Automaatjuhtimissüsteemid ISS0021 2- 2 - 0 E 6 EAP Modaaljuhtimine olekuruumis

1. AutomaatjuhtimissüsteemidISS0021 2-2-0E 6 EAPModaaljuhtimine olekuruumis Ennu Rüstern ennu.rustern@ttu.ee, TTÜ U02-316, tel. 6202104 TTÜ automaatikainstituut Automaatjuhtimise ja süsteemianalüüsi õppetool

2. Modaaljuhtimine olekuruumis Teooria (SISO süsteemide näitel): • Olekuregulaatori arvutus (eeldus – juhitav süsteem on täielikult juhitav) • Olekutaastaja arvutus (eeldus – jälgitav süsteem on täielikult jälgitav) • Staatilise vea probleem juhtimissüsteemides (ehk nn integraatorite probleem juhtimissüsteemides)

3. Olekuregulaatori arvutus ● Juhitav süsteem: A – nxn B – nx1 K –1xn u = -Kx ● Olekuregulaator: Tagasisidestatud süsteemi võrrand: Viimase lahend Tagasisidestatud süsteemi (soovitud) omaväärtused Eeldame, et juhitav süsteem on täielikult juhitav s.t. juhitavusmaatriksi astak

4. Defineerime lineaarteisenduse T=QC∙W, kus Maatriksi W elementideks on maatriksi A karaktelistliku polünoomi kordajad Defineerime uue olekuvektori järgmiselt Juhitav süsteem teisendatud olekuruumis , kus

5. nn. olekumudeli juhitav kanooniline kuju! Tagasisidestatud süsteemi etteantud (soovitud) karakteristlik polünoom (*) Olekuregulaator teisendatud olekuruumis ja tagasisidestatud süsteemi võrrand

6. NB! Süsteemi karakteristlik polünoom on invariantne regulaarse lineaarteisenduse suhtes. (**)

7. (*) ≡ (**) st tagasisidemaatriksi K valikuga on tagatav suvaline suletud süsteemi omaväärtuste paigutus (eeldusel, et süsteem on täielikult juhitav!)

8. Olekuregulaatori arvutusskeem Juhitav süsteem: u = -Kx Olekuregulaator: Tagasisidestatud süsteemi omaväärtused: 1.samm - juhitavuse kontroll Kui rank QC= n, siis 2.samm Kui rank QC<n, siis süsteem mittejuhitav 2.samm - leiame maatriksi A karakteristliku polünoomi 3.samm - leiame teisendusmaatriksi T T=QC∙W 4.samm - arvutame tagasisidestatud süsteemi (soovitud) karakteristliku polünoomi

9. 5.samm - leiame regulaatori maatriksi K Kommentaarid: • Arvutusskeem on kasutatav ka diskreetaja juhtimissüsteemide disainil • Madalat järku süsteemide korral (n=2,3) on mugav arvutada tagasisidemaatriksi K maatriksi elemendid otse polünoomvõrrandist ↓

10. Olekutaastaja arvutus ● Jälgitav süsteem: A – nxn B – nx1 K –1xn ● Olekutaastaja: on oleku x hinnang! → veavõrrand

11. Süsteemi jälgitavusmaatriks rank Q0=n. Süsteem on täielikult jälgitav, kui Q0 astak Jälgitava süsteemi karakteristlik polünoom: Defineerime lineaarteisenduse T kujul elemendid on jälgitava süsteemi karakteristliku polünoomi kordajad! kus

12. Defineerime uue olekuvektori kujul Jälgitav süsteem teisendatud olekuruumis kus nn. jälgitav kanooniline kuju

13. Veavõrrand uues olekuruumis: NB! A-LC karakteristlik polünoom on invariantne teisenduse T suhtes. Tähistame

14. Kuna siis ja

15. Karakteristlik polünoom

16. Etteantud karakteristlik polünoom

17. Olekutaastaja arvutusskeem Jälgitav süsteem: Olekutaastaja: Suletud süsteemi omaväärtused: 1. samm – jälgitavuse kontroll Kui rank Q0= n, siis 2.samm Kui rank Q0<n, siis süsteem mittejälgitav 2. samm – leiame maatriksi A karakteristliku polünoomi 3. samm – leiame teisendusmaatriksi T

18. 4. samm – arvutame suletud süsteemi (soovitud) karakteristliku polünoomi 5. samm – leiame olekutaastaja tagasiside maatriksi L Kommentaarid: • Arvutusskeem on kasutatav ka diskreetaja olekutaastajate disainil. • Madalat järku süsteemide korral (n=2,3) on mugav arvutada tagasiside maatriksi L elemendid otse polünoomvõrrandist

19. Olekutaastaja mõju tagasisidestud süsteemis Juhitav süsteem: Olekuregulaator: olekutaastaja veavõrrand Karakteristlik võrrand

