İş ve Enerji

1. İş ve Enerji • GİRİŞ • Sabit kuvvetlerin yaptığı iş • İki Vektörün Çarpımı • Değişken Bir kuvvetin Yaptığı İş • İş ve Kinetik Enerji • Güç

2. Sabit Kuvvetin Yaptığı İş Enerji: Bir cismin iş yapma yeteneği olarak bilinir. F Sabit bir F kuvvetinin etkisi altında bir doğrusal yol boyunca hareket eden cismin yerdeğiştirmesi sdir. θ:F nin s ile yaptığı açı θ Fcos θ s • Sabit kuvvet tarafından yapılan iş, kuvvetin yerdeğiştirme doğrultusundaki bileşeni ile yerdeğiştirmenin büyüklüğünün çarpımına eşittir. • W=(Fcosθ)s (1) Sabit bir kuvvetin işi • F kuvvetinin cisim üzerinde iş yapabilmesi için • Cisim yerdeğiştirmeli • Bir cisim hareket etmezse (s=0), cisim üzerinde kuvvetin yaptığı iş sıfırdır. • 2.F nin s doğrultusundaki bileşeni sıfırdan farklı olmalıdır. • İşin işareti F nin s ye göre yönüne bağlıdır. θ=900, cos900=0 • F nin cos bileşeni s ile aynıyönde ise iş pozitiftir.

3. Sabit Kuvvetin Yaptığı İş N F W yı negatif yapan örnek, Bir cisim pürüzlü bir yüzey üzerinde kaydırıldığında sürtünme kuvvetinin yaptığı iştir. Sürtünme kuvveti f ile gösterildiğinde; kuvvet, kayan cisme bir s yerdeğiştirmesi yaptırılmışsa sürtünme kuvvetinin yaptığı iş θ f mg Wf = - f s(2) F kuvveti s boyunca ise W= F s(3) İş skaler bir niceliktir birimi kuvvet. uzunluk S.I Newton. Metre (N. m) Joule (J) c.g.s dyne.santimetre erg 1 J= 107 erg

4. Sabit Kuvvetin Yaptığı İş

5. Soru 4. Tuğla dolu bir el arabası, 18 kg lık bir toplam kütleye sahip olup bir halat yardımıyla sabit hızla çekilmektedir. Halat, yatayın üzerinde 200 açıda ve araba yatay düzlemde hareket etmektedir. Yer ile el arabası arasındaki kinetik sürtünme katsayısı 0,5 dir. • İpteki gerilme nedir? • Araba 20m hareket ettiği zaman halatın araba üzerinde • yaptığı iş ne kadardır? • Sürtünme kuvvetinin yaptığı iş ne kadardır? N F θ f mg (a) • (b)WF = Fdcosθ = (79.4N)(20m)cos200 = 1.49kJ • (c) fk = F cosθ = 74.6 N • Wf = fk d cosθ = (74.6 N) (20m) cos 180 0= -1.49 kJ

6. Soru 7. 150N luk yatay bir kuvvet, 40 kg lık bir kutuyu pürüzlü, yatay bir yüzeyde 6m uzaklığa itmek için kullanılmaktadır. Kutu sabit hızla hareket ederse • 150N’luk kuvvetin yaptığı işi • sürtünme kuvvetinin • Kinetik sürtünme katsayısını bulunuz. • W=(150N) (6m)= 900 J • sabit süratte Wnet=0 veya Wf = Wuy = -900J • Wf= f s cos θ = µ m g s cos 1800

7. İki vektörün Skaler Çarpımı A ve B gibi iki vektörün skaler çarpımı, skaler bir nicelik olup, bu iki vektörün büyüklükleri ile arasındaki açının kosinüsünün çarpımına eşittir. A ve B nin skaler(veya nokta) çarpımı A .B = A. B. Cosθ (7.4) burada θ:A ile B arasındaki açı A: A nın büyüklüğü B: B nin büyüklüğü A ve B nin birimleri farklı olabilir. B.CosθB nin A üzerindeki izdüşümü A.BA nın büyüklüğüyle, B nin A üzerindeki izdüşümü ile çarpımı (7.4) eşitliği yerdeğiştirebilir (komutatif) A.B = B.A (7.5) B A.B=A.B cosθ θ A B. Cosθ

8. İki vektörün Skaler Çarpımı • Skaler çarpım, çarpmanın dağılma özelliğine uyar. • (B+C) = A.B + A.C (7.6) • i, j ve k birim vektörleri, bir sağ koordinat sisteminin sırasıyla pozitif x, y ve z eksenlerinde yer alır. • k.k=1 (7.7a) • i.k=0 (7.7b) • olur. A ve B vektörleri, bileşenleri cinsinden • A = Axi+ Ayj+ AzkB=Bxi+Byj +Bzk (7.8) • olarak ifade edilir. A ve B skaler çarpımı • A.B = AxBx + AyBy+ AzBz • ifadesine indirger. A=B özel durumunda • A.A=Ax2+Ay2+Az2=A2 • olur. A.B=0 (θ=900) A.B=A.B (θ=0) A.B=-A.B (θ=1800) 900< θ<1800 olduğunda skaler çarpım negatiftir.

