Verso un modello cosmico coerente con 11 parametri: la proposta di Tegmark,

1. Last update: 07 / 05 / 2003 RICCARDO COCCIOLI Verso un modello cosmico coerente con 11 parametri: la proposta di Tegmark, Zaldarriaga, Hamilton* Seminario, 8 gennaio 2003 Corso di Astrofisica, Prof. F. MELCHIORRI DIPARTIMENTODI FISICA, Università di Roma “La Sapienza” *M. Tegmark, M. Zaldarriaga and A.J.S. Hamilton, Towards a refined cosmic concordance model: Joint 11-parameter constraints from the cosmic microwave background and large-scale structure, «Phisical Review D», 63, 043007 (January 30, 2001), pp. 1-14. [On-line]: versione pubblicatae preprint (ps, pdf, html). Per ulteriori informazioni visitate il sito di Max Tegmark, dove troverete i grafici animati ed i preprint a colori (pso pdf). E-MAIL

2. Obiettivi • Premessa sugli spettri di potenza • Radiazione di fondo cosmica (CMB) • Strutture su larga scala delle galassie (LSS) • Parametri cosmologici primari • Parametri cosmologici derivati • Dati utilizzati • Radiazione di fondo cosmica (CMB) • Struttura su larga scala delle galassie (LSS) • Nucleosintesi primordiale (BBN) • Costante di Hubble • Neutrini • Funzione di verosimiglianza • Metodo di analisi dei dati • Dipendenza degli spettri dai parametri principali • Valori ottimali e limiti di confidenza dei parametri • Funzioni di verosimiglianza • Limiti sui parametri dai dati CMB + LSS • Limiti sui parametri nel caso di “concordanza” • Grafico nel caso di “concordanza” • Limiti su coppie di parametri • Bibliografia I n d i c e

3. Obiettivi I Perfezionare un metodo che permetta di facilitare il calcolo degli spettri di potenza teorici della radiazione di fondo cosmico (CMB) e delle strutture su larga scala delle galassie (LSS) per una griglia di valori degli 11 parametri cosmologici scelti in quest’analisi. Confrontare gli spettri teorici così ottenuti con i dati sperimentali del CMB e delle LSS, facendo un’analisi di verosimiglianza secondo il metodo bayesiano, per ricavare i valori ottimali ed i limiti di confidenza degli 11 parametri cosmologici. INDICE

4. Premessa sugli spettri di potenza II. 1 A Radiazione di fondo cosmica (CMB) 1 Qualsiasi funzione definita sulla superficie di una sfera, dipendente dalle coordinate angolari J e j, può essere espressa come somma di armoniche sferiche: dove i coefficienti alm sono definiti da: 1 Per una rassegna consultare [1, 2, 3] INDICE

5. II. 1 B e le armoniche sferiche sono definite da: Le anisotropie della radiazione di fondo cosmico possono esprimersi in termini di armoniche sferiche: I modelli cosmologici fanno previsioni sulla varianza dei coefficienti alm. INDICE

6. II. 1 C Assumendo l’invarianza rotazionale e la gaussianità per questi coefficienti, possiamo legare la loro media, fatta sull’insieme, ai multipoli “elle”: Se poi facciamo modelli di universo che prevedano per le perturbazioni di densità primordiali una distribuzione gaussiana, gli alm avranno media nulla e varianza Cl ; e quindi questi modelli permettono di fare previsioni direttamente per i coefficienti Cl . Ogni strumento coprirà con le sue misure una zona della volta celeste, a cui corrisponde un particolare angolo solido sotteso. INDICE

7. II. 1 D Quindi queste misurazioni saranno sensibili ai vari termini di multipolo “elle” in modo diverso, in particolare potranno rivelare solo le anisotropie con scale angolari minori dell’angolo solido spazzato dallo strumento. La potenza ricevuta da uno strumento è: dove Wl è chiamata “window function” e rappresenta proprio la sensibilità dello strumento ai vari multipoli. Solitamente si normalizza il tutto rispetto ai dati forniti dal satellite COBE(DT = 27.9 mK ; T = 2.73 K). INDICE

