numéricos para LES • Esquema temporal: deve ser de, pelo menos, segunda ordem • Euler: primeira ordem – não recomendado • Adams Bashforth: segunda ordem – apropriado

26. 8.5. Métodos Numéricos para LES • Runge Kuta: segunda ordem ou maior – apropriado

27. O esquema centrado de segunda ordem tem sido considerado inapropriado para discretização do termo advectivo por ser oscilante!! A experiência tem mostrado que isto não é um problema numérico e sim deuso e de interpretação física. De fato: quando se associa segunda ordem no tempo com esquema centrado de segunda ordem no espaço mais modelagem da turbulência:  estabilidade numérica, livre de difusão numérica 8.5. Métodos Numéricos para LES • Esquema espacial: no mínimo de segunda ordem • Esquemas Up-Wind: não recomendados por apresentar difusão numérica • Esquemas centrados: são os mais apropriados por não apresentar difusão numérica

28. 8.5. Métodos Numéricos para LES • Acoplamento pressão velocidade: passo fracionado tem sido utilizado com sucesso. Nada impede que outros sejam utilizados com sucesso, desde que garantam convergência e conservação de massa. passo fracionado

29. 8.5. Métodos Numéricos para LES • Solver de sistemas lineares: • SOR: caro e pode patinar • MSI: método interativo – tem sido utilizado • Gradiente conjugado: tem sido utilizado • Multi-grid: é o melhor procedimento do momento – não patina e é muito mais rápido que os demais  permite chegar a baixos resíduos de pressão e em consequencia a pequenos resíduos de massa. No entanto, é umm método mais apropriado para metodologias implícitas.

30. 8.6. Resultados Ilustrativos – O Papel da Modelagem Evolução temporal do espectro de energia cinética turbulenta- diferenças finitas centradas de segunda ordem – sem modelagem da turbulência: acúmulo de energia na frequência de corte. Malha: 32x32x32

31. 8.6. Resultados Ilustrativos – O Papel da Modelagem Evolução temporal do espectro de energia cinética turbulenta- diferenças finitas centradas de segunda ordem – sem modelagem da turbulência: acúmulo de energia na frequência de corte. Malha: 64x64x64

32. 8.6. Resultados Ilustrativos – O Papel da Modelagem Evolução temporal do espectro de energia cinética turbulenta – a modelagem da turgbulência de Smagorinsky foi introduzida a partir de 5 segundos – Constante de Smagorinsky: 0,18 Transferência excessiva de energia! Malha: 64x64x64

33. 8.6. Resultados Ilustrativos – O Papel da Modelagem Evolução temporal do espectro de energia cinética turbulenta – a modelagem da turgbulência de Smagorinsky foi introduzida a partir de 5 segundos – Constante de Smagorinsky: 0,028 Transferência adequada de energia! Incoveniente: ajustar a consntante!! Malha: 64x64x64

34. 8.6. Resultados Ilustrativos – O Papel da Modelagem Evolução temporal do espectro de energia cinética turbulenta – modelagem Dinâmica da turbulência foi introduzida a partir de 5 segundos – Transferência adequada de energia! Vantagem: não ter que ajustar a consntante!! Malha: 64x64x64

35. 8.7. Resultados Ilustrativos – Importância do uso adequado de esquemas temporais e espaciais + modelagem da turbulência

36. 8.7. Resultados Ilustrativos – Importância do uso adequado de esquemas temporais e espaciais + modelagem da turbulência Surfaces of vorticity: (a) Re = 100; (b) Re = 300; (c) Re = 1.000. and (d) Re = 10.000– Esquema centrado de 2a. ordem no espaço e 2a. ordem no tempo, sem modelagem da turbulência

37. 8.7. Resultados Ilustrativos – Importância do uso adequado de esquemas temporais e espaciais + modelagem da turbulência Surfaces of vorticity: (a) Re = 100; (b) Re = 300; (c) Re = 1.000. and (d) Re = 10.000– Esquema centrado de 2a. ordem no espaço e 2a. ordem no tempo, sem modelagem da turbulência

38. 8.7. Resultados Ilustrativos – Importância do uso adequado de esquemas temporais e espaciais + modelagem da turbulência Sem modelagem: Re=1.000 e Re=10.000 Com modelagem: Re=1.000 e Re=10.000

39. 8.7. Resultados Ilustrativos – Importância do uso adequado de esquemas temporais e espaciais + modelagem da turbulência Sem modelagem: Re=1.000 e Re=10.000 Com modelagem: Re=1.000 e Re=10.000

40. 8.7. Resultados Ilustrativos – Importância do uso adequado de esquemas temporais e espaciais + modelagem da turbulência Sem modelagem: e Re=10.000 - 125 x 250 pontos Com modelagem: Re=10.000 - (250 x 500 pontos

41. 8.7. Resultados Ilustrativos – Importância do uso adequdo de esquemas temporais e espaciais adequados + modelagem da turbulência Sem modelagem: Re=1.000 e Re=10.000 Com modelagem: Re=1.000 e Re=10.000

42. 8.8. Aspectos conclusivos • Esquemas centrados no espaço não são instáveis para os termos advectivos, desde que combinados com esquemas de segunda ordem no tempo e mais modelagem da turbulência para altos Reynolds  isto é fisicamente consistente • Esquemas descentrados de baixa ordem de precisão são sempre estáveis, independente do número de Reynolds, devido à “viscosidade numérica” inerente a eles • Esquemas centrados são preferíveis – exigem modelagem da turbulência para exercer o papel de transferência de energia sobre a freqüência de corte, sem a interferência de viscosidade numérica.

43. Re Cd Present work Braza et al. (1986) Henderson (1997) Lima e Silva (2002) Sucker e Brauer (1975) 100 1.38 1.36 1.35 1.39 1.45 300 1.22 - - 1.22 1.22 1.000 1.16 1.20 1.51 - 0.96 10.000 0.91 - - - 1.10 8.7. Resultados Ilustrativos – Importância do uso adequdo de esquemas temporais e espaciais adequados + modelagem da turbulência