Shperical Harmonics Lighting

1. Shperical Harmonics Lighting 계명대학교 이주영

2. 목 차 1. Global Illumination 2. 몬테카를로 적분법 (Monte Carlo Integration) 3. 구 샘플링 4. Orthogonal Basis Functions 5. Spherical Harmonics 6. Spherical Harmonics Projection 7. Spherical Harmonics Lighting Example

3. Global Illumination • Local Illumination – 물체 표면과 광원의 관계를 이용하여 계산하는 방법 • Global Illumination – 조명이 주변환경에 의해 반사되는 모든 빛을 계산하는 방법

4. Global Illumination • Diffuse Surface Reflection • Rendering Equation : 점 x에서 방향으로 전달되는 빛의 총 세기 : 점 x에서 방향으로 스스로 내뿜는 빛의 세기 : 점 x에서 빛의 입,반사 방향에 대한 BRDF(반사율함수) : 다른 점 x’에서 방향으로 점 x에 입사하는 빛의 세기 : 점 x와 x’ 간의 기하학적 관계 : 서로가 서로에게 보이는지 유무, 0 또는 1

5. Global Illumination • 한 정점에서의 빛의 입사 및 반사

6. Monte Carlo Integration • 들어오는 광원을 표현하기 위한 함수를 근사치로 적분하기 위한 방법 • 수치계산으로 풀지 않고 확률 이용 - 대상 함수를 샘플링하고 평균을 내서 근사치의 적분값을 구하는 방법 • 대상 함수의 근사치를 구하는 식 • 샘플링을 많이 할수록 대상 함수에 더 가까워진다.

7. 구 샘플링 • 구를 단위 영역으로 나누는 것 • 10,000개의 불규칙한 구 상의 샘플 -> (θ,φ)를 사용하는 구 좌표계로 Projection • x,y는 [0…1. 0…1] 범위 내에서 샘플링

8. Orthogonal Basis Functions • Basis Functions은 어떤 함수를 나타낼 수 있는 작은 조각 • 크기를 적절하게 조정하고 결합하여 원래 함수의 근사치 계산 • Projection(내적) : 적절한 크기를 조절하기 위해서 원래 함수와 basis functions의 내적값을 구하는 것

9. Orthogonal Basis Functions • 크기 조절을 마친 신호들을 결합하면 원래 함수와 비슷한 모양을 만들 수 있다.

10. Orthogonal Basis Functions • Orthogonal Basis Function - 두 함수가 직각을 의미하고 두 함수는 서로 관련이 없다. - 두 함수를 더해도 원래의 두 함수로 분해할 수 있다.

11. Orthogonal Basis Functions • basis functions을 구하기 위한 직교다항식 중에서 SHF에서는 Associated legendre polynomials를 사용 • Associated legendre polynomials

12. Orthogonal Basis Functions • 4개 주파수에서의 associated Legendre polynomials

13. Spherical Harmonics • 구를 생성하는 orthogonal basis를 형성 • 구 좌표계 상의 임의의 함수를 원하는 개수의 주파수 영역들로 분해하고, 복원할 수 있다. • SH function은 y로 표기 • P는 Associated legendre polynomials • K는 함수를 표준화하기 위한 크기 조절 요소

14. Spherical Harmonics Thisdirection Thisdirection + + – – Not thisdirection Not thisdirection

15. Spherical Harmonics • m = 2, l = 4

16. Spherical Harmonics

17. Spherical Harmonics • 데카르트 좌표계를 SH 입력값으로하여 다항식으로 나타낼 수 있다.

18. Spherical Harmonics Projection • 구 좌표계 상의 함수 f(s)는 주어진 주파수 l,m에 대해서 상수 clm로 분해 • 특별한 주파수를 위한 하나의 계수를 계산하기 위해서는 원 함수 f(s)와 SH 함수의 곱들을 더하기만 하면 된다. • 함수 f(s)의 s는 구 샘플(θ,φ) • 각 샘플에 대해서 ylm을 한번만 구하고 여기에 대상 함수값을 곱하면 SH 계수 구할 수 있다.

19. Spherical Harmonics Projection • 몬테카를로 적분법의 식 • xi는 샘플의 배열이고, 함수 f는 f(xi) = light(xi)yi(xi)이다. • 각샘플마다 가중치 같도록 하면, 하나의 샘플이 구 표면에서 나올 확률 p(xi) = 1/4π, 가중치 w(xi) = 4π • 각 샘플마다 가중치가 같으므로 상수가 된다.

20. Spherical Harmonics Projection • 원 함수의 근사값을 구할 수 있다. • 주파수 수를 늘여 SH function의 개수가 많을수록 원 함수에 더 근접한 함수를 얻을 수 있다.

21. Spherical Harmonics Projection Order 0 1 term Exact image 0 RMS error = 25 % 1 2 2 -2 -1 0 1

22. Spherical Harmonics Projection Order 1 4 terms Exact image 0 RMS Error = 8% 1 2 2 -2 -1 0 1

23. Spherical Harmonics Projection Order 2 9 terms Exact image 0 RMS Error = 1% 1 For any illumination, average error < 3% [Basri Jacobs 01] 2 2 -2 -1 0 1

24. Spherical Harmonics Lighting 정리 입력값(θ,φ) 생성 구 샘플링( 몬테카를로 적분법 이용) Basis Function으로 Associated Legendre Polynomials를 이용한 Spherical Harmonics사용 (두 각으로 표현되는 구 좌표계 상의 임의의 함수를 원하는 개수의 주파수 영역들로 분해) 입력입사광에 대해 프로젝션한 벡터 생성 입사광에 대한 벡터 저장 미리 계산하여 저장하므로 렌더링시 연산량 줄여줌. 렌더링시 한 점에서 재질의 색상과 저장된 벡터의 내적으로 해당 점의 밝기 계산

25. SHL Example • Sample : 2,500 • band: 4 • Basis Functions: 16개 • Rotation : θ(43.3),φ(225.0)

26. SHL Example • GL Lighting

27. SHL Example • SH Lighting - Unshadowed

28. SHL Example • SH Lighting - Shadowed

29. 감사합니다.