Objem a povrch kvádru a krychle

1. Objem a povrch kvádru a krychle Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

2. Objem tělesa • velikost prostoru, který dané těleso vyplňuje • počet jednotkových krychlí, které vyplní těleso

3. Urči objemy těles složených z krychlí o délce hrany 1 cm: 10 cm3 133 cm3 22 cm3 4 26 cm3 8 4 6

4. Objem krychle V = 3 . 3 . 3 V = a . a . a a – délka hrany krychle

5. Objem kvádru V = 5 . 4 . 3 V = a . b . c a, b, c – délky hran kvádru

6. Vypočítej objem kvádru s rozměry na obrázku: V = a . b . c V = 3 . 4 . 7 c = 7 cm V = 84 cm3 Objem kvádru na obrázku je 84 cm3. b = 4 cm a = 3 cm

7. c = 5 cm b = 8 cm a = 9 cm Vypočítej objem kvádru s rozměry na obrázku: V = a . b . c Objem kvádru na obrázku je 360 cm3. V = 9 . 8 . 5 V = 360 cm3

8. Zvládneš vypočítat objem uvedených těles? 1. krychle: a = 8 cm V = 512 cm3 2. kvádr: a = 3,6 m; b = 5,1 m; c = 2,5 m V = 45,9 m3 3. krychle: a = 0,6 dm V = 0,216 dm3 4. kvádr: a = 14 mm; b = 9 mm; c = 11 mm V = 1386 mm3 V = 1,728 m3 5. krychle: a = 1,2 m

9. Jednotky objemu metr krychlový … m3 … objem krychle o hraně délky 1 m decimetr krychlový … dm3 centimetr krychlový … cm3 milimetr krychlový … mm3

10. Vztahy mezi jednotkami objemu 1 mm3 1 m3 1 m3 . 1 000 : 1 000 1 dm3 1 dm3 . 1 000 1 cm3 1 cm3 : 1 000 . 1 000 : 1 000 1 mm3

11. Převádění jednotek objemuDoplň tabulku: 0,4 400 400 000 0,0000036 0,0036 3 600 0,028 28 000 28 000 000 0,00024 0,24 240 0,0084 8 400 8 400 000 9 9 000 9 000 000 0,005 5 5 000 000

12. 1 l = 1 dm3 1 hl = 100 l 1 dl = 0,1 l 1 cl = 0,01 l 1 ml = 0,001 l 1 l … 1 litr 1 hl … 1 hektolitr 1 dl … 1 decilitr 1 cl … 1 centilitr 1 ml … 1 mililitr Objem kapalin měříme také v litrech:

13. Převádění jednotek objemuDoplň tabulku: 1,23 12,3 123 1 230 0,068 68 680 6 800 0,0871 8,71 871 8 710 52 360 0,5236 52,36 523,6 3,67 367 3 670 36 700

14. Převeď jednotky objemu: 0,0006 0,58 0,6 dl = ……... hl 58 ml = ………dl 69 ml = ………l 236 ml = ………l 0,28 hl = ………l 9 000 ml = ………hl 895 cl = ………dl 11 hl = ……… dl 23,5 cl = ………l 4,98 l = ………dl 5,24 l = ………cl 5 247 ml = ………l 0,025 l = ………ml 9,2 cl = ………dl 0,036 l = ………dl 630 l = ……… dl 458 cl = ………ml 5,4 hl = ………dl 0,069 0,236 28 0,09 89,5 11 000 0,235 49,8 524 5,247 25 0,92 0,36 6 300 4 580 5 400

15. Červeně přeškrtni špatné výsledky a napiš správné: 2,4 m3 = 240 l 0,56 hl = 56 dm3 0,05 m3 = 5 000 ml 2,58 dm3 = 2 580 ml 4 890 cm3 = 4,89 hl 58,7 l = 58 700 cm3 2,4 m3 = 2 400 l 0,05 m3 = 50 000 ml 4 890 cm3 = 0,0489 hl