9. Örnek 7.2 Skaler Çarpım • A and B vektörleri A=2i+3j ve B=-i+2j olarak veriliyor. • A.B skaler çarpımını bulunuz. • A ve B arasındaki θ açısını bulunuz. • a) A.B= (2i+3j). (-i+2j) = -2i.i + 2i.2j - 3j.i + 3j.2j = -2+6=4 • b) A .B = A. B. Cosθ den • Örnek 7.3 Sabit bir kuvvet tarafından yapılan iş • xy-düzlemindehareket eden bir parçacık F=(5i+2j) N luk sabit bir kuvvetin etkisi ile d=(2i+3j)m lik yerdeğiştirme yapıyor. • Yerdeğiştirme ve kuvvetin büyüklüklerini hesaplayınız. • F tarafından yapılan işi hesaplayınız. 0 0

10. Soru 12. A=3i+j-k, B=-i+2j+5k ve C=2j-3k olarak verilen üç vektör için C.(A-B) yi bulunuz. Soru 13. Skaler çarpımın tanımını kullanarak, aşağıdaki vektör çiftleri arasındaki açıları bulunuz. Ödev a) =3i-2j ve, = 4i-4j Ödev b) =-2i+4j ve =3i-4j+2k c) =i-2j+2k ve, = 3j+ 4k c) θ=82,30 Soru 14. y Şekildeki vektörlerin skaler çarpımını bulunuz. 1180 İki vektör arasında açı bulunur. θ=1180 -900=280 α=1320 -900 =420 x 1320 Ф Ф =90-70=200 F.v= FvcosФ=5.33N.m/s 32,8N 17,3cm/s

11. DEĞİŞKEN BİR KUVVETİN YAPTIĞI İŞ BİR-BOYUTLU DURUM Fx Değişken bir kuvvetin etkisi altında ve x-ekseni boyunca x=xi den x=xs ye bir cisim yerdeğiştiriyor. Burada kuvvetin yaptığı iş, sadece F büyüklük ve yönce sabit olduğunda W=(F cosθ)s (a) xi xj Δx Şekila kullanılır. Fakat, cisim Şekil a da tanımlanan küçük bir Δx yerdeğiştirmesi yaptığında kuvvetin x bileşeni (Fx) bu aralıkta yaklaşık olarak sabit olur. Bu durumda bu küçük yerdeğiştirme için kuvvetin yaptığı iş ΔW=FxΔx olarak ifade edilir. Bu, tam olarak Şekil a daki gölgeli dikdörtgenin alanıdır. Fx in x ile değişen eğrisini Şekila daki gibi çok sayıda bu tip aralıklara bölündüğü düşünülürse, xi den xs ye olan yerdeğiştirme için yapılan toplam iş, yaklaşık olarak çok sayıdaki bu terimlerin toplamına eşit olur: Fx (b) iş xi xj

12. DEĞİŞKEN BİR KUVVETİN YAPTIĞI İŞ BİR-BOYUTLU DURUM Yerdeğiştirmeler sıfıra yaklaştırılırsa, toplamdaki terimlerin sayısı sonsuza gider. Fakat toplamın değeri, Fx ile x ekseninin sınırladığı gerçek alanaeşit ve sonlu bir değere yaklaşır. Matematikte, bu toplamın limitineintegraldenir ve (7.8) ile gösterilir. İntegraldeki x=xi den x=xs ye kadar olan sınırlar, integralin belirli integralolduğunu gösterir. Bu belirli integral, sayısal olarak xi ile xs arasındaki x’e karşı Fxeğrisi altındaki alana eşittir. Dolayısıyla, cismin xi den xs ye yerdeğiştirmesi halinde Fx in yaptığı iş olarak ifade edilir. Fx=Fcosθ sabit olduğunda, bu eşitlik (1) denklemine indirgenir. (7.9)

13. DEĞİŞKEN BİR KUVVETİN YAPTIĞI İŞ BİR-BOYUTLU DURUM Cisim üzerine birden fazla kuvvet etkirse, yapılan toplam iş, tam olarak bileşke kuvvetin yaptığı iştir. x doğrultusundaki bileşke kuvvetin olarak ifade edersek, cismin xi den xs ye hareket etmesi halinde yapılan net iş (7.10) olur. Soru 18 N luk bir kuvvet bir cisme etki ederek onu orjinden x yönünde x=5m noktasına hreket ettiriyor. Kuvvetin cisme yaptığı işi bulunuz.

