Modelo Matemático

1. Un Modelo Matemático Para Reacciones Químicas ReversiblesEduardo S. Pérez Cisneros y Roberto Quezada

2. Modelo Matemático • Un Modelo matemático es una descripción en términos matemáticos (variables, funciones, ecuaciones,…) de un problema o fenómeno del mundo real. • Por ejemplo: • La velocidad de un objeto que cae • El crecimiento de una Población • La concentración de un producto en una reacción química • Las Reacciones químicas que ocurren cuando se encuentran presentes varias sustancias

3. Modelo Matemático El Propósito de un modelo matemático es comprender el fenómeno y hacer predicciones acerca de su comportamiento futuro. El proceso de modelado matemático se describe en la siguiente figura: Problema del mundo real Modelo Matemático Formular Probar Resolver Predicciones acerca del mundo real Conclusiones matemáticas Interpretar

4. Problema El Problema que deseamos resolver es: encontrar las reacciones químicas que ocurren cuando en un recipiente se encuentran presentes varias sustancias. Consideremos el siguiente ejemplo: Supóngase que se encuentran presentes en un tanque de reacción las siguientes especies O2, NH3, H2O, NO. Se desea conocer cuántas y cuáles son las reacciones posibles

5. Formulación del Modelo Los elementos presentes en el tanque de reacción son :O, N, H. La siguiente tabla contiene la información necesaria para formular nuestro modelo:

6. Formulación del modelo Las especies reaccionan en diferentes proporciones unas con otras para producir nuevas sustancias. Puesto que no sabemos cuántas partes de cada especie reaccionan con las otras, es natural considerar como variables de nuestro modelo a las cantidades de cada especie que reaccionan. Representemos por x1 a la cantidad de O2 que reacciona, x2 a la cantidad de NH3 que reacciona, x3 es la cantidad de H2O y x4 la cantidad de NO que reacciona. De acuerdo con la ley de conservación de la materia, las cantidades presentes de los elementos O, N, H deben ser las mismas antes y después de que las reacciones ocurran, esto lo expresamos mediante las siguientes ecuaciones: 2x1 + x3 + x4 = 0 x2 + x4 = 0 3 x2 +2x3 = 0

7. Formulación del Modelo Donde permitimos que nuestras variables x1, x2, x3, x4, tomen valores positivos o negativos. Para interpretar los signos podemos convenir en considerar que un valor positivo de la variable significa que la especie correspondiente es un “reactivo”, mientras que un valor negativo significa que es un “producto”. Es decir, está en el lado izquierdo o derecho de la reacción. Nótese que el sistema de ecuaciones anterior, que es nuestro modelo matemático, se puede obtener a partir de la siguiente matriz (arreglo de números) de la tabla (1):

8. Solución del Sistema de Ecuaciones Estamos en la segunda etapa del proceso de modelado. Resolvamos el sistema de ecuaciones lineales: De la tercera ecuación tenemos que x3= -(3/2) x2 (3) Y de la segunda se obtiene que x4= - x2 (4) Sustituyendo (3) y (4) en la primera ecuación se obtiene: 2x1--(3/2) x2-x2 = 0 O bien, x1=(5/4) x2 (5) Las ecuaciones (3), (4) y (5) muestran que x1, x3 y x4 se pueden escribir en términos de x2. La variable x2 está “libre”, es decir, a ella le podemos asignar cualquier valor real. Por ejemplo, si tomamos x2=1, obtenemos que x1=5/4, x3=-3/2, y x4=1. Esta solución se puede escribir como un vector de la forma (x1, x2, x3, x4), o así (5/4, 1, -3/2, -1) . Y si tomamos x2=4, entonces tenemos que x1=5, x3=-6, y x4=-4, el vector correspondiente a esta solución es (5, 4, -6, -4).

9. Interpretación De acuerdo con nuestro convenio para los signos de las variables, la segunda solución del sistema, es decir (5, 4, -6, -4) indica que 5 partes de O2 y cuatro partes de NH3 reaccionan para producir 6 partes de H2O y 4 partes de NO. Es decir, tenemos la reacción: Nótese que al tomar x2=-4, tenemos la solución (-5, -4, 6, 4) que corresponde a la reacción: ¿Cuál sería la reacción que corresponde con la solución (5/4, 1, -3/2, -1)?. Sería una reacción en la que 5/4 de O2 reacciona con NH3 para producir 3/2 de H2O y NO. Pero ¿qué significan 3/2 de H2O y 5/4 de O2?. Puesto que no es posible dar significado real a cantidades como 3/2 de H2O , podemos concluir que la solución (5/4, 1, -3/2, -1) del sistema de ecuaciones no corresponde con alguna reacción posible, es decir, esta solución no tiene interpretación (o significado) en términos del problema real.

10. Interpretación Las soluciones del sistema de ecuaciones que tienen interpretación en términos del problema real, son aquellas con valores enteros para x1, x2, x3, x4. En otras palabras, los valores enteros que son aceptables para x2 son aquellos que den valores enteros para x1, x3, x4. Aún con esta restricción tenemos infinidad de soluciones, he aquí algunas de ellas: con x2=8 obtenemos que x1=10, x3=-12 y x4=-8, el vector correspondiente es (10, 8, -12, -8) y la reacción correspondiente sería: Pero esta es la misma reacción que obtuvimos antes, sólo que con el doble de productos y reactivos. El lector puede comprobar que con cualesquiera otros valores enteros aceptables de x2 se obtiene la misma reacción o su inversa. En conclusión: Ocurre sólo una reacción reversible

11. Prueba del Modelo • Para probar nuestro modelo necesitamos ir al laboratorio y realizar un experimento. El experimento consiste en colocar en un tanque de reacción las especies correspondientes y verificar que realmente ocurre la reacción reversible que ha predicho nuestro modelo matemático • Ejercicio: • Encuentre las reacciones que ocurren cuando se encuentran presentes las siguientes especies H2, H2O, CH4, CO2, CO. • ¿Cuáles son las reacciones que ocurren entre todas las especies?