Objectifs

1. Objectifs • Lire un manuel de référence • Choisir une méthode • Vérifier les conditions d’application • Utiliser la méthode • Lire les résultats • Comprendre les grandes lignes de la philosophie statistique • Formaliser un problème • Principes d’application généraux • Interpréter les résultats (plusieurs résultats)

2. 0.1 Les statistiques Licence de psychologie Année 2003-2004

3. Statistiques • On distingue généralement les statistiques descriptives et les statistiques inférentielles. • Les statistiques descriptivesouexploratoires et l’analyse des données ont été vues en première année. • Les statistiques inférentielles constituent le programme des DEUG 2 et licence.

4. Statistiques exploratoires • Décrire une variable, un lien entre variables, un tableau de chiffres • Visualiser, grâce à des représentations adaptées, un ensemble de données complexe • Résumer une série de valeurs par des indices.

5. Statistiques inférentielles • Généraliser un résultat observé sur un échantillon à toute la population • Réfuter une hypothèse grâce à l’utilisation de critères fiables et contrôlables • Prévoir un résultat numérique à partir d’un échantillon • Estimer des paramètres auxquels on n’a pas accès

6. Statistiques inférentielles On distingue, parmi les statistiques inférentielles, deux grands types de constructions / méthodes qui se recoupent : • Les tests d’hypothèses (utilisés par la science psychologique en général) • Les modèles mathématiques (utilisés par la psychologie mathématique en particulier)

7. Tests d’hypothèses Les tests du khi², de Student, tous les tests de comparaison de moyennes sont des tests d’hypothèses. Ils permettent de « démontrer » un résultat général à partir d’un échantillon. Attention : ces résultats n’ont pas le même statut qu’en sciences dures…

8. Modèles Les modèles sont des constructions (mathématiques ou non) qui représentent la réalité sous une forme simplifiée et plus accessible. Ils sont utiles pour prévoir et estimer La régression linéaire n’est rien d’autre que la construction d’un modèle particulier : un modèle linéaire.

9. En bref

10. 0.2 Plan prévisionnel et bibliographie CM, TD, Examens Blancs

12. Sur les examens blancs Préparation à l’examen Découverte du cours Nouveaux éléments Sur les exemples En général, les exemples sont réels, mais pas les données brutes Il arrive aussi que les exemples soient inventés de toute pièce – ou entièrement vrai. C’est précisé Sur le mini-rapport (articlette) Pourquoi cette nouveauté Semaines dites « libres » Semaines dite « expérimentales » Travail personnel Plus autonomes que l’an dernier Les TD sont l’occasion de questions Paquets d’exercices – mais vous pouvez aussi piocher dans les livres. Remarques

13. Howell est psychologue, enseignant aux USA. Bibliographie • Howell, D. C. (1998). Méthodes statistiques en sciences humaines. De Boeck Université. • Chapitre 1 : introduction • Chapitre 4 : tests • Chapitre 9 et 15 : régression linéaire • Chapitre 10 : corrélations alternatives • Chapitre 11, 13, 14 : ANOVA • Chapitre 18 : tests non paramétriques Exercices non corrigés

14. B. Escofier est mathématicienne Bibliographie • Escofier, B. & Pagès, J. (1998). Analyse factorielles simples et multiples. Paris: Dunod. • Ne concerne que la dernière séance (ACP et ACM), non traitée dans le Howell • Des explications préliminaires difficiles à suivre • Des exemples relativement bien détaillés: y aller directement • Pas d’exercices corrigés (comme le Howell d’ailleurs)

15. N. Guéguen est psychologue Bibliographie • Guéguen, N. Statistiques pour psychologues. Paris: Dunod. • Le cours n’est pas aussi approfondi que dans le Howell. Méfiance aussi quant à la rigueur. • Les exercices semblent très bien choisis, et il sont corrigés. • Ouvrage aimé des étudiants. • Ne couvre pas tout le programme de DEUG et licence!

16. A. Monfort est mathématicien et économiste Bibliographie • Monfort, A. (1997). Cours de statistique mathématique. Paris: Economica. • Très mathématique, rigoureux, peu accessible • Réservé aux curieux ou aux amoureux des mathématiques • Vous pourrez toutefois jeter un œil pour découvrir la théorie mathématique qui se cache derrière ce que nous faisons ici

17. G. Saporta est mathématicien et économiste Bibliographie • Saporta, G. (1990). Probabilité, analyse des données et statistique. Technip. • Très mathématique, rigoureux, mais accessible, contrairement au Monfort. • Certains points sont très bien expliqués, et un coup d’œil peut valoir le coup. • Les introductions de chapitre et de parties sont également intéressantes. • Exercices non corrigés et d’un type différent de ce qu’on fait ici.

18. Partie A Régression linéaire

19. 1. Régression linéaire simple Rappels et compléments

20. 1.1. Un exemple Aperçu rapide

21. Exemple • On étudie le lien entre la MCT (mesurée par une note) et le QI • On dispose de deux variables X et Y numériques (quantitatives) • On dispose d’un échantillon de 50 sujets • Sur un échantillon de taille n • On cherche un lien éventuel entre le facteur (VI) X et la variable dépendante Y • Le but est de montrer un lien (on pense que la mémoire a une influence sur le QI) MCT = Mémoire à Court Terme

22. Exemple • Pour cela, on commence par représenter le QI en fonction de la MCT • On représente le diagramme de dispersion de Y en X • Ce qui donne un nuage de 50 points • Qui donne un nuage de n points • Permettant de visualiser le cas échéant un « effet » de X sur Y. • Sur lequel on peut visualiser simplement un lien quand il existe

23. Exemple

24. Exemple • On étudie le diagramme de dispersion pour savoir si les variables sont liées • On étudie le diagramme pour identifier un éventuel lien fonctionnel • Ici, on peut voir une légère tendance croissante • S’il semble y avoir un lien on est fondé à construire une courbe • Qui se formalise par la superposition au nuage de point d’une courbe de tendance • Dite en général « courbe de tendance ».