20. Järeldus: Olekuregulaatori ja olekutaastaja arvutused on sõltumatud. Saadav juhtimissüsteem on järku 2n. Järgnevalt leiame regulaator-olekutaastaja ülekandefunktsiooni. ● Juhitav ja jälgitav süsteem: ● Regulaator: ● Olekutaastaja: L:

21. Integraatorite probleem tagasisidestatud süsteemides n(t) y(t) w(t) e(t) WR(s) W0(s) - Eeldame, et n(t)=0.

22. Järgnevalt analüüsime vea e(t) käitumist erinevate seadesuuruste korral. 1) N = 0 N ≥ 1 ∥ 0

23. 2) N = 0 N = 1 N ≥ 2

24. 3) Kokkuvõte: Süsteemi tüüp N Seadesuurus w(t) A∙1(t) A∙t2/2 A∙t N – integraatorite arv (ehk nulliste pooluste/oma-väärtuste arv ) süsteemis ∞ ∞ 0 1 ∞ 0 2 3 0 0

25. Järeldused staatilise vea probleemist juhtimissüsteemides (1) • Vead juhtimissüsteemis (sh staatiline viga) sõltuvad seadesuuruse iseloomust (ühikhüpe, lineaarselt kasvav funktsioon jne), regulaatori tüübist ja juhitavast süsteemist. • Pidevaja juhtimissüsteemides räägitakse nn integraatorite probleemist (teatavas mõttes on see släng). • Selgituseks: integraator on süsteem, millel on üks nulline poolus või omaväärtus; kahekordne integraator on süsteem, millel on 2 nullist poolust või omaväärtust jne.

26. Järeldused staatilise vea probleemist juhtimissüsteemides (2) • Juhtimissüsteemis staatiline viga on null, kui: • Seadesuurus on ühikhüpe ja juhtimissüsteemis (regulaator + juhitav süsteem) on vähemalt üks nulline omaväärtus (või poolus); • Seadesuurus on lineaarselt kasvav funktsioon ja juhtimissüsteemis (regulaator + juhitav süsteem) on vähemalt kaks nullist omaväärtust (või poolust).

27. Järgivsüsteemi arvutus 1) Integraatoriga juhitav süsteem ● Juhitav süsteem: A – nxn B – nx1 K –1xn ● Järgivsüsteemi struktuurskeem x1 y=x1 w(t) x2 k1 y=Cx -  - - xn k2  kn Eeldame, et y=x1.

28. Süsteemil on tagasiside oleku järgi Eeldame, et seadesuurus rakendub süsteemile ajahetkel t=0 Olgu w hüppefunktsioon, siis järgivsüsteem peab tagama järgmist:

29. Väljakujunenud režiimis t=∞ Defineerime järgivsüsteemi vea järgmiselt saame veavõrrandi kujul Eeldame, et juhitav süsteem on täielikult juhitav. Arvutame olekuregulaatori, mis muudab e(t)→0 suvalise algväärtuse e(0) korral, kasutades eelpool esitatud olekuregulaatori arvutusskeemi. Järgivsüsteemi dünaamilised omadused anname ette suletud süsteemi omaväärtuste kujul (λ1,λ2,…,λn). Oleku väärtus t=∞ ja juhttoime väärtus u(∞)

30. 2) Integraatorita juhitav süsteem ● Juhitav süsteem: A – nxn B – nx1 K –1xn ● Regulaator: y x w ∫ ∫ kI B C - - A K

31. w(t) – hüppefunktsioon! Defineerime: Saame: kus

32. Defineerime (n+1) mõõtmelise veavektori saame kus ja kus Arvutada tuleb (n+1) järku regulaator, mis muudab veavektori e(t) koordinaadid nulliks suvalise e(0) puhul vt. olekuregulaatori arvutus!

33. Modaaljuhtimine olekuruumis: rakendusskeemid + näited ▪ AJS kvaliteedinäitajad (reguleerimisaeg/siirdeaeg, ülereguleerimine, staatiline viga) ▪ 2.järku prototüüpülekandefunktsioon ▪ Olekuregulaator (seadesuurus Xs ) ▪ Tagasiside väljundi järgi – väljundregulaator (seade-suurus Ys) ▪ Tagasiside väljundi järgi – PI regulaator ▪ Olekutaastaja, vähendatud järguga olekutaastaja ▪ Olekutaastaja ja olekuregulaator juhtimissüsteemis ▪ Järgivsüsteemi (aeg – pidev, diskreetne) ▪ Mõned MATLAB/SIMULINK skeemid

34. AJS kvaliteedinäitajad - nõuded siirdeprotsessile X(t) Ülereguleerimine δ 1+ 1 1- est 0.90 = 5% seadesuurusest Seade-suurus Staatiline viga Reguleerimise aeg t t 0.1 0 trise ts AJS siirdekarakteristik – reaktsioon ühikhüppelisele seadesuurusele

