Výukový materiál zpracován v rámci oblasti podpory 1.5 „EU peníze středním školám“

1. VY_32_INOVACE_04_PVP_221_Sed Výukový materiál zpracován v rámci oblasti podpory 1.5„EU peníze středním školám“

3. ROVNICE a nerovnice– základní přehled

4. Pojem rovnice • Rovnice je zápis rovnosti dvou výrazů • s proměnnou x z daného číselného oboru M • L(x) = levá strana rovnice • P(x) = pravá strana rovnice • x = neznámá (malá písmena latinské abecedy : y, z, t, u, v …) • xk = kořen rovnice (řešení rovnice) • M = obor řešení rovnice (obvykle množina R) • D = definiční obor rovnice • K = množina všech kořenů (⇔obor pravdivosti rovnice P) • Platí : K ⊂ D ⊂ M

5. Kořen rovnice • Řešení rovnice • Kořen rovnice = řešení rovnice • Dva ekvivalentní výrazy • Číslo xk (hodnota neznámé), po jehož dosazení platí rovnost L(x) = P(x) • Řešení rovnice = označení pro postup, kterým hledáme kořen rovnice

6. Obor řešení rovnice = M • Nejčastěji množina reálných čísel R • Může to být ale jakákoli její podmnožina • Číselná množina, ve které se nachází kořeny rovnice • Pokud není na začátku stanoveno jinak, pak oborem řešení rovnice M je množina reálných čísel R • Platí: M ⊂R

7. Definiční obor rovnice = D • Číselná množina, která obsahuje kořeny rovnice • Průnik definičních oborů výrazů L(x) a P(x) • Po dosazení libovolného čísla z D za neznámouxvznikne výrok (pravdivý ∨ nepravdivý) • Platí: D⊂M ⊂ R

8. Množina všech kořenů = K • Obor pravdivosti rovnice = P • Používají se obě značení • Číselná množina, která obsahuje všechny kořeny rovnice • Po dosazení libovolného čísla z množiny Kza neznámouxvznikne výrok pravdivý • Platí: K ⊂ D⊂M ⊂ R

9. Rozdělení rovnic s jednou neznámou: • ALGEBRAICKÉ • Racionální • Lineární ( 1. stupně) • Kvadratické ( 2. stupně) • Kubické( 3. stupně) • Rovnice 4. stupně, ..…… aj. • Iracionální ( s neznámou pod odmocninou) • TRANSCENDENTNÍ • Logaritmické • Exponenciální • Goniometrické, ……… aj.

10. Úpravy rovnic • Ekvivalentní • Implikační (důsledkové)

11. 1. Ekvivalentní úpravy Nezmění platnost rovnice; po jejich provedení má upravená i původní rovnice právě stejné kořeny. Smyslem ekvivalentních úprav je dostat rovnici do jednoduššího tvaru, ze kterého už lze stanovit kořen rovnice. Např.: • Přičtení téhož čísla nebo výrazu z definičního oboru D k oběma stranám rovnice • Násobení obou stran rovnice stejným číslem různým od nuly nebo výrazem z definičního oboru D různým od nuly • Záměna obou stran rovnice

12. 2.Implikační úpravy Po jejich aplikaci má původní rovnice stejné kořeny jako upravená. Neplatí to ovšem naopak – tzn. že upravená rovnice může mít i některé další kořeny, které původní rovnice nemá. Proto je nezbytné vždy provádět důsledně zkoušky pro všechny kořeny. Patří sem např.: • Umocnění obou stran rovnice přirozeným mocnitelem • Odmocnění obou stran rovnice • Logaritmování obou stran rovnice

13. Pojem nerovnice V nerovnici s proměnnou xz číselného oboru M platí pro zápis dvou výrazů L(x) a P(x) právě jeden ze 4 vztahů: {zkrácený zápis pro L(x)<P(x) ∨ L((x)=P(x)} {zkrácený zápis pro L(x)>P(x) ∨ L((x)=P(x)}

14. Úpravy nerovnic Při řešení nerovnic platí stejné ekvivalentní úpravy jako při řešení rovnic s jedinou podstatnou výjimkou: • násobíme-li obě strany nerovnice záporným číslem, změní se znak nerovnosti v opačný!!

15. Základní typy rovnic a nerovnic: • lineární rovnice • lineární nerovnice • rovnice s neznámou ve jmenovateli • nerovnice s neznámou ve jmenovateli • soustavy rovnic • soustavy nerovnic • rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou • kvadratické rovnice • kvadratické nerovnice • iracionální rovnice • rovnice s parametrem • exponenciální rovnice • logaritmické rovnice • goniometrické rovnice

16. Doporučený postup řešení lineárních rovnic s jednou neznámou • Provedení naznačených početních úkonů • Odstranění zlomků • Převedení na jednotlivé strany rovnice členů bez neznámé a členů s neznámou • Osamostatnění neznámé • Provedení zkoušky • Zápis množiny K Poznámka:podle konkrétního zadání daného příkladu se některé kroky vynechávají

17. LITERATURA: • POLÁK, Josef. Přehled středoškolské matematiky. 8. vyd. Praha: Prometheus, 2005, 608 s. ISBN 80-719-6267-8. • VOŠICKÝ, Zdeněk. Matematika v kostce. 2. vyd. Havlíčkův Brod: Fragment, 1997, 124 s. ISBN 80-720-0012-8. • KUBEŠOVÁ, Naděžda a Eva CIBULKOVÁ. Matematika: přehled středoškolského učiva. 2. vyd. Třebíč: Petra Velanová, 2006, 239 s. Maturita (Petra Velanová). ISBN 978-808-6873-053.

18. LITERATURA: • ČERMÁK, Pavel. Odmaturuj! z matematiky. Vyd. 2.(opr.). Brno: Didaktis, 2003, 208 s. ISBN 80-862-8597-9. • PETÁKOVÁ, Jindra. Matematika: příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1998, 303 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 80-719-6099-3. • Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu.