5. ESCOAMENTOS INTERNOS 5.1. Introdução

1. 5. ESCOAMENTOS INTERNOS 5.1. Introdução Neste capítulo serão estudados os efeitos da viscosidade em escoamentos internos e incompressíveis. Compreende: Escoamento em: tubos circulares dutos não circulares canais abertos (Hidráulica) O escoamento de fluidos viscosos se dá em dois regimes: laminar e turbulento.

2. O parâmetro empregado para identificar o regime de escoamento é o número de Reynolds. Quando essa razão torna-se grande, é esperado que as forças de inércias predominem sobre as forças viscosas. Essa situação ocorre em mudanças de geometria repentinas (perdas localizadas). Não é o caso de tubos longos ou canis abertos, onde os efeitos viscosos predominam (perdas distribuídas). Tubos Re < 2000  escoamento laminar Canal largo Re < 1500  escoamento laminar

3. V y  x 5.2. Escoamento de Entrada e Escoamento Totalmente desenvolvido Camada limite V = cte. Camada limite u = u(y) Camada Limite laminar   espessura da camada limite (região na qual ocorre 99% da variação da velocidade)  = (x)

4. V y x Camada limite turbulenta C. L. laminar C. L. turbulenta V u = u(y) T Sub camada laminar u = u(y) transição

5. Vmáx T Estabelecimento de um escoamento laminar em um tubo V = cte. T

6. Núcleo sem efeitos viscosos; du/dy = 0.

7. Vmáx T Escoamento turbulento Escoamento laminar Sub camada laminar Estabelecimento de um escoamento turbulento V = cte. T

9. 5.3. Escoamento Laminar em um Tubo 5.3.1. Abordagem elementar • Hipótese: • regime laminar (totalmente desenvolvido), • regime permanente e • incompressível. • Um volume elementar do fluido é mostrado na Fig. 7.4.

10. Se o diâmetro é constante em um escoamento permanente e incompressível, é sinal que a aceleração em x é nula. Assim, considerando a 2ª Lei de Newton, vem: dividindo por r,

11. ou:  Escoamento laminar ou turbulento Para escoamento laminar unidimensional, considera-se a Lei da viscosidade de Newton. Onde y = 0 na parede e cresce para dentro do escoamento.

12. Como no problema em estudo a variável é o raio (r), há necessidade de se proceder a uma mudança de variável. Com estas considerações a Lei de viscosidade de Newton, passa a ser escrita como: Na Eq. anterior, vem: • u = u(r)  não depende de “x” • (p + h) = p*  pressão de movimento • p* = p*(x)  não depende de “r”

13. Separando as variáveis e integrando, Considerando a condição de contorno: p/ r = r0  u = 0 (parede do tubo  condição de aderência).  perfil parabólico. Escoamento de Poiseuille. Jean L. Poiseuille (1799 – 1869).

14. dr r r0 dA = 2r dr • 5.3.2 Resolvendo as equações de Navier–Stokes • 5.3.3. Quantidades do escoamento em um tubo • Velocidade média V • Pelo teorema do valor médio,

15. No caso de tubos horizontais h = Cte.  dh = 0. Para escoamento totalmente desenvolvido, de modo que:

16. p p - p L x dx p p + dp 1 2 p  queda de pressão.

17. Assim, para tubos horizontais ou, explicitando a queda de pressão A vazão será de:  Eq. de Hagen-Poiseuille. Para tubos inclinados basta substituir “p” por “p + h”.

18. A velocidade máxima ocorre no centro do tubo (r = 0). Ou seja: Foi visto que:

19. 0 r 0 x No caso do escoamento em tubos, foi mostrado que a tensão de cisalhamento é dada por: Na parede do tubo, r = r0 e  = 0, de modo que:   = (r)  distribuição linear.

20. Seja: f  fator de atrito (tensão de cisalhamento adimensional). Com: Considerando que, p queda de pressão (perda). Tem-se:  Eq. de Darcy-Weisbch Henri P. G. Darcy (1803 – 1858); Julius Weisbach (1806 – 1871).

21. Combinado a Eq. abaixo com a Eq. de Darcy-Weisbach Portanto, para o escoamento laminar, tem-se: Observa-se, ainda, que para o escoamento laminar a perda de carga varia linearmente com a velocidade.