35. 2. järku prototüüpülekandefunktsioon staatiline ülekandetegur K = 1 sumbuvus  omavõnke(resonants-)sagedus n ligikaudne reg.aeg

36. Regulaator Xs U X Y K B s-1 C + - + + A Juhitav süsteem Tagasiside oleku järgi Olekuregulaator (1) Juhitav süsteem: Olekuregulaator (tagasiside): U = K ( Xs - X ) Krn Antud tagasisidestatud süsteemi (nõutavad) omaväärtused: 1, 2, …, n

37. Olekuregulaator (2) tagasisidestatud süsteemi vabaliikumise võrrand Vastav karakteristlik polünoom: det (sI - A + BK) AJS soovitud omadusi tagav karakteristlik polünoom : (s) =sn + a1sn-1 + … + an = (s - 1)(s - 2) … (s - n)  n - võrrandit, r n – tundmatut, probleem ! det (sI - A + BK) = (s) ?

38. Olekuregulaator (3) Tagasisidemaatriksi K arvutatakse polünoomvõrrandist det (sI - A + BK) = (s), kusKon r x nmaatriks ja polünoomvõrrand on n järku st ainult n võrrandit r x n tundmatu leidmiseks. Probleemi lahendamiseks esitame maatriksi K kahe maatriksi p ja q korrutisena, kus p on r-elemendiline veeruvektor ja p on n-elemendiline reavektor. Valides vektori p elemendid vabalt on polünoomvõrrand lahendatav st n võrrandit ja n tundmatut. NB! Vektori p elemendid on tõlgendatavad juhitava süsteemi sisendite kaaludena, soovitav vahemik [ 0,1]. Näiteks, väärtus 1 tähendab, et selle sisendi kaudu soovime süsteemi juhtida, väärtus 0 tähendab, et antud sisendit ei ole otstarbekas või vajalik juhtimisel kasutada.  n - võrrandit, r n – tundmatut, probleem !

39. Olekuregulaator – näide (1) Juhitav süsteem: Kontrollime juhitavust: Z0 = - 3 ; - 4  mittejuhitav Valime Z0 = 0 Olekuregulaatori süntees:

40. Olekuregulaator - näide(2) Arvestades nõudeid ts 10 s;   10% valime prototüüpülekandefunktsiooni järgi   0.6; n  1 Tagasisidestatud süsteemi analüüs:

41. Olekuregulaator - näide(3) Tagasisidestatud süsteemi ülekandemaatriks XS=1/s  olekusiirded:

42. Juhitav ja jälgitav süsteem Regulaator Ys U X Y K B s-1 C + - + + A Tagasiside väljundi järgi Tagasiside väljundi järgi - väljundregulaator U = K ( Ys - Y ) Krm n - võrrandit, r m - tundmatut det (sI - A + BKC) = (s)

43. Diskreetaja juhtimissüsteemid Juhitav süsteem: TAGASISIDE OLEKU JÄRGIU(k) = K(XS(k) - X(k)) TAGASISIDE VÄLJUNDI JÄRGIU(k) = K(YS(k) - Y(k)) det (zI - Ad + BdK) = (z) det (zI - Ad + BdKC) = (z)

44. Juhitav ja jälgitav süsteem Regulaator U X Y -K1 B s-1 C + - + + s-1 -K2 A Tagasiside väljundi järgi Tagasiside väljundi järgi – PI regulaator (1) Eeldame, et süsteem on täielikult juhitav ja jälgitav PI - regulaator:

45. Tagasiside väljundi järgi – PI regulaator (2) Moodustame üldistatud süsteemi tagasisidestatud süsteemi vabaliikumise võrrand ? antud

46. PI - regulaatori näide (1) Antud: (s) = (s + 4)(s + 5)(s + 6) = s3 +15s2 + 74s + 120 Lahendus: 1. Juhitavuse ja jälgitavuse kontroll 2. PI - regulaatori arvutus

47. PI - regulaatori näide (2)

48. PI-regulaatori näide (3) 3. Tagasidestatud süsteemi analüüs X(0) = 0 U(s) = K1[YS(s)-Y(s)] - s-1K2 [YS(s)-Y(s)] = [K1 - s-1K2][YS(s)-Y(s)] Y(s) = C(sI - A)-1BU(s) Y(s) = C[sI-A]-1B[K1 - s-1K2][YS(s)-Y(s)] = WUY(s)WPI(s)[YS(s)-Y(s)] WUY(s) WPI(s) [I+ WUY(s)WPI(s)]Y(s) = WUY(s)WPI(s) YS(s) Y(s) = [I+ WUY(s)WPI(s)]-1 WUY(s)WPI(s) YS(s) WYsY(s)

49. Olekutaastamine Olekuvektori hinnang asümptootiline: Jälgitav süsteem: lineaarne, statsionaarne

50. Olekutaastaja (1) - algoleku hinnang X(0) U X(t) Y B s-1 C + + A Jälgitav süsteem eY L - U B s-1 C + + A Olekutaastaja