Szabályozási Rendszerek 2014/2015, őszi szemeszter Előadás

1. Automatizálási tanszék Szabályozási Rendszerek 2014/2015, őszi szemeszter Előadás

2. Lineáris rendszerek a frekvenciatartományban Lineáris rendszer válasza szinuszos bemenőjelre W(s) Frekvenciafüggvény Amplitúdó arány: Fáziskülönbség: Amplitúdófüggvény Fázisfüggvény

3. Frekvenciafüggvény grafikus ábrázolása NYQUIST diagram Frekvenciafüggvény a komplex számsíkon. A kiválasztott frekvenciatartomány minden egyes értékére a komplex számsíkban az és értékpárnak megfelelő pont. Jellemzi a rendszert (pl. stabilitás).

4. Frekvenciafüggvény grafikus ábrázolása BODE diagram A frekvenciafüggvény abszolút értékét és fázisszögét külön-külön ábrázolja egy kijelölt frekvenciatartományban

5. Frekvenciafüggvény grafikus ábrázolása BODE diagram Léptéke logaritmikus, ezáltal nagy frekvenciatartomány ábrázolható. A frekvenciafüggvény tényezőinek összeszorzásakor az egyes tényezők BODE diagramjai összeadódnak a logaritmikus lépték miatt. Jellegéből és töréspontjaiból a rendszer tulajdonságaira vonatkozólag kaphatunk információt.

6. Ideális alaptagok Arányos (Proporcionális (P)) tag Differenciálegyenlete: Átviteli függvénye: Súlyfüggvénye: Átmeneti függvénye:

7. Ideális alaptagok Arányos (Proporcionális (P)) tag Nyquist: Amplitúdó-diagram: Frekvencia-diagram: Fázisszöge: minden frekvencián zérus Pl.: - elektronikus erősítő a lineáris tartományban

8. Ideális alaptagok Integráló (I) tag Differenciálegyenlete: Időállandós alakban: A differenciálegyenlet megoldása: Átviteli függvénye: Súlyfüggvénye: Átmeneti függvénye:

9. Ideális alaptagok Integráló (I) tag Nyquist: -ra a negatív Im tengelyre eső egyenes, Amplitúdó-diagram: Meredeksége: , metszéspont: -nél, Frekvencia-diagram: Fázisszöge: minden frekvencián -90. • Pl.: • folyadéktartály beáramló folyadék és a szintmagasság közti összefüggés, vagy • egy kondenzátor kapocsfeszültsége és a töltőárama közti összefüggés, vagy • motor szögelfordulás-változása a fordulatszám függvényében

10. Ideális alaptagok Differenciáló (D) tag Differenciálegyenlete: , Átviteli függvénye: , Súlyfüggvénye: Átmeneti függvénye:

11. Ideális alaptagok Differenciáló (D) tag Nyquist: -ra a pozitív Im tengelyre eső egyenes, Amplitúdó-diagram: , metszéspont: -nél, Frekvencia-diagram: Fázisszöge: minden frekvencián +90 A valóságban NEM realizálható!!! Pl.: - nyitott szekunderkörű transzformátor primer áramának és szekunder oldali indukált feszültségének kapcsolata, ha a primer körben a primer áram nem változik ugrásszerűen

12. Ideális alaptagok Holtidős tag Differenciálegyenlete: Átviteli függvénye: , Súlyfüggvénye: Átmeneti függvénye:

13. Ideális alaptagok Holtidős tag Nyquist: Egymást fedő körök, végpontja növelésével - szöggel fordul el, Amplitúdó-diagram: , Frekvencia-diagram: Fázisszöge: lineárisan változik a frekvenciával. Pl.: - minden reális rendszerben jelen van. Energiaáramlási jelenségeknél (pl. szállítószalagon, vagy csővezetéken történő anyagtovábbítás, hőáramlás) nemhanyagolható el

14. Tárolós tagok Egytárolós (arányos) tag Differenciálegyenlete: A kimenőjel differenciálhányadosa: Átviteli függvénye: , Súlyfüggvénye: , Átmeneti függvénye: ),

15. Tárolós tagok Egytárolós (arányos) tag Nyquist: -raegy félkör, = 0-tól, -ig,

16. Tárolós tagok Egytárolós (arányos) tag • A frekvenciafüggvény abszolút értéke: • Ha A = 1, és • Amplitúdó-diagram: 0dB 1/T-ig, utána -20dB/dekád, • Frekvencia-diagram: Pl.: - soros RL kör