22. Exemplo 7.1 Um tubo horizontal de diâmetro pequeno é conectado a um reservatório, como mostra a Fig. E7.1. Se 6600 mm3 são capturados na saída em 10 s, estime a viscosidade da água. FIGURA E7.1

23. = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 Dados:  = 6600 mm3 = 6,60·10-6 m3, t = 10 s, L = 1,20 m, D = 1 mm = 10-3 m, H = 2,0 m. Solução: Escoamento viscoso  Equação da Energia.

24. Hagen – Poiseuille  Re < 2000  escoamento laminar. OK!

25. r2 u(r) r1 x Exemplo 7.2 Obtenha uma expressão para a distribuição de velocidades entre tubos horizontais e concêntricos, no caso de um escoamento permanente, incompressível e totalmente desenvolvido (Fig. E7.2). (regime laminar) FIGURA E7.2

26. dr r2 r r1 x dx dA = 2r dr Solução: Considerando a Eq. da continuidade mas: v = w = 0  Ou seja: u = cte. em x. Então: ax = 0.

27. dr r dx Da Lei de movimento de Newton, integrando, Considerando a Lei da viscosidade de Newton (Laminar)

28. 1  1 2  2 integrando,

29. 2 De O que leva a:

30. Para se obter a vazão, integra-se a distribuição de velocidades

31. = 0

33. U 5.4. Escoamento Laminar entre Placas Paralelas 5.4.1. Abordagem elementar Incompressível; permanente; totalmente desenvolvido. Escoamento: Figura 7.5 Escoamento totalmente desenvolvido

34. Considere a Lei de movimento de Newton na direção “x”. Uma vez que “d(p + h)/dx = Cte.” em y, vem: integrando,

35. mas, Lei de Newton da viscosidade. integrando, • Levando em conta as condições de contorno, • p/ y = 0  u = 0 e B = 0. • p/ y = a  u = U. Então:

36. Escoamento com: • U  0 • U = 0 Escoamento de Couette. Escoamento de Poiseuille.

37. 5.4.2. Integrando as equações de Navier–Stokes

38. 5.4.3. Situação de escoamento simplificado A distribuição de velocidades entre placas fixas é obtida fazendo U = 0. A vazão é obtida da equação: dA = 1dy (unidade de largura)

39. Por outro lado, a velocidade média é dada por: Para o caso de placas horizontais, h = Cte. e: de modo que: A velocidade máxima é encontrada a partir da distribuição de velocidades.

40. Logo, a velocidade máxima ocorre no meio da distância entre as placas. Assim, a velocidade média é

41. x 0 a y 0 A tensão de cisalhamento pode ser encontrada • Considerando as condições de contorno, • p/ y = 0   = 0. • p/ y = a   = 0. Uma vez que  = (y)  é uma distribuição linear, vem: 

42. Na parede, na qual y = 0, resulta: A queda de pressão em um comprimento L de um trecho horizontal é Considerando o fator de atrito (tensão de atrito adimensional), introduzida no item 5.3.3, vem: mas, então

43. Perda de carga  Eq. de Darcy-Weisbch

44. 3,00 m 13 mm Exemplo 7.3 Água a 15° C escoa com um número de Reynolds de 1500, entre placas horizontais de 500 mm de largura, como mostra a Fig. E7.3. Calcule: a) a vazão, b) a tensão de cisalhamento na parede, c) a queda de pressão sobre 3 m, e d) a velocidade em y = 5 mm. Figura E7.3

45.  = 999,1 kg/m3; Água a 15° C   = 1,128·10-3 kg/(m s). Dados: Solução: a)

46. b) c) d)

47. y U U x Exemplo 7.4 Encontre uma expressão para o gradiente de pressão que resulte em uma tensão de cisalhamento igual a zero na parede inferior de duas placas paralelas, na qual y = O; esboce também os perfis de velocidade para uma velocidade U da placa superior, com vários gradientes de pressão. Suponha placas paralelas horizontais. Figura E7.4

48. Solução: Placas horizontais, logo dh/dx = 0 e, A tensão de cisalhamento é dada pela Lei de Newton.

49.  = 0 em y = 0 , então du/dy = 0 em y = 0 (  0) e: de modo que, Se dp/dx é maior que esse valor, a inclinação du/dy, em y = 0 é negativa e assim, a velocidade u será negativa perto de y = 0. Se dp/dx = 0, observa-se que resulta uma distribuição de velocidades linear, isto é,

50. Se dp/dx é negativo, u(y) é maior que a distribuição linear em cada localização y, pois (y2 – ay) é uma quantidade negativa para todos os y de interesse.