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-Functions （函數） - Chapter 1

-Functions （函數） - Chapter 1. 朝陽科技大學 資訊管理系 李麗華 教授. …. n. 1. 2. 3. 4. 5. …. -2. -1. 0. 1. 2. …. 1-1 Numbers – 自然數及整數. N ：自然數： 1 、 2 、 3 、 4 、 5…n Z ：整數 ： 負整數、正整數 ( 含 0). 0. -2. -1. 1. 2. 1-1 Numbers – 實數. R ：實數 (real number) 有理數 (rational number) ： 1 、 2 、 0.1 、 3/2…

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  1. -Functions（函數）-Chapter 1 朝陽科技大學 資訊管理系 李麗華 教授

  2. … n 1 2 3 4 5 … -2 -1 0 1 2 … 1-1 Numbers –自然數及整數 • N：自然數：1、2、3、4、5…n • Z：整數：負整數、正整數(含0)

  3. 0 -2 -1 1 2 1-1 Numbers –實數 • R：實數(real number) • 有理數(rational number)：1、2、0.1、3/2… • 有限小數：1/2、0.4 … • 無限循環小數：1/3、1/7、1/11 … • 無理數(irrational number)： (無限且不循環小數) , , ,

  4. 1 1 1 1 1 ? 1 1 (正方形面積求法) , • 古時代用單純的測量無法完整表示出正確的值， • 故用 來表示之 1 1-1 Numbers – 的來由 • 說明 來由 • 以正方形幾何公式求 • 如右圖，令一正方形由四個各邊為1的正方形組合而成，故整塊面積為4。 • 如圖紅線區內應為整體面積的一半，所以 • 紅線區內的面積為2，因四條紅線圍出的是 • 一個正方形,令紅線為 (＊) DIY練習: 同學可以測正方形便利貼，各邊為7.6，面積為 7.6 x 7.6=57.76，它的一半為28.88 即5.37401153701…

  5. 1-1 Numbers –實數與複數 • R (real) 無理數(無限不循環小數) 有理數 整數 正整數 自然數 負整數 小數 有限循環小數 無限循環小數 • C (complex)：複數 例： • 本課程微積分主要以實數為演算的對象 (Q) (Z)

  6. 1-2 Real Number –區間 • Intervals (區間) -2 -1 0 1 2 3 open interval (-1,1) -1 0 1 closed interval [-1,1] -1 0 1 half-open interval [-1,1) -1 0 1 [-1, ) -1 0 1 [- ,1) -1 0 1

  7. ‧ ‧ -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 1-3 Equality / Inequality • Equality (等式) • Inequality (不等式) (兩邊除(-2)要換方向) (＊)說明換方向之例子： 練習：

  8. X 不可為0 且n須大於0 1-4 Exponent • Exponent • Negative Exponent x is base n is exponent or power n個

  9. Properties of exponents EX： EX： EX： EX： EX：

  10. 上台練習 EX1： EX2： EX3： EX4： EX5： EX6：

  11. Exponent form of radicals EX： EX： 注意 對實數而言，當n為偶數(even)，必須x≧0 (即開根號的x一定要大於0)

  12. Exponent範例 EX1： EX2：

  13. 上台練習

  14. 1-5 Quadratic Equations

  15. Quadratic Equations練習

  16. 1-6 Rational Expression (Fractions) Reduce (化簡) EX： Sol： EX： (加) 先求分母通分

  17. 1-6 Rational Expression EX： (乘) Sol： EX： (除)

  18. Rational Expression練習

  19. -1 0 1 補充：解不等式 EX： Sol： 求解時主要是針對分母為0時的 值， 此為不可能之解及分子的合理解 ∴分母→x≠-1 分子→x=1 沒有小於0 代入一個小於1的數： 有小於0，故此解合理 代入一個介於1和-1的數： 沒有小於0 代入一個大於1的數： ∴解集合為

  20. 補充：解不等式 注意 則不一定可以是 若 例: 交叉相乘後 求 的解集合 EX: , Sol: 兩邊各x(-1) 兩邊各- ( )

  21. 1-7 Introduction to functions • Function is a rule of correspondence by which each element of one set (x) is assigned to exactly one element of the other set (y) • x is called the domain of the function • y is called the range of the function EX：

  22. 1-7 Introduction to functions EX: 定義域(Domain)→ … 0 1 2 3 4 值域(Range)→ … 2 7 22 47 82 domf：定義域 ranf：值域 domain range 上述 , , , … 叫做independent variable (自變數) 叫做dependent variable (因變數)

  23. 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 -1 1-7 Introduction to functions EX： 0 1 2 3 4 … -1 2 5 8 11 … 注意 數應為 1對1 (one to one) 不可 1對多 (one to many)

  24. 1-7 Introduction to functions • 若1本書需12元，則 本書需多少元? • 在吃了 小時後的藥效( )，公式如下 Sol： 當x=10 則需120元 Sol：

  25. 1-7 Introduction to functions • Find the domain of a function , 即找出所有 可以代入的值為何 EX： 當 時， 不能求解。而其他數字均可，故只要 即為所有x的範圍 Sol： or EX： 因若 ，則 將有根號負數，即complex number (複數)。但本課本以real(實數)為主，故 必須 。 Sol：

  26. Composite Function • 合成函數 (composite function) g f Find if , , EX： Sol：

  27. Function練習 找出 求 ， 同上題，求 求 ， 同上題，求

  28. 1-8 Linear Function (線性函數) • 若一函數在座標軸上畫出來為一直線，則稱此為線性函數(Linear Function) x intercept (當y=0) 1 -1 y intercept (當x=0)

