IAR134 Procesamiento de Señales

1. IAR134Procesamiento de Señales UNIDAD 02: RESPUESTAS DE CIRCUITOS

2. Contenidos • Repaso de análisis de respuestas de circuitos R-L, R-C y R-L-C. • Respuesta en el tiempo y en frecuencia a un estímulo y su relación. • Filtros pasa bajo, pasa alto y pasabanda. Dr. Juan José Aranda Aboy

3. Objetivos • Conocer y emplear apropiadamente los circuitos R-L, R-C y R-L-C, sus propiedades fundamentales. • Utilizar estos circuitos en el filtrado de señales. Dr. Juan José Aranda Aboy

4. Señales y sistemas • Sabemos que una señal es una función que representa la variación en el tiempo de una variable física. • Para una señal de entrada dada, un sistema genera una respuesta ó señal de salida. • En consecuencia, un sistema es una relación entre señales. Dr. Juan José Aranda Aboy

5. SISO y MIMO • Un sistema que tiene solamente una señal de entrada y una señal de salida se llama un sistema SISO: single-input and single output. • Si el sistema tiene mas de una señal de entrada y o de salida, se denomina sistema MIMO: multiple input and / or multiple output. Dr. Juan José Aranda Aboy

6. Representaciones de sistemas • Una expresión matemática explícita para un sistema se llama representación del sistema. • La representación también se llama modelo del sistema. • El proceso de obtener la representación de un sistema se llama modelado. • El desarrollo de un modelo de sistema a partir de la medición de las señales de entrada y de salida se denomina identificación del sistema. Dr. Juan José Aranda Aboy

7. Tipos de representaciones • Existen muchas representaciones, pero comúnmente se utilizan las cuatro siguientes: • Ecuaciones diferenciales • Funciones de transferencia de Laplace • Integral de convolución • Función de transferencia de Fourier Dr. Juan José Aranda Aboy

8. Relaciones entre representaciones de sistemas Dr. Juan José Aranda Aboy

9. Ecuaciones diferenciales • La entrada a un sistema es una señal x(t) y su salida es y(t) • El sistema es la relación entre x(t) y y(t) que está implícita en la ecuación diferencial. • La alternativa es utilizar ecuaciones de espacio de estado. • Las ecuaciones diferenciales se utilizan ampliamente para modelar diferentes procesos físicos. Dr. Juan José Aranda Aboy

10. Representación mediante ecuaciones diferenciales Dr. Juan José Aranda Aboy

11. Funciones de transferencia de Laplace • Si todas las condiciones iniciales valen cero, y se toma la transformada de Laplace para la ecuación diferencial anterior, resolviendo para la relación entre la señal de entrada y la de salida se obtiene una representación H(s) basada en las transformadas de Laplace X(s) de x(t) y Y(s) de y(t). • H(s) se conoce como la función de transferencia. Dr. Juan José Aranda Aboy

12. Laplace (2) • El sistema incluye las señales de entrada X(s) y de salida Y(s), así como la función de transferencia H(s), que se define como la relación entre la transformada de la señal de salida a la señal de entrada. • La transformada de Laplace se utiliza como herramienta apropiada para resolver ecuaciones diferenciales. Dr. Juan José Aranda Aboy

13. Laplace (3) Dr. Juan José Aranda Aboy

14. Integral de convolución • Sea Y(s)=H(s)X(s) • Si se toma la transformada de Laplace inversa se obtiene: donde h(t)= L-1{H(s)} Dr. Juan José Aranda Aboy

15. Representación de convolución • La integral de convolución es la representación utilizada de manera mas general: representación de convolución. Generalizando Dr. Juan José Aranda Aboy

16. Diferencia conceptual • Esta representación depende de dos funciones: la señal de entrada x(t) y la función h(t). • Estas funciones tienen una gran diferencia conceptual: • x(t) es una señal, mientras que • h(t) se asocia a un proceso físico que genera una señal de salida y(t). • Conceptualmente, esta representación es mas simple de utilizar. Dr. Juan José Aranda Aboy

17. Función de transferencia de Fourier • Deriva de la integral de convolución, aplicando la propiedad de convolución de la transformada de Fourier: Y(ω)=H(ω )X(ω) donde H(ω)= F{h(t)} siendo h(t) obtenida en la integral de convolución anterior. Dr. Juan José Aranda Aboy

