Übungen zu Automatisches Zeichnen von Graphen Ausgabe: 11.12.2007 — Besprechung: 15.01.2007

1. - Übungsblatt 5 - Übungen zu Automatisches Zeichnen von Graphen Ausgabe: 11.12.2007 — Besprechung: 15.01.2007 Gruppe 2

2. Aufgabe 3: Knotenpositionierung Erläutern Sie den Mixed-Model Algorithmus, der in der Publikation C. Gutwenger und P. Mutzel: Planar Polyline Drawings with Good Angular Resolution, In S. Whitesides (Eds.), Proceedings Graph Drawing, Montreal, Canada., Lecture Notes in Computer Science, vol. 1547, Springer, 1998, 167-182, beschrieben ist. Welche Eigenschaften besitzen die entstehenden Zeichnungen?

3. Gliederung • Einleitung • Mathematische Grundlagen • Algorithmus • Analyse • Kommentar

4. Einleitung: Mixed Model Algorithmus • Linearzeit-Algorithmus • erstellt Polyline-Gitterzeichnung von jedem planaren Graphen • Phasen • VorbereitungsphaseErweiterung auf 2-zusammenhängenden,ebenen Graphen • kanonische Ordnung der Knoten • bounding boxes um Knoten • Platzierung der Knoten

5. Einleitung: Idee des Algo • basiert auf Ideen von Kant für • 3-zusammenhängene Graphen: • ebenfalls Linearzeit-Algorithmus • minimaler Winkel mind. 2 / dd = maximaler Knotengrad des Graphen • maximal 3 Knicke pro Kante • Kantenlänge O(n)n = Anzahl Konten des Graphen • MixedModell mit Polylines aus straightline Framework und kanoischer Ordnung für 3-zusammenhängende Graphen entstanden

6. Einleitung: Andere Ansätze für d > 4 • Knoten als Boxen • Nachteile • sehr große Knoten • teilweise ist Größevom Gradunabhängig

7. Einleitung: Andere Ansätze für d > 4 • Grob- und Feingitter • Nachteile • Linien sehr (zu)nah beisammen • kein polynomiellerAlgorithmus bekannt

8. Einleitung: Andere Ansätze für d > 4 • Kurze, diagonale • Linien • Nachteil • Winkel zu klein

9. Mathematische Grundlagen • Graph G heißt einfach, wenn G weder mehrfache Kanten noch Kreise enthält. • G ist flach, wenn G mit planarer Zeichnung verbunden ist. • Die Einbettung eines planaren Graphen G, ist die Sammlung von kreisförmigen Ordnungen der inzidenten Kanten oder Knoten um jeden Knoten in einer planaren Zeichnung von G. • Ein flacher Graph teilt die Fläche in Regionen, genannt Facesunbegrenztes Face = äußeres Face,sonst inneres Face

10. Mathematische Grundlagen • Für einen Knoten v aus G benutzen wir die Kreisordnung gegen den Uhrzeigersinn • Die Grenze im Uhrzeigersinn eines Faces f ist ein Kreisdurchlauf v0e1v1...ekvk entlang der Kanten von f, so dass vi+1 der Nachfolger von vi−1 in der Ordnung gegen den Uhrzeigersinn von vi ist. • Ein zusammenhängender Graph G wird k-zusammenhängend genannt, wenn er, nach Löschen von k-1 beliebigen Knoten, immer noch zusammenhängend istFür k=2 und k=3: bi- / tri-zusammenhängend

11. Der Algorithmus • Eingabe: G = (V, E), wobei G flach und einfach • Drei Phasen • 1. Berechne geordnete Partition π= disjunkte Teilmengen von V • 2. Bestimme Bounding Boxes der Knoten= Berechnung von Inpoints und Outpoints • 3. Platzierung= Koordinaten der Knoten berechnen

12. Phase 1: Die geordnete Partition π • π = (V1, …, VN)mit und • Gk = V1 … Vk sei planarer Subgraph • rank(v) = Index i für das Vi das v enthält • Eigenschaften von π • (P1) Für jedes Vk = {z1, …, zp) existieren zwei Knoten left(Vk) und right(Vk) mit:E1(Vk) = {(zi, zi+1)|1 ≤ i < p} für k ≥1E2(Vk) = {(left(Vk), z1), (zp, right(Vk))} für k ≥ 2 left(Vk)‏ z1 zp right(Vk)‏ …

13. Phase 1: Die geordnete Partition π Eigenschaften von π (P1 Forts.) kann in G eingefügt werden ohne Kreuzungen zu erzeugen. mit (P2) V1 = {v1, ..., vs} ist ein Pfad auf der Grenze im Uhrzeigersinn des externen Faces von .Die Knoten in Vk (k ≥ 2) liegen auf dem externen Face von .