16. Slovní úlohy • Vejde se 12 hl vody do nádrže tvaru kvádru s rozměry dna 1,8 m a 1,3 m a výškou 0,6 m? • Kolik m3 vzduchu je v místnosti tvaru kvádru s rozměry 6 m; 3,5 m a 2,7 m? • Které těleso má větší objem? Krychle o hraně 24 cm nebo kvádr s rozměry 1,8 dm; 0,15 m a 43 cm? • Kolik kvádrů s rozměry 2 cm; 3 cm a 4 cm můžete vymodelovat z plastelíny o objemu 500 cm3? • Na parkovišti tvaru čtverce se stranou délky 42 m byl položen asfaltový koberec vysoký 15 cm. Kolik m3 materiálu se spotřebovalo?

17. Řešení úlohy č. 1 0,6 m V = a . b . c V = 1,8 . 1,3 . 0,6 V = 1,404 m3 = 1404dm3 = 1404 l = 14,04 hl V = 14,04 hl Objem uvedené nádrže je 14,04 hl, proto se do ní vejde 12 hl vody. 1,3 m 1,8 m

18. Řešení úlohy č. 2 V = a . b . c V = 6 . 3,5 . 2,7 V = 56,7 m3 2,7 m 3,5 m 6 m V místnosti je 56,7 m3 vzduchu.

19. Krychle a = 24 cm V = a . a . a V = 24 . 24 . 24 V = 13 824 cm3 Kvádr a = 18 cm ; b = 15 cm ; c = 43 cm V = a . b . c V = 18 . 15 . 43 V = 11 610 cm3 Řešení úlohy č. 3 13 824 > 11 610  Větší objem má krychle.

20. Řešení úlohy č. 4 Objem jednoho kvádru: V = a . b . c V = 2 . 3 . 4 V = 24 cm3 Počet vymodelovaných kvádrů: 500 : 24 = 20,83 (zb. 0,08) Z plastelíny o objemu 500 cm3 lze vymodelovat 20 kvádrů daných rozměrů.

21. Řešení úlohy č. 5 Kvádr: a = 42 m; b = 42 m; c = 0,15 m V = a . b . c V = 42 . 42 . 0,15 V = 264,6 m3 Na položení asfaltového koberce se spotřebovalo 264,6 m3 materiálu.

22. Hodnocení Vašeho výkonu: Za každý správný výsledek si přidělte 1 bod, body sečtěte a udělte si známku! 5 správných odpovědí: ………………1 4 správné odpovědi: ………………….2 3 správné odpovědi: ………………….3 2 správné odpovědi: ………………….4 1 správná odpověď: …………………..5 Tak jak jste dopadli?

23. Hmotnost tělesa • součin objemu tělesa a hustoty látky, ze které dané těleso je m = V .  m – hmotnost tělesa V – objem tělesa  - hustota látky

24. Úlohy na procvičení • Vypočítejte hmotnost ocelové krychle o délce hrany 6 cm. Hustota oceli je 7,8 g/cm3. • Jaká je hmotnost žulového kvádru o rozměrech 14 dm; 8 dm a 12 dm? Hustota žuly je 2900 kg/m3. • Vypočítejte hmotnost vzduchu v učebně o rozměrech 12 m; 8 m a výšce 3 m. Hmotnost 1 m3 vzduchu je 1,29 kg. • Kniha má rozměry 24 cm x 15 cm a její tloušťka je 22 mm. Určete hmotnost balíku 50 kusů těchto knih, je-li hustota papíru 0,9 g/cm3. • Jaká je hmotnost vody v nádrži o rozměrech 1,5 m; 0,8 m a hloubce 5 dm, je-li nádrž zcela plná? Jeden dm3 vody má hmotnost přibližně 1 kilogram. • Ocelová krychle má hmotnost 421,2 g. Jaký je objem krychle? • Vypočítej objem dřevěného kvádru o hmotnosti 264 g, je-li hustota dřeva 0,5 g/cm3.