18. Fourier (2) • La función de transferencia de Fourier viene dada por la relación: Y(ω)/X(ω) = H(ω) • Aunque la función de transferencia de Fourier es conceptualmente idéntica a la función de transferencia de Laplace, existen situaciones físicas en las que es mas apropiado utilizar la transformada de Fourier que la de Laplace y viceversa. Ambas son muy útiles. Dr. Juan José Aranda Aboy

19. Respuesta a entradas estándar • Estudiemos como se pudiera caracterizar un sistema cuando se utiliza como prueba una señal de entrada específica. • La respuesta al impulso de un sistema es la señal de salida del mismo cuando la señal de entrada aplicada es una función de impulso aplicada en t=0. Dr. Juan José Aranda Aboy

20. Respuesta a entradas estándar (2) • La respuesta al paso de un sistema es la señal de salida de dicho sistema cuando la señal de entrada es la función de paso unitario. la señal de salida del sistema en tiempo t a una señal de entrada impulso unitario en el instante t0 Dr. Juan José Aranda Aboy

21. Transformada de Laplace del paso unitario • La respuesta al paso se calcula usando la transformada de Laplace del paso unitario: • La señal de salida puede obtenerse aplicando Transformada de Laplace inversa: Dr. Juan José Aranda Aboy

22. Respuesta al paso unitario y al impulso • La respuesta al paso unitario de un sistema se halla multiplicando su función de transferencia por 1/s y tomando transformada de Laplace inversa para obtener ys(t). • La derivada de una función respuesta al paso es una función respuesta al impulso: • Tomando transformada de Laplace inversa: Dr. Juan José Aranda Aboy

23. Ejemplos • A continuación estudiaremos las cuatro representaciones para tres casos típicos: • Redes eléctricas • Sistemas Masa – Resorte – Amortiguador • Sistemas Masa - Carga Dr. Juan José Aranda Aboy

24. Red RC • La corriente que pasa a través del capacitor C está dada por: y es igual a la que atraviesa a la resistencia R: Dr. Juan José Aranda Aboy

25. Red RC (2) • La ecuación diferencial correspondiente es: • La condición inicial es el voltaje sobre el capacitor en t=0. Dr. Juan José Aranda Aboy

26. Red RC en términos de impedancias complejas Despejando La función de transferencia se escribe de manera que el primer coeficiente del denominador sea 1. Dr. Juan José Aranda Aboy

27. Obtención de integral de convolución • Para obtener la representación mediante integral de convolución se toma la transformada inversa de Laplace de esta función de transferencia: por lo que la representación de convolución es: Dr. Juan José Aranda Aboy

28. Red RC con impedancias complejas Despejando Dr. Juan José Aranda Aboy

29. Respuestas al paso y al impulso • La respuesta al paso de esta red se calcula usando la función de transferencia de Laplace: • Tomando transformada inversa de Laplace: Dr. Juan José Aranda Aboy

30. Gráficas de las respuestas al impulso y al paso NOTA: Se asume RC=1 Dr. Juan José Aranda Aboy

31. Sistema Masa - Resorte - Amortiguador • En este tipo de sistemas se presenta una masa atada a un soporte fijo por medio de un resorte y un amortiguador: Dr. Juan José Aranda Aboy

32. Configuración Masa – Resorte - Amortiguador • Masa: mst • Constante del resorte: kst • Coeficiente de amortiguamiento: cst • Fuerza aplicada a la masa: fst • Desplazamiento de la masa: yst • Se asume que la masa se mueve sobre una superficie sin fricción. • La señal de entrada al sistema es la fuerza aplicada a la masa, mientras que su desplazamiento es la señal de salida. Dr. Juan José Aranda Aboy

33. Diagrama de cuerpo libre Dr. Juan José Aranda Aboy

34. Ecuación diferencial • De acuerdo con la segunda Ley de Newton: • Reformulamos la ecuación para hacer que el primer coeficiente sea 1, y las señales de entrada y sus derivadas se reúnen a cada lado del signo: Dr. Juan José Aranda Aboy