17. Tárolós tagok Kéttárolós (arányos) tag (ξ) Kirchhoff-egyenletből a differenciálegyenlet: Időállandós alak:

18. Tárolós tagok Kéttárolós (arányos) tag (ξ) Átviteli tényező: Időállandó: Csillapítási tényező: Átviteli függvénye: A szakasz pólusai (a nevező gyökei): Három eset: - Aperiodikus eset, (a pólusok negatív valós értékek) - Aperiodikus határeset, (a pólusok egybeeső negatív valós értékek) - Lengő eset, (a pólusok konjugált komplex értékek)

19. Tárolós tagok Kéttárolós (arányos) tag (ξ) Aperiodikus eset, Átviteli függvénye: Átmeneti függvénye: Súlyfüggvénye:

20. Tárolós tagok Kéttárolós (arányos) tag (ξ) Aperiodikus határeset, Átviteli függvénye: Átmeneti függvénye: Súlyfüggvénye:

21. Tárolós tagok Kéttárolós (arányos) tag (ξ) Lengő eset, Átviteli függvénye: , ahol és Sajátfrekvencia, és lengési körfrekvencia

22. Tárolós tagok Kéttárolós (arányos) tag (ξ) Lengő eset, Súlyfüggvénye: v Átmeneti függvénye:

23. Tárolós tagok Kéttárolós (arányos) tag (ξ) Túllendülése, ha Első maximum helye: Beállási idő: Frekvenciafüggvénye: Fázisszöge:

24. Tárolós tagok Kéttárolós (arányos) tag (ξ) • A frekvenciafüggvény abszolút értéke: • Ha A = 1, és • Sajátfrekvencián: • A frekvenciafüggvény abszolút értéke: • Fázisgörbe meredeksége: /dekád • Fázisszöge:

25. Összetett tagok

26. A stabilitás A stabilitás fogalma • Stabilitás: a rendszernek az a tulajdonsága, hogy egyensúlyi állapotból kimozdítva újra egyensúlyba képes kerülni. • Nemlineáris rendszer: • a stabilitás függ a bemenőjeltől és a munkaponttól is • a stabilitás a rendszer egy állapotának jellemzője • Lineáris rendszer: • a stabilitás függ a rendszer struktúrájától és a paramétereitől • független a bemenőjeltől • a stabilitás a rendszer jellemzője. • A stabilitás meghatározásai: • a magára hagyott rendszer stabilitása • Aszimptotikus stabilitás • a gerjesztett rendszer stabilitása • belső stabilitás

27. A stabilitás A stabilitás fogalma • A stabilitás meghatározásai: • A magára hagyott rendszer stabilitása: nyugalmi állapotából kimozdítva, majd magára hagyva azt, visszatér eredeti állapotába. Ha eltér -> labilis, ha határeset -> nem tér vissza, viszont nem is távolodik el. • Nemlineáris esetben: akkor is labilis, ha kimozdítás után egy tetszőlegesen előírt környezetbe tér vissza. • Aszimptotikus stabilitás: kimozdulás után visszatér eredeti kiindulási helyzetébe. • A gerjesztett rendszer stabilitása: korlátos bemenőjelre korlátos kimenőjellel válaszol, bármilyen kezdeti feltétel mellett. Ha egy lineáris, magára hagyott rendszer labilis, akkor a gerjesztett rendszer is labilis. • Belső stabilitás: bármilyen külső gerjesztő jelre, mind a kimenőjel, és mindegyik belső jel stabilisan válaszol

28. Stabilitásvizsgálat Aszimptotikus stabilitás feltétele: a zárt rendszer pólusai negatív valós részűek legyenek, vagyis valamennyi pólusa a komplex számsík bal oldalára esik Ha van pólus a - a komplex számsík jobb oldalán: - a rendszer labilis - képzetes tengelyen, az origóban: - integráló hatás - nem cseng le a tranziens - képzetes tengelyen, egyszeres konjugált komplex pólus: - csillapítatlan lengések a tranziensben - többszörös konjugált komplex pólus: - növekvő amplitúdójú lengések Stabilitás eldöntése analitikus stabilitási kritériumok alapján: - Routh séma - Hurwitz determináns - gyökhelygörbe-módszer Labilis folyamat esetén: - Nyquist-féle stabilitási kritérium - Bode-féle stabilitási kritérium

29. Stabilitásvizsgálat Routh séma A rendszer stabilis: - a karakterisztikus polinom együtthatói pozitívak - első oszlop valamennyi eleme is pozitív A rendszer labilis: - az első oszlop elemei közül nem mind pozitív - előjelváltások: zárt rendszer jobboldali pólusainak száma - 0 jelenik meg: a karakterisztikus egyenlet imaginárius tengelyre eső első gyökére utal → ε