25. a = 6 cm V = a. a. a V = 6. 6. 6 V = 216 cm3 m = V .  m = 216 . 7,8 m = 1684,8 g Řešení úlohy č. 1 Hmotnost dané ocelové krychle je 1684,8 g, což je přibližně 1,68 kg.

26. a = 14 dm b = 8 dm c = 12 dm V = a . b . c V = 14 . 8 . 12 V = 1344 dm3 V = 1,344 m3 m = V .  m = 1,344 . 2900 m = 3897,6 kg Řešení úlohy č. 2 Hmotnost žulového kvádru daných rozměrů je 3897,6 kg, což je přibližně 3,9 t.

27. a = 12 m b = 8 m c = 3 m V = a . b . c V = 12 . 8 . 3 V = 288 m3 m = V .  m = 288 . 1,29 m = 371,52 kg Řešení úlohy č. 3 Hmotnost vzduchu v učebně je 371,52 kg.

28. a = 24 cm b = 15 cm c = 22 mm = 2,2 cm V = a . b . c V = 24 . 15 . 2,2 V = 792 cm3 m = V .  m = 792 . 0,9 m = 712,8 g Řešení úlohy č. 4 1 kniha ….. 712,8 g 50 knih ….. 712,8 . 50 = 35 640 g Hmotnost balíku s 50 knihami je 35,64 kg.

29. A = 1,5 m = 15 dm B = 0,8 m = 8 dm C = 5 dm V = a . b . c V = 15 . 8 . 5 V = 600 dm3 1 dm3 vody … 1 kg 600 dm3 vody …….. 600 kg Řešení úlohy č. 5 Hmotnost vody v uvedené nádrži je 600 kg.

30. Řešení úlohy č. 6 m = 421,2 g  = 7,8 g/cm3 m = V .  V = m :  V = 421,2 : 7,8 V = 54 cm3 Objem ocelové krychle o hmotnosti 421,2 g je 54 cm3.

31. Řešení úlohy č. 7 m = 264 g  = 0,5 g/cm3 m = V .  V = m :  V = 264 : 0,5 V = 528 cm3 Objem dřevěného kvádru je 528 cm3.

32. Síť tělesa Síť tělesa sestrojíme tak, že všechny jeho stěny zakreslíme do jedné roviny takovým způsobem, že např. po vystřižení z papíru bude možné vytvořit model příslušného tělesa.

33. Síť krychle Síť krychle se skládá ze šesti shodných čtverců.

34. Síť kvádru Síť kvádru se skládá ze tří dvojic shodných obdélníků.

35. Příklady sítí kvádru a krychle

36. Povrch tělesa • součet obsahů všech jeho stěn • obsah sítě tělesa

37. a.a a.a a.a a.a a.a a.a Povrch krychle a a a S = 6 . a . a

38. c b a Povrch kvádru a.c a.c b.c b.c a.b a.b b.c b.c a.b a.b a.c a.c S = 2.a.b + 2.a.c + 2.b.c S = 2.(a.b + a.c + b.c)

39. Povrch krychle S = 6 . 3 . 3 S = 6 . 9 S = 54 cm2

40. Povrch kvádru S = 2.(4.3 + 4.2 + 3.2) S = 2.(12 + 8 + 6) S = 2.26 S = 52 cm2

41. Vypočítejte povrch krychle s hranou délky: • a = 7 cm • a = 0,4 dm • a = 15 mm • a = 10 m • S = 6.7.7 = 294 cm2 b) S = 6.0,4.0,4 = 0,96 dm2 c) S = 6.15.15 = 1350 mm2 d) S = 6.10.10 = 600 m2

42. Vypočítejte povrch kvádru s délkami hran: • a = 2 cm; b = 5 cm; c = 9 cm S = 2.(2.5 + 2.9 + 5.9) = 2.(10 + 18 + 45) S = 2.73 = 146 cm2 b) a = 10 dm; b = 5 dm; c = 7 dm S = 2.(10.5 + 10.7 + 5.7) = 2.(50 + 70 + 35) S = 2.155 = 310 dm2 c) a = 18,5 m; b = 2,1 m; c = 0,36 m S = 2.(18,5.2,1 + 18,5.0,36 + 2,1.0,36) S = 2.(38,85 + 6,66 + 0,756) S = 2.46,266 = 92,532 m2

