Lineáris algebra

1. Lineáris algebra Lineáris egyenletrendszerek

2. Lineáris egyenletrendszerek általános alakja

3. Lineáris egyenletrendszerektípusai

4. Lineáris egyenletrendszerek típusai • Ha a jobb oldalon lévő b1, b2, ……..bm számok mindegyike zérus, akkor homogén lineáris egyenletrendszerről beszélünk. • Nyilván egy ilyen egyenletrendszernek mindig van triviális megoldása, ami azt jelenti, hogy x1= x2= ……..=xn =0 • Az ilyen egyenletrendszerek megoldásának lényege a triviálistól különböző megoldások megkeresése.

5. Lineáris egyenletrendszerek típusai Ha a jobb oldalon lévő b1, b2, ……..bm számok nem mindegyike zérus, akkor inhomogén lineáris egyenletrendszerről beszélünk. Lehetséges esetek: • Nincs megoldás • Pontosan egy megoldás van • Végtelen sok megoldás van

6. Lineáris egyenletrendszerek típusai II.

7. Lineáris egyenletrendszerek megoldása • A lineáris egyenletrendszer megoldása az olyan x1, x2, ……xn , számok meghatározását jelentik, amelyek az összes egyenletet kielégítik. • Két lineáris egyenletrendszert ekvivalensnek nevezünk, ha pontosan ugyanazok az egyenletrendszerek megoldásai.

8. Ekvivalensátalakítások: Az egyenletrendszer megoldáshalmaza nem változik, ha az alábbi átalakításokat hajtjuk végre: • Két egyenlet felcseréljük • Az egyik egyenletet zérustól különböző valós számmal szorozzuk • Az egyik egyenletet, vagy valós számmal való szorzatát hozzáadjuk a másik egyenlethez

9. Lineáris egyenletrendszer kibővített mátrixa

10. Lineáris egyenletrendszerek megoldása Gauss eliminációval A megoldás az ismeretlenek szukcesszív kiküszöbölésével történik.

11. Mátrixalgebra Az mxn db aij elemből álló téglalap alakban elrendezett számtáblázatot (mxn) típusú mátrixnak nevezzük. aij szimbólum a mátrix i-edik sorának a j-edik elemét jelöli.

12. Mátrixok • Az elem első indexe mindig a sorindex • Az elem második indexe mindig az oszlopindex • Jelölése: A mátrixokat általában vastagított nagybetűkkel jelöljük, illetve szögletes zárójelbe tesszük. • Két mátrixot azonos típusúnak nevezzük, ha soraik és oszlopaik száma megegyezik

13. Mátrixok Két mátrix akkor és csak akkor egyenlő, ha azonos típusúak és a megfelelő helyen álló elemeik rendre egyenlők egymással.

14. Speciális mátrixok Négyzetes vagy kvadratikus mátrix: Olyan mátrix, ahol m=n azaz a sorok száma megegyezik az oszlopok számával. Mátrix rendje: A négyzetes mátrix sorainak vagy oszlopainak a száma

15. Speciális mátrixok • Oszlopmátrix vagy oszlopvektor: csupán egy oszlopból áll • Sormátrix vagy sorvektor: Olyan mátrix, amelynek egyetlen sora van • Nullmátrix: Olyan mátrix, amelynek minden eleme nulla. Jelölése : 0

16. Speciális mátrixok • Diagonalmátrix: Olyan négyzetes mátrix, amelynek csak a főátlójában vannak elemei. Főátló alatt értjük a bal felső sarokból a jobb alsó sarokba húzott átlót.

17. Speciális mátrixok Egységmátrix: olyan diagonális mátrix, amelynek minden főátlóbeli eleme 1. Jele : E Speciálisan: Enahol n jelöli a mátrix rendszámát. Minden egységmátrix n olyan sorra vagy oszlopra bontható particionálható, amelynek mindegyike egységvektor.

18. Példa egységmátrixra

19. Mátrixok típusai • Az egységvektor indexe azt mutatja meg, hogy az egységvektor hányadik eleme 1. • Összegzővektor: az az oszlop vagy sorvektor, amelynek minden eleme 1. Jele:1 • Felső háromszögmátrix • Alsó háromszögmátrix

20. Speciális mátrixok Alsó háromszögmátrix

21. Mátrixok típusai • Szimmetrikus mátrix: olyan négyzetes mátrix, ahol aik=aki • Ferdén szimmetrikus mátrix: olyan négyzetes mátrix, ahol aik=-aki • Permutáló mátrix: Olyan négyzetes mátrix, amely a sorainak illetve az oszlopainak az átrendezésével egységmátrixszá alakítható.

22. Mátrix transzponáltja • Mátrix transzponáltján azt az ATjelölt mátrixot értjük, amelyet az A mátrixból úgy kapunk, hogy sorait rendrefelcseréljük az oszlopaival.

23. Minormátrix • Ha az A mátrixból tetszés szerinti sort, vagy oszlopot elhagyunk, akkor az eredeti mátrix minormátrixát kapjuk.