14. Phase 1: Die geordnete Partition π Eigenschaften von π (P3) C1 ist Sequenz von v1, ..., vs.Für k ≥ 2 sei Ck−1 = c1, ..., cq bereits definiert.Sei cl = left(Vk) und cr = right(Vk).Dann ist Ck die Sequenz c1, ..., cl, Vk, cr, ..., cq. (P4) Sei Vk = {z1, ..., zq}.a)b) Sei k ≥ 2, Ck−1 = c1, ..., cq, left(Vk) = cl, right(Vk) = cr. Dann liegen alle Nachbarn von Vk in in {cl, ..., cr}. Wenn p ≥ 2, dann hat Vk genau zwei Nachbarn in .

15. Phase 1: Die kanonische Ordnung • π ist eine kanonische Ordnung, wenn gilt: • (1) V1 = {v1, ..., vs}, wobei v1, ...vs ein Pfad auf der Grenze im Uhrzeigersinn des externen Faces von G mit s ≥ 2 undE({v1, ..., vs}) = {(vi, vi+1) | 1 ≤ i < s}. • (2) Jeder Subgraph Gk ist zusammenhängend und intern 2-zusammenhängend • (3) Bezeichne C‘k den Pfad auf der Grenze gegen den Uhrzeigersinn des externen Faces von Gk ausgehend von Knoten v1 zu Knoten vs. Für jedes 2 ≤ k ≤ N trifft zu eine der Bedingungen zu, wobei C‘k = [v1 = c1, ..., cq = vs]: • a) Vk = {z} und z ist ein Knoten aus C‘k mit mindestens drei Nachbarn in Gk−1 • b) Vk = {z1, ..., zp} C‘k, p ≥ 1, und es existieren Knoten cl, cr, l < r, aus C‘k, so dass cl, z1, ..., zi, u1, ..., uj , zi+1, ..., zp, cr ein Pfad auf der Grenze im Uhrzeigersinn des Faces aus G für 0 ≤ i ≤ p, j ≥ 0. u1, ..., uj sind Knoten aus G \ Gk und

16. Phase 1: Die kanonische Ordnung • G ist u.U. nicht 2-zusammenhängend (für Ordnung erforderlich) Erweiterung auf 2-zusammenhängenden Graphen G‘ = (V, E‘)‏ • Berechnung der Ordnung • Berechnung von left(Vk) und right(Vk)Seien Ck−1 = c1, ..., cq und e1, ..., ea die Kanten in G' miteμ = (vμ, ciμ) und vμ aus Vk, so dass i1 < ... < ia. • a ≤ 2, Vk erfüllt die Definition (3b)left(Vk) := cl und right(Vk) := cr,wobei cl und cr die Knoten sind, die nach (3b) existieren • a ≥ 3 left(Vk) := cl und right(Vk) := cr, mit l und r wie folgt:Sei N = {ciμ|eμ aus E}. • N = {}: l := i1 und r := ia. • N = {ct}: • |N| ≥ 2: l := min{μ | cμ aus N} und r := max{μ | cμ aus N}.

17. Phase 2: Inpoints und Outpoints • In- und Outpoints beschreiben Bounding Box • eingehende Kante: {(v,w) | rank(w) ≤ rank(v)} • ausgehende Kante: {(v,w) | rank(w) > rank(v)} • in(v) = Anzahl der eingehenden Kanten von v,out(v) = Anzahl der ausgehenden Kanten von v • Koordinaten der In- und Outpoints sindrelativ zur Position von v • (v,w) mit rang(v) = rang(w), zwei Inpoints und keinenOutpoint setzen horizontale Kante

18. Phase 2: Outpoints Sei Vk = {z1, ..., zp}, v = zi, z0 := left(Vk) und zp+1 := right(Vk)‏ outl(v), outr(v), δl, δr berechnen sich wie folgt: Wenn out(v) ≥ 1, werden folgende Punkte platziert: • outl(v) Outpoints mit den Koordinaten(− outl(v), δl), ..., (−1, outl(v) + δl − 1) (Geraden mit Steigung 1)‏ • Einen Outpoint auf Punkt (0, max{outl(v) + δl − 1, outr(v) + δr − 1})‏ • outr(v) Outpoints mit den Koordinaten(1, outr(v) + δr − 1), ..., (outr(v), δr), (Geraden mit Steigung -1)‏

