1 / 18

Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu szkolnictwo.pl

Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu www.szkolnictwo.pl.

reid
Download Presentation

Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu szkolnictwo.pl

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu www.szkolnictwo.pl Wszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu www.szkolnictwo.pl mogą być wykorzystywane przez jego Użytkowników wyłącznie w zakresie własnego użytku osobistego oraz do użytku w szkołach podczas zajęć dydaktycznych. Kopiowanie, wprowadzanie zmian, przesyłanie, publiczne odtwarzanie i wszelkie wykorzystywanie tych treści do celów komercyjnych jest niedozwolone. Plik można dowolnie modernizować na potrzeby własne oraz do wykorzystania w szkołach podczas zajęć dydaktycznych.

  2. CIĄG ARYTMETYCZNY

  3. Zapiszmy kilka różnych ciągów: (a) ( -1, 7, 10, 17, 105, ….) (b) ( 2, 4, 6, 8, 10, 12, .…) (c) ( -5, 0, 5, 11, 12, 40, ….) (d) ( 105, 100, 95, 90, 85, ….) O każdym ciągu niewątpliwie powiemy, że jest nieskończony. Zauważmy, że w ciągu (b) każdy następny wyraz wzrasta o 2, czyli różnica ( którą będziemy oznaczać literką r ) pomiędzy kolejnymi wyrazami jest taka sama ( r = 2 ).

  4. ( 2, 4, 6, 8, 10, 12, .…) matematycznie zapiszemy: r = a2 – a1 = 4 – 2 = 2 r = a3 – a2 = 6 – 4 = 2 r = a6 – a5 = 12 – 10 = 2 r = const W ciągu (d) pomiędzy kolejnymi liczbami różnica jest taka sama; ciąg jest malejący więc różnica r = -5. ( 105, 100, 95, 90, 85, ….) matematycznie zapiszemy: r = a2 – a1 = 100 – 105 = -5 r = a3 – a2 = 95 – 100 = -5 r = a4 – a3 = 90 – 95 = -5 r = const

  5. DEFINICJA: Ciąg, w którym różnica pomiędzy dowolnym wyrazem, a wyrazem bezpośrednio go poprzedzającym jest stała nazywamy ciągiem arytmetycznym. (an ) jest ciągiem arytmetycznym jeżeli: r = an+1 – an = const

  6. Zadanie.1 Sprawdź czy ciąg an = 10n + 2 jest ciągiem arytmetycznym. Obliczmy kolejne wyrazy powyższego ciągu: a1 = 10 · 1 + 2 = 12 a2 = 10 · 2 + 2 = 22 a3 = 10 · 3 + 2 = 32 a4 = 10 · 4 + 2 = 42 r = a2 – a1 = 22 – 12 = 10 r = a3 – a2 = 32 – 22 = 10 r = 10 r = a4 – a3 = 42 – 32 = 10 r = const Ciąg (an) jest ciągiem arytmetycznym.

  7. Zadanie.2 Sprawdź wykorzystując definicję, czy ciąg bn = -11n + 4 jest ciągiem arytmetycznym. bn = –11n + 4 bn+1 = –11(n+1) + 4 = – 11n – 11 + 4 = – 11n – 7 wyznaczamy różnicę r: r = bn+1 – bn = = -11n – 7 – [– 11n + 4] = = -11n – 7 + 11n – 4 = – 11 otrzymaliśmy stałą wartość, więc wykorzystując warunek definicji możemy zapisać że ciąg (bn) jest arytmetyczny.

  8. Zadanie.3 Sprawdź wykorzystując definicję, czy ciąg cn = n2 + 2 jest ciągiem arytmetycznym. cn = n2 + 2 cn+1 = (n+1)2 + 2 = n2 + 2n + 1 + 2 = n2 + 2n + 3 wyznaczamy różnicę r: r = cn+1 – cn = = n2 + 2n + 3 – [n2 + 2] = = n2 + 2n + 3 – n2 – 2 = 2n + 1 Otrzymaliśmy wartość, która zależy od n. Wyrażenie to może się zmieniać bo n jest liczbą naturalną. Dlatego ciąg (cn) nie jest arytmetyczny.

  9. Zadanie.4 Pomiędzy liczby 5 i 72 wstaw taką liczbę, aby otrzymany w ten sposób ciąg był arytmetyczny. Liczby, o których mowa ustawmy ciąg: ( 5, x, 72 ) gdzie x jest szukaną liczbą. Wykorzystując definicję otrzymujemy: r = a2 – a1 = x – 5 r = a3 – a2 = 72 – x W ciągu arytmetycznym różnica r musi być stała, więc możemy zapisać równanie: x – 5 = 72 – x x + x = 72 + 5 2x = 77 x = 38,5 Ciąg: ( 5; 38,5; 72 ) jest ciągiem arytmetycznym.

  10. W ciągu arytmetycznym pomiędzy jego wyrazami zachodzą zależności; dzięki temu możemy zapisać wzór na ogólny wyraz ciągu: an = a1 + ( n - 1 ) · r a1 – pierwszy wyraz ciągu n – liczba wyrazów n ∈ N1 r – różnica pomiędzy dowolnym wyrazem, a wyrazem go bezpośrednio poprzedzającym an – dowolny wyraz w ciągu

  11. Zadanie.5 Wyznacz wzór na ogólny wyraz ciągu arytmetycznego w którym: a1 = 4; r = -5. Oblicz wyrazy a10, a100. Zaczniemy od zapisania odpowiedniego wzoru: an = a1 + ( n – 1 ) · r an = 4 + ( n – 1 ) · (-5) an = 4 – 5n + 5 an = 9 – 5n - wzór ciągu arytmetycznego a10 = 9 – 5 · 10 = 9 – 50 = - 41 a100 = 9 – 5 · 100 = 9 – 500 = - 491

  12. Zadanie.6 Pomiędzy wyrazy 2 i 101 wstaw dwie liczby x i y tak, aby powstały ciąg ( 2, x, y, 101) był ciągiem arytmetycznym. Z treści zadania: a1 = 2 a4 = 101 Zapiszmy wzór na ogólny wyraz ciągu: an = a1 + ( n – 1 ) · r a4 = a1 + ( 4 – 1 ) · r a4 = a1 + 3r 101 = 2 + 3r 3r = 101 – 2 3r = 99 r = 33 Mając różnicę wypiszemy liczby w ciągu: (2, 35, 68, 101) Szukanymi liczbami są: 35 i 68.

  13. Zadanie.7 Wyznacz wzór na ogólny wyraz ciągu arytmetycznego w którym: a1 = 4; a5 +a7 = 68. Zaczniemy od zapisania odpowiedniego wzoru: an = a1 + ( n – 1 ) · r a5 = 4 + ( 5 – 1 ) · r a7 = 4 + ( 7 – 1 ) · r a5 = 4 + 4r a7 = 4 + 6r z treści zadania: a5 + a7 = 68 4 + 4r + 4 + 6r = 68 10r + 8 = 68 10r = 68 – 8 10r = 60 r = 6 an = 4 + ( n – 1 ) · 6 an = 6n - 2 - wzór ogólny ciągu arytmetycznego

  14. Z ciągiem arytmetycznym związać można ważne pojęcie sumy początkowych wyrazów ciągu, wyrażonej wzorem: Sn – suma n-początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego a1 – pierwszy wyraz ciągu an – n-ty wyraz ciągu n – liczba wyrazów ciągu

  15. Zadanie.8 Wyznacz sumę 50 – początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego przedstawionego wzorem: an = 4n – 7 Zaczniemy od zapisania odpowiedniego wzoru na sumę: Suma 50 początkowych wyrazów wynosi 4750.

  16. Zadanie.9 Karol oszczędza na zakup roweru, który kosztuje 638zł. Pierwszego tygodnia odłożył 52zł, drugiego o 20 zł więcej i tak każdego następnego tygodnia. Ile tygodni musi oszczędzać Karol? Jaka jest wielkość pieniędzy zaoszczędzonych w ostatnim tygodniu? Sytuację w zadaniu zapiszmy za pomocą wzorów dotyczących ciągu arytmetycznego, w którym: (52, 72,………….) a1 = 52 – pieniądze odłożone pierwszego tygodnia a2 = 52 + 20 = 72 – pieniądze odłożone w drugim tygodniu r = 20 - różnica Sn = 638

  17. SZUKAMY: n – liczbę tygodni przez które musi oszczędzać Karol an – wielkość oszczędności w ostatnim tygodniu an = 52 + ( n – 1 ) · 20 an = 52 + 20n – 20 = 20n + 32

  18. rozwiązanie • ujemne odpada • (52, 72, 92, 112, 132, 152,….) • Oszczędzając 6 tygodni Karol uskłada 612 złotych. W ostatnim tygodniu musi dołożyć 26zł, aby kupić rower.

More Related