Partie 4 B: Homogénéisation des milieux aléatoires Bornes et estimations d’ordre deux

1. Partie 4 B: Homogénéisation des milieux aléatoires Bornes et estimations d’ordre deux • 1 Principes généraux • 1.1 Microstructure et information statistique • 1.2 Chargement macrohomogène • 2 Matériaux biphasés • 2.1 Polarisations locales et moyennes par phases • 2.2 Estimations de Hashin et Shtrikman • 2.3 Bornes de Hashin et Shtrikman • 2.4 Estimation de Mori et Tanaka • 2.5 Estimation autocohérente

2. 1. Inclusion dans un milieu 1.1 Microstructure et information statistique • Milieux aléatoires : • Volume V fini constitué de r phases linéaires et homogènes occupant des volumes Vrdisjoints et complémentaires. • Information statistique : isotropie de distribution des phases : fractions volumiques des diverses phases Probabilité d’ordre deux (ou covariances) : Crs(h) probabilité que y  phase r et que y+h  phase s.

3. 1.2 Chargement macrohomogène V soumis à un chargement macrohomogène : etont 2 échelles de variation : – fluctuent à l’échelle locale (microscopique) –  des domaines R(x) connexes, translatés en x d’un domaine de référence R (volume élémentaire), tel que : Champs macroscopiques quasi uniformes ou fluctuant à une échelle supérieure à celle de V.

4. sont considérés uniformes à l’échelle de V. • Déplacement macro : • Écart entre déplacement réel u et ce champ macro : u´ fluctuation locale d’intensité bornée avec Chargement et champs macroscopiques  S passant parxet de normalen :

5. Conséquences de la macrohomogénéité :  Indépendance des fluctuations du champ local vis à vis du détail des conditions aux limites : Calcul de  et  loin du bord de V sans connaître le détail des conditions aux limites sur V. Lemme de Hill (relation de macrohomogénéité)

6. Modules effectifs • Tenseur de localisationA(x) : LH =<L:A> et par définition énergétique • Tenseur de concentration B(x) : MH =<M:B> et par définition énergétique Un domaine V formé de constituants hétérogènes, soumis à un chargement macrohomogène se comporte comme un domaine homogène soumis à un même chargement, de même géométrie, et de modules effectifs équivalents LH (MH).

7. Ici: Approches en LOCALISATION • Il ’suffit’ de connaître les moyennes des tenseurs de localisations des(n-1)phases de V pour calculer les propriétés linéaires effectives de V. •  Malheureusement cette opération est impossible :description incomplète et complexe de la microstructure. • ESTIMATIONS - Infos STATISTIQUES

8. t(x) = [L(x) - L0] :e(x) matériau de référence contrainte dans le matériau courant générée par une transformation, ou contrainte résiduelle 2. Matériaux biphasés 2.1 Polarisations locales et moyennes par phases Champ local dans V biphasé est solution d’un problème de thermoélasticité : On considère V constitué du matériau de référence (L0), homogène, soumis aux mêmes conditions aux limites que le milieu biphasé (L(x)) mais qui subit en plus des déformations de transformation hétérogènes caractérisées par un champ de polarisationt(x) : s(x)=L0:e(x)+t(x) Idée : (siL(x) = L0 , polarisation nulle -> polarisation homogène dans inclusion HS)

9. contrainte et déformation moyennes dans la phase (i). • Moyenne de la polarisation sur une phase (i) : • Moyennes par phases de la déformation, de la contrainte ou de la polarisation sont uniformes dans V c’est à dire macroscopiques : On vérifie

10. Linéarité  superposition des solutions élémentaires 2.2 Estimation de Hashin et Shtrikman Objet : estimer le champ local dans V, , par le champ apparaissant dans le problème thermoélastique, *, sur le milieu homogène de référence L0 dans le cas où la polarisation  est homogène par phase. En supposant que l’on sache calculer ces moyennes par phases en fonction du chargement macro et des polarisations par phases : P0tenseur d’ordre 4 dépendant deL0et de la répartition des phases, dont dérivent les polarisations P0ij.

11. Tenseurs de Hashin et Shtrikman Soit le tenseur d’influence de Hill : • On peut estimer les tenseurs de localisation pour chaque phase : • Ce tenseur permet de calculer une estimation du tenseur des modules effectifs appelé tenseur des modules de Hashin et Shtrikman :

12. Hashin et Shtrikman : modules de compressibilité et cisaillement isotropes Reste à préciser le milieu de référence

13. on montre que Encadrement du tenseur des modules effectifs tel que : 2.3 Bornes de Hashin et Shtrikman Polarisation homogène par phase (au sens de l ’énergie potentielle macroscopique associée) LHS- calculé à partir du plus grand minorant des tenseurs des modules des constituants LHS+ calculé à partir du plus petit majorant des tenseurs des modules des constituants

14. Matériau isotrope à phases isotropes [BOURGEOIS 94] Généralisation à n phases, • Tenseur de localisation des déformations : • Tenseurs de Hashin et Shtrikman :

15. Quelques propriétés Les tenseurs de Hashin et Shtrikman sont les meilleures estimations des modules effectifs avec des champs de polarisation homogènes par phase • Milieu de référence beaucoup plus souple que les constituants LHS = LR • Milieu de référence beaucoup plus rigide que les constituants LHS = LV

16. 4 3,5 Eshelby (FC) 3 Reuss EF 2,5 Voigt 2 HS+ E composite/E matrice 1,5 HS- 1 0,5 0 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 fraction volumique (%) Module d'Young pour un matériau composite isotrope de type Al/SiCp

17. 2.4 Estimation de Mori et Tanaka Théorie de l'inclusion d'Eshelby avec le milieu infini ayant les propriétés de la matrice • Matériau biphasé et polarisation homogène par phase : LHS=Lo+<T>:[I-Po:<T>]-1 avec <T>=SciTi Ti=[Li-Lo]:[L*+Li]-1:[Po]-1 (renfort sphérique, répartition isotrope) Si Lo=Lm LMT=Lm+ciTi:[I-ciPm:Ti]-1 Faibles concentrations : LMT = LFC

18. Matériau isotrope à phases isotropes [BOURGEOIS 94] Généralisation à n phases, Lo : tenseur des modules de la matrice • Tenseur de localisation des déformations : • Estimation de Mori et Tanaka :

19. Quelques propriétés ØSi la matrice = phase la plus raideÞLMT=borne supérieure ØSi la matrice = phase la plus soupleÞLMT=borne inférieure ØMT exact si faibles intéractions entre les phases ØMT prend en compte la polarisation due à l'ensemble des inclusions voisines Ø Résultats satisfaisants jusqu'à ci # 10 à 20%

20. 2.5 Estimation autocohérente • Hashin et Shtrikman : tenseur des modules du milieu de référence tenseur des modules effectifs Lo LHS(Lo) • Estimation autocohérente : Le milieu de référence Loest le Milieu Homogène Equivalent, Þ l'estimation du tenseur des modules effectifs est solution de : LAC=LHS(LAC) définitionimplicite du tenseur des modules Calcul par itération + critère de convergence

21. Matériau isotrope à phases isotropes [BOURGEOIS 94] Généralisation à n phases, • Tenseur de localisation des déformations : Lo : tenseur des modules de la matrice • Estimation autocohérente :

22. 4 3,5 Eshelby (FC) 3 Reuss EF 2,5 Voigt 2 HS+ E composite/E matrice 1,5 HS- AC 1 0,5 0 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 fraction volumique (%) Module d'Young pour un matériau composite isotrope de type Al/SiCp