8. II. 1 E Per poter confrontare teoria ed esperimenti bisogna conoscere la “window function” degli strumenti, necessaria per poter convertire in variazioni di temperatura sia le misure di potenza sperimentali che le previsioni teoriche sui coefficienti Cl . In letteratura i dati del CMB sono normalmente espressi in funzione dei multipoli “elle” mediante la seguente funzione: INDICE

9. Premessa sugli spettri di potenza II. 2 Strutture su larga scala delle galassie (LSS)2 Le misure astrofisiche ci permettono di ricostruire la distribuzione delle galassie nello spazio tridimensionale. Considerando la funzione di correlazione a due punti di questa distribuzione, e calcolandone la trasformata di Fourier, si ottiene lo spettro di potenza P(k) delle galassie. Lo spettro è espresso in funzione del numero d’onda k= 2p / l. Un picco nello spettro di potenza ad un certo k* indica che le galassie creano strutture con distanze tipiche dell’ordine dil* = 2p /k*. 2 Per una rassegna consultare [4, 5] INDICE

10. Parametri cosmologici primari III t = profondità ottica di reionizzazione AS = ampiezza primordiale delle fluttuazioni scalari AT = ampiezza primordiale delle fluttuazioni tensoriali nS = inclinazione delle fluttuazioni scalari nT = inclinazione delle fluttuazioni tensoriali b = “bias” delle galassie WK = contributo di curvatura alla densità totale (W) WL = contributo dell’energia del vuoto ad W wB = densità fisica dei barioni wDM = densità fisica della materia oscura ¦n = frazione calda della materia oscura INDICE

11. Parametri cosmologici derivati IV H = costante di Hubble b = parametro di distorsione spaziale del redshift zION = redshift della reionizzazione t0 = età dell’universo [Gy] S mn = somma delle masse dei neutrini [eV] INDICE

12. Dati utilizzati V. 1 Radiazione di fondo cosmica (CMB) Tutti i dati disponibili al momento dell’analisi (prima del 2000). INDICE

13. Dati utilizzati V. 2 Strutture su larga scala delle galassie (LSS) I dati del Point Source Catalogue Redshift Survey del satellite IRAS[6]. INDICE

14. Dati utilizzati V. 3 Nucleosintesi primordiale (BBN) I risultati delle ultime misurazioni (del 1999) della densità di materia barionica dal rapporto deuterio - idrogeno (D/H) nelle nubi molecolari ad alto redshift[7]. INDICE

15. Dati utilizzati V. 4 Costante di Hubble I risultati finali (2000) delle misurazioni della costante di Hubble da parte del telescopio spaziale Hubble a1 s[8]. Neutrini Si assume che il contributo cosmologico dei neutrini sia trascurabile, accettando la duplice ipotesi che la degenerazione tra le masse dei vari neutrini sia piccola, e che le misure sui neutrini atmosferici da parte di Super Kamiokande comportino wn ~10-4 ~ 10-3[9]. Si è così scelto di non considerare i risultati di misure di tipo astrofisico che danno una più alta stima della densità dei neutrini( ¦n ~ 0.2)[10]. INDICE

16. Funzione di verosimiglianza VI Data una funzione di distribuzione¦(x , l)della variabile casuale X dipendente dal vettore dei parametril, se considero un insieme di n valori assunti dalla variabile casuale, definisco come funzione di verosimiglianza: che rappresenta una quantità proporzionale alla probabilità che gli n valori della variabile casuale si presentino all’osservazione. La stima delle componenti dilcol metodo di massima verosimiglianza, dato un insieme di n punti, è il valore l*per il quale la funzioneL (l | x)è massima. INDICE