14. Soru 22. 100g lık bir mermi, 0.6m uzunluğunda bir namluya sahip tüfekten ateşleniyor. Başlangıç noktası merminin harekete başladığı yer kabul edildiğinde, gazın genleşmesiyle mermiye uygulanan kuvvet (Newton olarak) • 15000+10000x-25000x2 dir. Burada x metre birimindedir. • Mermi namlu uzunluğu boyunca giderken gazın mermi üzerine yaptığı işi bulunuz. • Namlu 1m uzunluğunda ise ne kadarlık iş yapılır ve bu değeri(a) şıkkında hesaplanan işle kıyaslayınız. b) Aynı şekilde W=11,7kJ %29.6 daha büyük

15. BİR YAYIN YAPTIĞI İŞ Kuvvetin konumla değiştiği genel bir fiziksel sistemdir. s Pürüzsüz, yatay bir yüzey üzerindeki bir cisim, sarmal bir yayla denge konumundan gerilir ve sıkıştırılırsa Fs=-kx (7.11) Hooke Kanunu ile verilen kuvvet uygular. x: Cismin gerilmemiş (x=0) konumuna göre yerdeğiştirmesi k:yayın kuvvet sabiti olan pozitif bir sabit s Xm Hooke kanunu sadece küçük yerdeğiştirmeler durumunda geçerli k yayın sertliğinin bir ölçüsü sert yay- k değeri büyük yumuşak yay- k değeri küçük Eşitlik (7.11) deki eksi işaret yayın etkidiği kuvvetin daima yerdeğiştirme ile zıt yönlü olduğunu ifade eder. s x = xf - xi = 3 Fs = - 3k -Xm Kuvvetin konumla değiştiği genel fiziksel sistem.

16. BİR YAYIN YAPTIĞI İŞ Yay kuvveti daima denge konumuna doğru etkidiği için geri çağrıcı kuvvet Şekildeki, xi = -xm den xs=O a hareket ederken yay kuvvetinin yaptığı iş Yay kuvveti yerdeğiştirme ile aynı yönlü olduğu için (herikisi de sağa doğru) yapılan iş pozitiftir. xi=0 ve xs=xm ye geren bir dış etkenin yaptığı bir dış etkinin yaptığı işi inceleyelim. Bu iş, uygulanan kuvvetle Fuy, Fsyay kuvvetinin eşit ve zıt yönlü olduğuna dikkat ederek hesaplanır. Fuy = -(-kx) = kx Kullanılarak dış kuvvetin yaptığı iş

17. BİR YAYIN YAPTIĞI İŞ x e karşı Fs nin grafiği, kütle x=xi den x=xs ye keyfi bir yerdeğiştirme yaparsa, yay kuvvetinin yaptığı iş Alan=1/2kxm2 Fx kxm x 0 xm Fx=-kx xi=-xm den xs=0 ye giderken yay kuvvetinin yaptığı net iş sıfır

18. Kinetik Enerji ve İş-Kinetik Enerji Teoremi Sabit net bir ΣF kuvvetinin etkisi altında sağa doğru hareket eden m kütleli bir parçacığı göstermektedir. Kuvvet sabit olduğu için Newtonun ikinci yasasına göre parçacığın sabit bir a ivmesiyle hareket edeceğini biliyoruz. Parçacık bir d uzaklığı kadar yerdeğiştirmişse toplam ΣF kuvvetinin yaptığı iş ΣF m d vs vi (7.12) olur. Bir parçacık sabit ivme ile gittiğinde aşağıdaki bağıntılar geçerli olur. Burada vi, t=0 daki sürat ve vs t anındaki sürattir. Bu ifadelerle iş (7.13) elde edilir.

19. Kinetik Enerji ve İş-Kinetik Enerji Teoremi niceliği parçacığın hareketiyle ilgili enerjiyi temsil eder. Bu nicelik kinetik enerjidir. Bir parçacığa etkileyen net sabit bir kuvveti tarafından parçacık üzerinde yapılan iş onun kinetik enerjisindeki değişime eşittir. Genel olarak bir v süratiyle hareket eden m kütleli bir parçacığın K kinetik enerjisi: (7.14) olarak tanımlanır. Kinetik enerji skaler bir nicelik olup, iş ile aynı birime sahiptir. Örnek: 4 m/s lik süratle giden 2kg lık bir kütlenin 16J lük bir kinetik enerjisi vardır. Genellikle, eşitlik7.13 (7.15) ile verilir. İş-Enerji teoremidir. olarak verilebilir.

20. Tablo 1 Çeşitli cisimler için Kinetik enerjiler Cisim Kütle (kg) Sürat(m/s) Kinetik enerji(J) Güneş etrafında dönen dünya 5,89x1024 2,98x1042,65 x1033 Dünyanın etrafında dönen ay 7,35x1022 1,02x103 3,82x1028 Kurtulma hızında hareket eden roket 500 1,12x104 3,14x1010 10 m den düşen taş 1 14 9,8x101 Havadaki bir oksijen molekülü 5,3x10-26 500 6,6x10-21