1 / 13

Parametrické vyjádření přímky v prostoru

Název projektu: Moderní škola. Parametrické vyjádření přímky v prostoru. Mgr. Martin Krajíc 10.5.2014 matematika 3.ročník analytická geometrie. Gymnázium Ivana Olbrachta Semily, Nad Špejcharem 574, příspěvková organizace Nad Špejcharem 574, 513 01 Semily, Česká republika

ross-norris
Download Presentation

Parametrické vyjádření přímky v prostoru

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Název projektu: Moderní škola Parametrické vyjádření přímky v prostoru Mgr. Martin Krajíc 10.5.2014 matematika 3.ročník analytická geometrie Gymnázium Ivana Olbrachta Semily, Nad Špejcharem 574, příspěvková organizace Nad Špejcharem 574, 513 01 Semily, Česká republika Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0047

  2. Parametrické vyjádření přímky V prostoru řešíme pouze jeden tvar rovnice přímky: parametrické vyjádření !!! Obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje !!!

  3. Parametrické vyjádření přímky Směrový vektor: • přímka je určena dvěma různými body v rovině • přímka má nekonečně mnoho bodů • přímku označujeme: p = AB • pro libovolné dva různé body A,B přímky p = AB platí: vektor u = AB = B – A se nazývá směrový vektor přímky A B D C E uvw p Poznámka: směrový vektor přímky leží na přímce nebo je s danou přímkou rovnoběžný vektory u, v, w jsou směrové vektory přímky p

  4. Parametrické vyjádření přímky Parametrické vyjádření přímky: A B X u v p • dána přímka p = AB a bod X ɛ p • vektory u = AB, v = AX jsou směrové vektory přímky p • pro vektory u, v platí: v = t.u AX = t. u X – A = t. u X = A + t. u Rovnice X = A + t. u se nazývá parametrické vyjádření (rovnice) přímky p určené bodem A a směrovým vektorem u. Proměnná t je parametr a píšeme t ɛ R.

  5. Parametrické vyjádření přímky • vyjádříme body A, X a směrový vektor u v souřadnicích: A[a1, a2,a3],X[x, y, z], u = (u1, u2, u3) • parametrické vyjádření v souřadnicích: x = a1 + tu1 y = a2 + tu2 z = a3 + tu3 t ɛ R Poznámka: • t ɛ R … přímka AB • t ɛ ˂0, 1˃ … úsečka AB • t ɛ ˂0, ∞) … polopřímka AB • t ɛ (-∞, 0˃ … polopřímka opačná k polopřímce AB

  6. Parametrické vyjádření přímky Př: Napište parametrické vyjádření přímky p = AB, jestliže A[2, -5, 6], B[1, 3, -2]. • vypočítáme souřadnice směrového vektoru: u = AB = B – A = (-1, 8, -8) • zapíšeme do parametrického vyjádření v souřadnicích: x = 2 + (-1)t y = -5 + 8t z = 6 - 8t t ɛ R upravíme: x = 2 – t y = -5 + 8t z = 6 – 8t t ɛ R

  7. Parametrické vyjádření přímky Př: Zjistěte, zda bod M[5, 0, -7] leží na přímce CD, jestliže C[1, 2, 1], D[-1, 3, 5]. • směrový vektor u = CD = D – C = (-2, 1, 4) • sestavíme parametrické vyjádření: x = 1 – 2t y = 2 + t z = 1 + 4t t ɛ R • do parametrického vyjádření dosadíme za x, y souřadnice M a zjišťujeme, zda existuje t ɛ R takové, aby soustava byla platná 5 = 1 – 2t t = -2 0 = 2 + t t = -2 -7 = 1 + 4t t = -2 • z obou rovnic máme stejné řešení, bod M leží na přímce CD

  8. Parametrické vyjádření přímky Př: Zjistěte, zda bod N[1, 2, 7] leží na přímce CD, jestliže C[2, 3, 5], D[1, 5, 3]. • směrový vektor u = CD = D – C = (-1, 2, -2) • sestavíme parametrické vyjádření: x = 2 – t y = 3 + 2t z = 5 – 2t t ɛ R • do parametrického vyjádření dosadíme za x, y souřadnice N a zjišťujeme, zda existuje t ɛ R takové, aby soustava byla platná 1 = 2 – t t = 1 2 = 3 + 2t t = -0,5 7 = 5 – 2t t = -1 • z obou rovnic máme různé řešení, bod M neleží na přímce CD

  9. Parametrické vyjádření přímky Př: Jou dány body K[-1, 0, 2], L[3, -2, 1], M[1, 5, 3]. Určete souřadnice těžiště T trojúhelníku KLM. • těžiště leží na těžnici (úsečka z vrcholu do středu protější strany) a to ve dvou třetinách její vzdálenosti od vrcholu platí: KT = KSK, LT = LSL, MT = MSM • střed SK úsečky LM vypočteme: SK = M SL SK T K SM L

  10. Parametrické vyjádření přímky • vypočteme souřadnice těžiště T ze vztahu: KT = KSK T – K = (SK – K) T = K + (SK – K) = K + ( - K) = K + T = K + T = • vypočteme souřadnice těžiště T: t1 = = 1 t2 = = 1 t3 = = 2 T[1, 1, 2]

  11. Parametrické vyjádření přímky – samostatná práce Řešte příklady a na závěr doplňte citát (využijte písmen u správných řešení). Seneca: „…. se pro život, ne pro školu.“ • Napište parametrické vyjádření přímky p = MN, M[1, 0, 3], N[0, 3, -5]: a) U…x = 1 - t, y = 3t, z = 3 – 8t b) Ž…x = -2 + 9t, y = 5 + 2t, z = 1 + 7t • Zjistěte, zda bod Z[2, -3, 11] leží na přímce p z prvního cvičení: a) I…ANO b) Č…NE • Zjistěte, zda bod E[70, -11, 1] leží na přímce p z prvního cvičení: a) I…ANO b) J…NE • Určete souřadnice těžiště T trojúhelníku KLM, K[-12, 13, 1], L[5, -7, 1], M[-2, -6, 1]: a) T… [-3, 0, 1] b) E… [3, 1, 1]

  12. Operace s vektory – správné řešení UČIT Seneca: „………. se pro život, ne pro školu.“

  13. Operace s vektory – použitá literatura Použitá literatura: KOČANDRLE, Milan a Leo BOČEK. Matematika pro gymnázia: Analytická geometrie. Praha: Prometheus, 2009 SVOBODA, Martin. Http://citaty.net [online]. [cit. 2014-05-10].

More Related