25. Exemple Meilleure courbe polynomiale de degré 4

26. Exemple Meilleure droite possible (droite de régression)

27. 1.2. Principes de lecture Du diagramme de dispersion

28. Principes • Le diagramme de dispersion se lit par référence à une courbe • Un nuage qui ne semble pas être proche d’une courbe dénote une absence de lien • Un nuage qui semble se situer entièrement sur une courbe dénote un lien fonctionnel entre les deux variables • Un nuage qui semble se situer plus ou moins sur une droite dénote un lien linéaire entre les variables

29. Courbes de tendances

30. Absence de lien

31. Lien linéaire

32. 1.3. Les bases De la régression linéaire simple : construction du modèle

33. Situation • Nous disposons de deux variables X et Y. X est le facteur (VI) • Nous voulons construire un modèle où le lien entre X et Y est simple et fonctionnel • Posons par exemple (lien linéaire) :

34. Exemple • On pose la question suivante à des sujets : « combien font 7+x ?» • On a un facteur X • Où xvarie de 80 à 89 • numérique • On relève le temps de réponse Y • Et une variable dépendante Y

35. Exemple • On aimerait prévoir le temps de réponse en fonction de X • On cherche un lien entre les variables • Selon une formule simple (linéaire ou affine) • qui soit linéaire • Pour cela, on choisit la meilleure formule possible de la forme • On cherche l’équation de régression linéaire.

36. Erreur d’estimation • Pour déterminer l’équation de régression, nous minimisons l’erreur moyenne d’estimation • Cette erreur est liée au coefficient de corrélationr • Elle est minimale pour une unique valeur de a et une unique valeur de b : les coefficients de régression • Les coefficients de régression et le coefficient de corrélation se calculent à la machine

37. y = 7 Erreur d’estimation y^ = 4 x = 2

38. Coefficient de corrélation • Le coefficient de corrélation est défini par • Il mesure l’erreur d’estimation • Il mesure le lien linéaire entre les variables • Il mesure la distance entre la droite de régression et le nuage de points

39. 1.4. L’estimateur R Compléments sur la régression simple

40. On ne dispose que d’un échantillon On calcule donc non pas r=r(X,Y) Mais r(x,y), Réalisation d’une variable aléatoire R (coefficient de corrélation d’échantillonnage) Cette variable aléatoire sert d’estimateur du paramètre r(X,Y). Il s’agit d’un estimateur convergent… Mais biaisé ! Des tables permettent d’obtenir des intervalles de confiance pour r(X,Y) à partir de r(x,y) car la loi de R est connue. Problèmes pratiques

41. 1.5. Un exemple Traité en entier

42. On pense que la mémoire à court terme est sériel, c’est-à-dire que, pour une tâche de reconnaissance d’items dans une liste apprise, la liste est passée dans l’ordre jusqu’à l’item cible. On note R le rang de l’item cible, et T le temps de réponse. Si notre hypothèse de départ est juste, on doit avoir un lien affine entre T et R. En effet, si a est le temps d’accès au premier item, numéroté 0, et b le temps pour passer d’un item au suivant, on doit avoir T = a+bR Reconnaissance et MCT

43. La situation • On mesure le temps de réponse et le rang. • On a deux variables numériques : le facteur R et la VD T • On dispose d’un échantillon de 40 sujets • sur un échantillon de taille n = 40 • On représente le diagramme de dispersion de T en R • On représente les données par un diagramme de dispersion

44. Le diagramme

45. Interprétation • L’équation de régression est T = 0.99R+1.52 • Le coefficient directeur de la droite est positif, ce qui montre que la relation entre R et T est croissante, et donc que r est positif. • Donc

46. Interprétation • Ce coefficient dénote un lien linéaire croissant fort entre les variables • L’hypothèse sérielle est donc confirmée par cette expérience ATTENTION : il s’agit toujours d’estimations et de modèles, donc d’une vérité simplifiée. Si on avait au contraire trouvé un r proche de 0, cela n’aurait pas démontré une « absence de lien », mais seulement la faiblesse de la linéarité.

47. Interprétation • Les coefficients a et b donnent des informations sur les temps d’accès en MCT • Il s’agit d’estimateurs des « vrais » coefficients A et B. • Des tables peuvent être utilisées.

48. 1.6. Conclusion Sur la régression linéaire simple

49. La régression linéaire simple s’applique quand on cherche un lienlinéaire entre deux variables quantitatives. On commence par représenter le diagramme de dispersion. Le coefficient r donne des informations sur la qualité du modèle L’équation de régression permet de prédire des valeurs de la VD en fonction de la VI — en non l’inverse ! On notera souvent A retenir

50. Ne pas confondre lien (corrélation) et causalité Lapins et Dow Jones Pointure-dictée Lunettes-glaces Le nombre de voitures / de réfrigérateurs Régression vers la moyenne N’oubliez pas que R est un estimateur Si le coefficient de corrélation est « bon », il montre un lien linéaire, donc un lien S’il est « mauvais », il ne montre pas une absence de lien, mais seulement la faiblesse d’un lien linéaire, à ramener à la taille d’échantillon Attention