43. Slovní úlohy na závěr • Vypočítej povrch a objem dlažební kostky s hranou délky 1,2 dm. • Vypočítej, kolik dm2 plechu je třeba na výrobu krabičky bez víka o rozměrech 2,1 dm; 3,5 dm a výšce 0,5 dm. • Petr slepil kvádr o velikosti hran 7 cm, 5 cm a 6 cm. Jirka slepil krychli o hraně 6 cm. Který z chlapců potřeboval více papíru? • Součet délek všech hran krychle je 60 mm. Vypočítejte její povrch a objem. • Kolik Kč zaplatil Ondra za sklo akvária tvaru kvádru s rozměry podstavy 45 cm a 35 cm a výškou 25 cm, jestliže 1 m2 skla stojí 360 Kč? • Vejde se 600 litrů vody do nádrže tvaru kvádru s rozměry dna 2,5 m; 0,9 m a výškou 3 dm?

44. 45 cm 45 cm 30 cm 60 cm Slovní úlohy na závěr • V kartonu s vnitřními rozměry 6 dm, 45 cm a 0,3 m jsou uloženy krabičky tvaru krychle s hranou délky 75 mm. Kolik krabiček se do kartonu vejde? • Na obrázku je podstava pilíře vysokého 2,7 m. Kolik m3 betonu je třeba k jeho zhotovení?

45. Řešení úlohy č. 1 a = 1,2 dm S = 6 . a . a V = a . a . a S = 6 . 1,2 . 1,2 V = 1,2 . 1,2 . 1,2 S = 6 . 1,44 V = 1,728 dm3 S = 8,64 dm2 Povrch dlažební kostky je 8,64 dm2a její objem je 1,728 dm3.

46. c b a Řešení úlohy č. 2 a = 2,1 dm; b = 3,5 dm; c = 0,5 dm S = a.b + 2.a.c + 2.b.c S = 2,1.3,5 + 2.2,1.0,5 + 2.3,5.0,5 S = 7,35 + 2,1 + 3,5 S = 12,95 dm2 Na výrobu krabičky bez víka je třeba 12,95 dm2 plechu.

47. Kvádr: a = 7 cm; b = 5 cm ; c = 6 cm S = 2.(a.b + a.c + b.c) S = 2.(7.5 + 7.6 + 5.6) S = 2.(35 + 42 + 30) S = 2.107 S = 214 cm2 Krychle: a = 6 cm S = 6.a.a S = 6.6.6 S = 216 cm2 Řešení úlohy č. 3 214 < 216  Více papíru potřeboval Jirka, který lepil krychli.

48. Řešení úlohy č. 4 Krychle má 12 hran  a = 60:12 a = 5 mm S = 6.a.a S = 6.5.5 S = 150 mm2 V = a.a.a V = 5.5.5 V = 125 mm3 Povrch dané krychle je 150 mm2, objem 125 mm3.

49. Řešení úlohy č. 5 a = 45 cm ; b = 35 cm; c = 25 cm S = a.b + 2.a.c + 2.b.c S = 45.35 + 2.45.25 + 2.35.25 S = 1575 + 2250 + 1750 S = 5575 cm2 = 0,5575 m2 1 m2 ……………. 360 Kč 0,5575 m2 ……360.0,5575 = 200,70 Kč Za sklo akvária Ondra zaplatil asi 201 Kč.

50. Řešení úlohy č. 6 a = 2,5 m b = 0,9 m c = 3 dm = 0,3 m V = a . b . c V = 2,5 . 0,9 . 0,3 V = 0,675 m3 = 675 dm3 V = 675 l 600 litrů vody se do nádrže vejde, její objem je 675 litrů.