  29. 1-8 Linear Function (線性函數) y • Horizontal line ‧ c x y=c 0 m=0 y • Vertical line ‧ x x=c 0 c y=5x-5 沒有m • Y intercept:截距 (當x=0時) EX：y=5x-5 當 x=0 時 y=-5 1 I:(0,-5) -5

  30. ‧ y2 (x2,y2) ‧ y1 (x1,y1) x1 x2 1-8 Linear Function (線性函數) • Slope of a line (斜率) 若已知2點可求斜率(x1,y1)，(x2,y2) → (where x1≠x2) or (△x≠0) 正向斜率： 由右上到左下 負向斜率： 由左上到右下

  31. , 令 ‧ (0,b) 1-8 Linear Function (線性函數) • Straight line 已知1點1斜率(point-slope form) 已知 則 已知斜率 & 斜率(slope-Intercept form) ∵由上可導出截點在 處時 則

  32. Linear Function練習 • 找slope及y截距 • 找m & 截距 • 找直線公式 • 同上 • 找直線公式 座標點

  33. 應用題 • 已知華氏與攝氏溫度存在著線性的關係，且已知到2個對應點求其轉換公式。 (0oc=32oC , 100oc=212oF) Sol： 若 0oc = 32oC , 100oc = 212oF [已知m及截距(0,32)] 代入 Fo = Co + 32

  34. y x 1-9 Graphs of Functions (函數圖形) • 自從1637年迪卡爾出版了解析幾何(Analytical Geometry)後，利用直角座標來畫出函數圖形的手法大大的幫助並加速微積分的發展。 • 除了前面所述直線函數圖外，常見的圖形將一一介紹。 • Square Function

  35. y ‧ (0,7) x ‧ (3,-2) 1-9 Graphs of Functions (函數圖形) • Quadratic Function 頂點(vertex) → 代入數點 0 1 2 3 4 5 6 7 2 -1 -2 -1 2 7 頂點在 處

  36. y (4,2) ‧ 0 1 2 3 4 … x 0 1 2 … y x -3 -2 -1 0 1 2 3 … -27 -8 -1 0 1 8 27 … 1-9 Graphs of Functions (函數圖形) • Square Root Function • Cube Function

  37. y x … … 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 … … 1 -1 - - y -3 -2 -1 0 1 2 3 x 3 2 1 0 1 2 3 -3 -2 -1 1 2 3 x≧0 { if x＜0 1-9 Graphs of Functions (函數圖形) • Reciprocal Function(倒函數) • Absolute Value Function 這裡亦可看成是2段函數即

  38. { if Graphs of Functions練習 EX1： 請畫出圖形 EX2： 請畫出圖形 { if

  39. y 3 x -3 y x 1-9 Graphs of Functions (函數圖形) • 上述各種函數可經由常數項而產生位移 • 亦可經由正負號轉向 EX： EX：

  40. y (60,30) ‧ 30 (50,25) ‧ (40,20) ‧ 20 ‧ ‧ 10 ‧ x 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 函數圖形的應用 • The distance of a 1-hr boat is shown as the following graph. Please answer the following question. • Determine • How many miles were traveled in the first 10 miles? • For what t is • Determine m and b in the linear Given by • What is the domain of s?

  41. Profit = Revenue - Cost 利潤 收入 成本 1-9 Function in Economics • 商業行為中需常常用到函數來做計算，像產品的製造銷售與盈餘，都要靠函數來表示，如此才能方便轉化為可自動化處理的程式。

  42. 1-9 Function in Economics • It cost dollars to produce x products. Each product can be sold of $40 dollars, that is, the revenue of x products is . • Find the profit function • When x=25 (radios), what is the profit? • When x=2 (radios), what is the profit? Sol： (倒貼錢)

  43. x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C(x) 0 102.4 110.6 119.6 129.4 140 151.4 163.6 176.6 190.4 205 y x 0 1 2 3 ‧ R(x) 0 40 80 120 200 160 ‧ ‧ 120 ‧ 80 40 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1-9 Function in Economics • 由上例可看出，在只生產2個產品狀況下，是不敷成本的，故可藉由圖型看出其盈利點為何。 When , we call this point (y value) is a break-even quantity ∴The break-even point is

  44. 範例 • Let x be the CD container, , find the break-even point. • Let R(x)=50x-0.1x2, . Sol： i.e. find ∴ 買越多，單價可越低 (整)以下先說明買賣關係: 賣越多，可賺越多

  45. Price and Demand • 由定價函數來算出多少量的產品，可以訂出多少的價位 # of product Revenue = x．M(x) Where price per product

  46. Price and Demand • 若一產品定價為 dollars • When x=30, what price will it be? • If the price is set as 70, how many product has to be ordered • If the price is set as 65, how many product has to be ordered Sol： (即當定30個量時，價格可定為74元) • 當 個 • 當 個

  47. Price and Demand • 上面的公式，同理，亦可看成x為需求供應的量。 EX： ，若要賺每個單價則要有50個量才行 EX： 同上，若要賺每個單價$4.5元時，則需75個量才行

  48. p P=s(x) price (xe,pe) P=D(x) x quantity Price and Demand • 當買和賣各要達到最佳買賣點時，則應取其2個function相交之處，即equilibrium point (E.P.) EX： 若 買之p=17-0.2x 賣之p=0.4x+8 ，求E.P.點 Sol： 當15個商品時，可以到買賣雙方的平衡點

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