35. Función de transferencia de Laplace • La función de transferencia de Laplace se obtiene haciendo que las condiciones iniciales de la ecuación diferencial sean cero para tomar la transformada de Laplace y resolviendo la relación de la señal de salida sobre la señal de entrada: Dr. Juan José Aranda Aboy

36. Integral de convolución • Se requiere la respuesta a impulso del sistema, que se obtiene tomando la transformada inversa de Laplace de la función de transferencia del sistema, para lo que se utiliza la tabla de pares de transformada de Laplace, quedando: donde Dr. Juan José Aranda Aboy

37. Convolución (2) • Entonces, la representación de convolución queda: Dr. Juan José Aranda Aboy

38. Función de transferencia de Fourier • Se obtiene de la función de transferencia de Laplace usando la fórmula: de donde se obtiene: Dr. Juan José Aranda Aboy

39. Respuesta del sistema al paso unitario • Es interesante observar la respuesta al paso y al impulso de este sistema. • La respuesta del sistema al paso unitario se encuentra multiplicando la función de transferencia por 1/s y calculando la transformada inversa de Laplace (con tabla): Dr. Juan José Aranda Aboy

40. Respuesta al impulso • La respuesta al impulso se escribe como: donde α=ζωn y ωc = ωn √(1-ζ2) es la frecuencia crítica. • El parámetro ζ recibe el nombre de relación ó factor de amortiguamiento. Dr. Juan José Aranda Aboy

41. Respuestas al impulso y al paso unitario Calculadas con ζ=0.3 y ωn = 8.165 Notar que estas señales muestran una oscilación amortiguada. Dr. Juan José Aranda Aboy

42. Respuesta a impulso para dos relaciones de amortiguamiento diferentes • Se muestran dos valores diferentes de ζ, relacionado directamente con el coeficiente de amortiguamiento cst. Dr. Juan José Aranda Aboy

43. Frecuencia natural • Asumiendo ζ=0, la frecuencia de oscilación es: • El sistema oscilará a esta frecuencia si se aplica una fuerza impulsiva. • Si ζ no es aproximadamente cero, la frecuencia de oscilación está dada por ωc. Dr. Juan José Aranda Aboy

44. Actuadores Masa - Carga • Un motor lineal DC está compuesto por: • Base motor: Contiene las bobinas del motor y la electrónica de potencia. • Masa – carga: Barra que contiene imanes y que es libre de moverse en una dirección lineal. • Cuando se emplea para suprimir vibraciones recibe el nombre de actuador masa – carga. Dr. Juan José Aranda Aboy

45. Actuador Masa - Carga • El propósito del motor lineal es impartir una fuerza proporcional a una señal de entrada comandada, o sea, que puede generarse libremente. • Este dispositivo recibe el nombre de actuador. • Para este sistema, la señal de entrada es el voltaje aplicado al motor, vpm(t), mientras que la señal de salida es la posición de la masa carga, ypm(t). Dr. Juan José Aranda Aboy

46. Motor lineal sobre un sistema masa – resorte - amortiguador Dr. Juan José Aranda Aboy

47. Diagrama de cuerpo libre del actuador masa - carga Modelo del movimiento: Se desprecia la fricción entre la base del motor y la masa – carga. El actuador tiene un recorrido ó stroke. Dr. Juan José Aranda Aboy

48. Respuestas al impulso y al paso de un actuador masa - carga Respuesta al impulso Respuesta al paso Dr. Juan José Aranda Aboy

49. Respuesta en el tiempo y en frecuencia a un estímulo y su relación • Consideremos nuevamente la red RC: • La señal que representa el voltaje a través del capacitor, y(t), está dada por: • Si R=1kΩ y C=1μF, entonces la constante de tiempo es RC=10-3. Dr. Juan José Aranda Aboy

50. Filtros • Entre las características que determinan a una señal eléctrica se encuentra la frecuencia. • En la práctica, a través de un circuito puede pasar más de una señal eléctrica, es decir, pueden pasar señales eléctricas con distinta frecuencia. • Sin embargo, se puede dar el caso de que en determinadas circunstancias solo interesa única y exclusivamente una de las señales que pueden circular por el circuito. • Esta es la acción de los filtros: "selección" de una señal eléctrica según su frecuencia. Dr. Juan José Aranda Aboy