19. Phase 2: Inpoints Wenn in(v) ≤ 3,alle Inpoints auf (0,0) setzen Andersfalls, • Einen Inpoint auf Punkt (−inl(v), 0). • inl(v) Inpoints mit den Koordinaten(−inl(v), −1), ..., (−1, −inl(v)),welche auf einer Geraden mit Steigung -1 liegen • Einen Inpoint auf den Punkt (0, −inr(v))‏ • inr(v) Inpoints mit den Koordinaten(1, −inr(v)), ..., (inr(v), −1),welche auf einer Geraden mit der Steigung +1 liegen • Einen Inpoint auf Punkt (inr(v), 0)‏

20. Phase 2: Beispiele

21. Phase 2: Beispiele

22. Phase 3: Platzierung • Verwenden von absoluten y-Koordinaten und relativen x-Koordinaten • Berechnen der x-Koordinaten:Sei C = c1, ..., cq die gegenwärtige Kontur (1)‏

23. Phase 3: Platzierung • Verschieben von Knoten: • ci aus C nach rechts verschieben-> ci,...,cq und einige Knoten die nicht aus C sind • M(ci) die Menge von Knoten die verschoben werden müssen, wenn ci verschoben wird. -> Baum mit Wurzel ci, Knoten sind relativ zur Wurzel • Alle Mengen M(ci) mit 1≤i≤q, sind ein Wald F von allen Knoten, wobei die Wurzeln die Knoten aus C sind. • father(v) ist der Vorgänger von v in F, mit rang(father(v))>rang(v)‏ • Absolute x-Koordinaten mit (1) berechnen, durch: • entlanglaufen der Knoten in C und dann • aller anderen Knoten nach absteigendem Rang

24. Phase 3: Platzierung Algorithmus Mixed-Model-Placement Input:Ein planarer Graph G=(V,E), eine geordnete Partition∏ = V1,...,VN von G (die P1 bis P4 erfüllt) und in- und outpoints. Output:Absolute y- und relative x-Koordinaten gemäß der Gleichung (1) für jeden Knoten in G. Initalisierung:Wir setzen die Menge V1 = {v1,...,vs}. Wir setzen

25. Phase 3: Platzierung • for k:=2 to N do • Sei C=c1,...,cq Vk={z1,...,zp}, cl=left(Vk) und cr=right(Vk). • y-Koordinaten setzen: • vorläufige x-Koordinaten berechnen von cl+1,...,cr relativ zu cl. • if in(z1) ≥ 3 theneinen einzelnen Knoten platzierenelsep≥1 Knoten mit maximal zwei Nachbarn von C platzierenfi • C := c1,...,cl,z1,...,zq,cr,...,cq • od

26. Phase 3: Platzierung if in(z1) ≥ 3 then (einen einzelnen Knoten platzieren )‏ Wir wollen z1 direkt über ut plazierensetzen ut = outpoint(ct,z1) und dxt = ut.dx Überprüfen ob z1 direkt über ut plaziert ist:δ = x(z1) − (x(ct) + dxt).if δ > 0 then z1 liegt rechts von ut -> δ Einheiten nach rechts verschieben. Knoten cl+1,...,cr−1 verschwinden aus C, ihre x-Koordinatenrelativ zu z1 setzen und den Baum F updaten:

27. Phase 3: Platzierung else(p≥1 Knoten mit maximal zwei Nachbarn von C platzieren)‏ Knoten cl+1,...,cr−1 verschwinden aus C, ihre x-Koordinatenrelativ zu z1 setzen und den Baum F updaten:

28. Analyse Soweit uns bekannt erreicht dieser Algorithmus die besten Grenzen für Gittergröße, Winkelauflösung und die Anzahl von Knicken für planare, dichte Graphen. Der Algorithmus zeichnet einen d-planaren Graphen G so in ein Gitter: • dass jede Kante höchstens drei Knicke hat, • dass der minimale Winkel zwischen zwei Kanten mindestens 2/d (Bogenmaß) beträgt, • die Gittergröße (2n-5) x (3/2n-7/2) ist • er höchstens 5n-15 Knicke besitzt • und jede Kante Länge O(n) hat (n = Anzahl Knoten von G)‏ Der Algorithmus benötigt lineare Laufzeit.

29. Kommentar • Graphen sind im Allgemeinen nicht planar! • Graphen in planare Graphen umgewandeln. • Kreuzungen ersetzen. • Mögliche Planarisierungsmethode: • Maximum planare Subgraph Problem lösen und die gelöschten Kanten wieder einzufügen. • Beim Mixed-Model Algorithmus können die Zeichnungen dann seltsam aussehen und es ist schwierig die Kreuzungen zu erkennen.-> Algorithmus modizieren: • Künstlich erzeugten Knoten anders behandeln • Erstrebenswert Mixed-Modell-Zeichnungen bei der Kanten nicht ihre Kreuzungsknoten knicken dürfen.