17. Metodo di analisi dei dati3 VII A Calcolo degli spettri di potenza teorici del CMB ( Cl ) e delle LSS ( P(k) ) per una griglia di modelli nello spazio dei parametri, usando le seguenti espressioni: In questo modo si sono poi calcolati tre diversi spettri separatamente, che singolarmente dipendono da soli 6 o 7 parametri ciascuno, velocizzando molto tutto il processo di calcolo. Calcolo della funzione di verosimiglianza per quantificare l’aderenza di ciascun modello teorico ai dati sperimentali; 3 Per maggiori dettagli sul metodo consultare [11] INDICE

18. VII B Metodo di analisi dei dati Interpolazione della funzione di verosimiglianza nello spazio dei parametri per creare una funzione continua. Massimizzazione di quest’ultima per ottenere i valori ottimali dei vari parametri, sia singolarmente che a coppie. Calcolo dei limiti di confidenza al 95% per i valori ottimali dei vari parametri. L’uso del metodo bayesiano comporta una scelta a priori delle funzioni di distribuzione da attribuire ai vari parametri, in modo che i valori più “attendibili” del parametro contino di più nell’analisi statistica rispetto ai valori più “strani”. Questo permette di restringere gli errori sulla determinazione dei parametri se le assunzioni a priori sono esatte, altrimenti può introdurre degli errori sistematici. Nonostante i “rischi” dovuti al tipo di analisi, i risultati sono in buon accordo con i più recenti dati del satellite WMAP, ottenibili qui. INDICE

19. VIII A Dipendenza degli spettri dat INDICE

20. VIII B Dipendenza degli spettri daAS INDICE

21. VIII C Dipendenza degli spettri daAT INDICE

22. VIII D Dipendenza degli spettri danS INDICE

23. VIII E Dipendenza degli spettri dab INDICE

24. VIII F Dipendenza degli spettri daWK INDICE

25. VIII G Dipendenza degli spettri daWL INDICE

26. VIII H Dipendenza degli spettri dawB INDICE

27. VIII I Dipendenza degli spettri dawDM INDICE

28. VIII L Dipendenza degli spettri da¦n INDICE

29. Valori ottimali e limiti di confidenza dei parametri IX DATI UTILIZZATI : SOLO CMB CMB + LSS CMB + LSS + BBN +h+ƒn INDICE

30. Funzioni di verosimiglianza X. 1 Limiti sui singoli parametri nel caso CMB+ LSS INDICE

31. Funzioni di verosimiglianza X. 2 Limiti sui singoli parametri nel caso di “concordanza” INDICE

32. X. 1-2 INDICE

33. Grafico del caso di “concordanza” XI CMB:88punti LSS:21punti TOT:109punti Parametri:11 n=98 c2»96 c2 / n»0.98 INDICE

34. Limiti nel pianonS- wB XII A INDICE

35. Limiti nel pianowDM- wB XII B INDICE

36. Limiti nel pianowDM- ¦n XII C INDICE

37. Limiti nel pianoWM - WL XII D INDICE

38. Bibliografia XIII Gawiser, E., Silk, J.: Phys. Rep. 333-334 (2000), 245-267. Þ Hu, W., Dodelson, S.: Annu. Rev. Astron. and Astrophys.(2002). Þ Refriger, A.: (1999)http:// xxx.lanl.gov /abs/astro-ph/9904235Þ Einasto, J.: (2000)http://xxx.lanl.gov/abs/astro-ph/0011332Þ Vogeley, M.: (1998)http://xxx.lanl.gov/abs/astro-ph/9805160Þ Hamilton, A. J. S., Tegmark, M., Padmanabhan, N.: Mon. Not. R. Astron. Soc. 317 (2000), 123. Þ Burles, S. et al.:Phys Rev. Lett. 82 (1999), 4176. Þ Freedman, W. et al.: (2000)http://xxx.lanl.gov/abs/astro-ph/0012376Þ Scholberg, K. et al.: (1999)http://xxx.lanl.gov/abs/hep-ex/9905016Þ Croft, R. A. C., Hu, W., Davé, R.: Phys Rev. Lett. 83 (1999), 1092. Þ Tegmark, M., Zaldarriaga, M.: Astrophys. J. 544 (2000), 30. Þ INDICE