30. Stabilitásvizsgálat Routh séma, PÉLDA • Felnyitott kör átviteli függvénye • Negatívan visszacsatolt kör karakterisztikus egyenlete • ROUTH-séma: • A stabilitás feltétele:

31. Stabilitásvizsgálat Hurwitz determináns Aldeterminánsok: A rendszer stabilis: - a karakterisztikus egyenlet valamennyi együtthatója pozitív - a főátlóra támaszkodó valamennyi aldetermináns is pozitív - a negatív indexű elemeket 0-val vesszük figyelembe

32. Stabilitásvizsgálat Hurwitz determináns, PÉLDA • Felnyitott kör átviteli függvénye • Negatívan visszacsatolt kör karakterisztikus egyenlete • HURWITZ determináns: • Aldeterminánsok • A stabilitás feltétele:

33. Stabilitásvizsgálat Gyökhelygörbe módszer A karakterisztikus egyenlet gyökeit adja meg a komplex számsíkon, miközben a rendszer valamelyik paramétere (leggyakrabban a körerősítés) nulla és végtelen között változik. - ha a gyökök a bal oldali félsíkra esnek, a rendszer stabilis - kritikus körerősítésnél a gyökhelygörbe metszi az Imtengelyt - ha, a gyökök a jobb oldali félsíkra esnek, a rendszer labilis A gyökhelygörbeelőállítása: - karakterisztikus egyenlet megoldásával - grafikus úton próbálgatással - szerkesztési módszerek - számítógépes programok - tulajdonságok alapján közelítve

34. Stabilitási kritériumok Nyquist stabilitási kritérium Ha a felnyitott szabályozási kör stabilis, akkor a zárt szabályozási kör stabilitása megítélhető. Egyszerűsített Nyquist kritérium: - Ha a Nyquist diagram nem veszi körül a pontot, a zárt szabályozási kör stabilis. - Ha a Nyquist diagram átmegy a ponton, a rendszer a stabilitás határán van. - Ha a Nyquist diagram körülveszi a pontot, a rendszer labilis.

35. Stabilitási kritériumok Nyquist stabilitási kritérium Ha a felnyitott szabályozási kör labilis, akkor a zárt szabályozási kör stabilitása eldönthető Általánosított Nyquist kritérium: Ha a felnyitott rendszer jobb oldali pólusainak száma P, akkor a zárt szabályozási rendszer akkor aszimptotikusan stabilis, ha a felnyitott rendszer teljes Nyquist diagramja, annyiszor veszi körül a komplex számsíkon a pontot az óramutató járásával ellentétes, pozitív irányban, amennyi a felnyitott rendszer jobb oldali pólusainak a száma.

36. Stabilitási kritériumok A stabilitás gyakorlatban használt mérőszámai A mérőszámok megadják, hogy milyen messze van a felnyitott rendszer Nyquist diagramja a ponttól Fázistartalék/fázistöbblet: nyquist diagram és az egységsugarú kör metszéspontjába húzott egyenes szöge. - , stabilis rendszer - ha , határhelyzet - ha , labilis rendszer Csak egyszer metszheti a Nyquist diagram a negatív valós tengelyt!

37. Stabilitási kritériumok A stabilitás gyakorlatban használt mérőszámai A mérőszámok megadják, hogy milyen messze van a felnyitott rendszer Nyquist diagramja a ponttól Erősítési tartalék: az Im tengely és a nyquist diagram negatív tengellyel való metszéspontja és a pont közti távolság Módosított erősítési tartalék: - ha - ha határhelyzet - ha labilis rendszer Csak egyszer metszheti a Nyquist diagram a negatív valós tengelyt!

38. Stabilitási kritériumok A stabilitás gyakorlatban használt mérőszámai A mérőszámok megadják, hogy milyen messze van a felnyitott rendszer Nyquist diagramja a ponttól Modulus tartalék: a diagramot még érintő legkisebb kör sugara a ponttól mérve Azt mutatja, hogy milyen messze van a rendszer legkevésbé stabilis pontja a stabilitás határától. Általában Késleltetési tartalék: A holtidő azon legkisebb értéke, amelyet a felnyitott körbe sorosan iktatva a zárt rendszer a stabilitás határára kerül.

39. Stabilitási kritériumok BODE stabilitási kritérium Ha a felnyitott szabályozási kör stabilis, akkor a zárt szabályozási kör stabilitása megítélhető. -20dB/dekád esetén a rendszer stabilis -60dB/dekád esetén a rendszer labilis -40dB/dekád esetén vagy labilis, vagy stabilis, de a fázistartalék, biztos, hogy kicsi!