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Grundgedanke der FEM

Grundgedanke der FEM.

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Grundgedanke der FEM

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Presentation Transcript

  1. Grundgedanke der FEM Das zu berechnende Tragwerk wird in eine grössere Anzahl von Elementen mit leicht überschaubaren statischen Eigenschaften zerlegt und diese dann unter Wahrung der kinematischen Verträglichkeitsbedingungen und anderer statischer Gleichgewichtsbedingungen zu einem komplexen Gesamtsystem zusammengeführt.

  2. FEM als statisches Berechnungsverfahren • Kraftgrössenverfahren • Kräfte und Momente • Verschiebungsgrössenverfahren • Verschiebungen und Verdrehungen Formulierung in Matrizenschreibweise in der Regel lineares Gleichungssystem

  3. Benötigte Angaben • Geometrie des Tragwerks • Auflagerbedingungen • Materialeigenschaften • Lasteinwirkungen

  4. Lasteinwirkungen • verteilte äussere Kräfte • konzentrierte äussere Kräfte • initiale Verzerrungen(von externen Einwirkungen) • vorgeschriebene Rand- und Auflagerverschiebungen • beschleunigungsproportionale Massenkräfte (z.B. Eigengewicht)

  5. Methode • Erarbeiten eines mathematischen Modells auf Grund der physikalischen Wirklichkeit.

  6. Knotenpunkte, Freiheitsgrade, Finite Elemente

  7. Verschiebungsgrössenverfahren Voraussetzung: lineares Tragwerk das ergibt ein lineares Gleichungssystem mit den Knotenverschiebungen und -verdrehungen als Unbekannte.

  8. Lastvektor und Verschiebungsvektor • Die in einem Knotenpunkt angreifenden Kräfte und Momente werden zum LastvektorF zusammengefasst. • Die Knotenverschiebungen und -verdrehungen werden zum Verschiebungsvektoru zusammengefasst. Es gilt: F = K•u K ist die Systemsteifigkeitsmatrix

  9. Beispiel 3-4

  10. Das lineare Gleichungssystem K • u = F

  11. Vorgehensweise • numerische Erfassung des Tragverhaltens jedes einzelnen finiten Elements ( lokale Elementsteifigkeitsmatrizen) • Aufbau der Systemsteifigkeitsmatrix und des Lastvektors • Lösung der globalen Systemgleichungen • Ermittlung der Auflagerkräfte • Berechnung der Elementspannungen

  12. Beispiel 3-5

  13. Statisches System

  14. Knotenverschiebungen

  15. Koordinatensysteme

  16. Koinzidenztabelle

  17. Knotenkräfte

  18. K•u = F Das System hat 5 Freiheitsgrade. Zur Ermittlung der Systemsteifigkeitsmatrix K benötigt man die Elementsteifigkeitsmatrizen

  19. Der Fachwerkstab • Es soll die Elementsteifigkeitsmatrix eines Fachwerkstabes hergeleitet werden, und zwar in einem lokalen Bezugssystem. • Der Fachwerkstab hat einen Querschnitt A, die Länge l und sein Material hat den Elastizitätsmodul E. • Entlang der Länge des Stabes wirkt die Normalkraft N und bewirkt eine Verlängerung .

  20. Der Fachwerkstab

  21. Die Spannungsmatrix S Für die Verlängerung  gilt: Gleichzeitig ist: Damit folgt:

  22. Die Elementsteifigkeitsmatrix Die Elementsteifgkeitsmatrix ist aus den angreifenden Kräften und den Verschiebungen schnell angesetzt: in Matrixform:

  23. Koordinatentransformation Beim Fachwerkstab werden beide Knoten transformiert. Das führt zu: ue(lok) = T•ue

  24. Transformation der Kräfte Für die Kräfte an den Stabenden gilt also: Fe = TT•Fe(lok)

  25. Folgerungen Es gilt im lokalen System: Fe(lok) = Ke(lok)•ue(lok) Einsetzen von: ue(lok) = T•ue führt zu Fe(lok) = Ke(lok)• T•ue Somit gilt: Fe = TT•Fe(lok) = TT• Ke(lok)• T•ue Daraus kann man ablesen, dass die Elementsteifigkeitsmatrix in globalen Koordinaten folgende ist: Ke = TT•Ke(lok)•T

  26. Elementsteifigkeitsmatrix für den Fachwerkstab

  27. Die Spannungsmatrix für den Fachwerkstab N = Se(lok)•ue(lok) Mit ue(lok) = T•ue erhält man: N = Se•ue = Se(lok)•T•u Somit gilt:

  28. Aufgabe Es sind alle Elemetsteifigkeitsmatrizen und die Spannungsmatrizen für alle Elemente in globalen Koordinaten aufzuschreiben.

  29. Die Systemsteifigkeitsmatrix Vorgehensweise: • Anpassen der Verschiebungsgrössen der einzelnen Elemente an diejenigen des Knotenpunktes (Kompatibilitätsbedingungen) • Gleichgewichtsbedingungen in den Knotenpunkten Kf•uf=Ff

  30. Kf =

  31. Koinzidenztabelle

  32. Auflagerbedingungen Hier gilt: v3 = 0, u4 = 0, v4 = 0 Damit werden in Kf die letzten 3 Spalten mit Nullen besetzt und man kann sie streichen. Der Rang der Matrix Kf ist 5. Gestrichen werden die Zeilen, die den festgehaltenen Freiheitsgraden entsprechen, da rechts die Auflagerkräfte unbekannt sind.

  33. Gleichungssystem

  34. Lösung des Gleichungssystems Zuerst wird das erste Gleichungssystem gelöst. Das ergibt die Werte für u1, v1, u2, v2 und u3. Diese Lösungen werden in das zweite Gleichungssystem eingesetzt und man kann die Auflagerkräfte in den Knoten 3 und 4 berechnen.

  35. Lösungen

  36. Elementkräfte Die an den Elementen angreifenden Kräfte können mit den Spannungsmatrizen berechnet werden. Es gilt: N=Se•ue

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