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第二章 Wiener 过滤和 Kalman 过滤

第二章 Wiener 过滤和 Kalman 过滤. 过滤：即滤波，将被噪声污染的信号尽可能地提取出来，最大限度的抑制噪声，而将有用信号分离出来。. 引言. 过滤可以看作是估计问题。 通信工程：波形估计 控制工程：动态估计. 滤波、预测和平滑的关系. 滤 波： 预测 ( 外推 ): 平滑 ( 内插 ):. Wiener 滤波. 若信号 是广义平稳的，已知其自相关函数或功率谱，所用的最优评估准则为 MMSE (Mininum Mean Square Error), 即 。.

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第二章 Wiener 过滤和 Kalman 过滤

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Presentation Transcript

  1. 第二章 Wiener过滤和Kalman过滤

  2. 过滤：即滤波，将被噪声污染的信号尽可能地提取出来，最大限度的抑制噪声，而将有用信号分离出来。过滤：即滤波，将被噪声污染的信号尽可能地提取出来，最大限度的抑制噪声，而将有用信号分离出来。 引言

  3. 过滤可以看作是估计问题。通信工程：波形估计控制工程：动态估计过滤可以看作是估计问题。通信工程：波形估计控制工程：动态估计

  4. 滤波、预测和平滑的关系 滤 波： 预测(外推): 平滑(内插):

  5. Wiener滤波 若信号 是广义平稳的，已知其自相关函数或功率谱，所用的最优评估准则为MMSE (Mininum Mean Square Error),即 。

  6. 由二次世界大战提出，以后在通信，控制等领域获得广泛应用,并在应用之中得到发展。但Wiener滤波不能用于实时递推处理,也不适用于非平稳信号的滤波。由二次世界大战提出，以后在通信，控制等领域获得广泛应用,并在应用之中得到发展。但Wiener滤波不能用于实时递推处理,也不适用于非平稳信号的滤波。 Wiener滤波

  7. 从本世纪四十年代起,有人用状态变量分析法来研究随机过程。到六十年代初,由于空间技术的发展,为了解决对非平稳、多输入/输出随机序列的估计问题,由Kalman提出的MMSE准则下滤波称为Kalman滤波，并由Kalman和Bucy一起将其推广到连续的时间随机过程。Kalman滤波一出现就引起人们的很大重视，现已成功的应用于许多领域，并在实践中不断丰富和完善。从本世纪四十年代起,有人用状态变量分析法来研究随机过程。到六十年代初,由于空间技术的发展,为了解决对非平稳、多输入/输出随机序列的估计问题,由Kalman提出的MMSE准则下滤波称为Kalman滤波，并由Kalman和Bucy一起将其推广到连续的时间随机过程。Kalman滤波一出现就引起人们的很大重视，现已成功的应用于许多领域，并在实践中不断丰富和完善。

  8. Kalman滤波 已知前一个估计值和最近一个观测数据，仍然要求满足MMSE；用状态方程，观测方程进行估计。

  9. 特点：对误差抑制能力强。 对小误差不敏感。 MMSE

  10. Wiener滤波：要求知道随机信号的统计分布规律(自相关函数或功率谱密度），得到的结果是封闭公式,适用于平稳随机信号。其物理概念清楚，但不能递推实时处理。Kalman滤波：采用递推的处理方法,适用于平稳和/或非平稳随机过程，是Wiener滤波的一种算法。Wiener滤波：要求知道随机信号的统计分布规律(自相关函数或功率谱密度），得到的结果是封闭公式,适用于平稳随机信号。其物理概念清楚，但不能递推实时处理。Kalman滤波：采用递推的处理方法,适用于平稳和/或非平稳随机过程，是Wiener滤波的一种算法。 Wiener滤波和Kalman滤波的比较

  11. §2 Wiener滤波器的离散形式 ---时域解

  12. Wiener滤波最初是对连续时间信号用模拟滤波的形式出现的,而后才有离散形式,设计Wiener滤波器的过程是在满足MMSE准则下，寻找 或 。 系统是因果的,

  13. 正交性原理 ① 写成矩阵形式：

  14. ② ①②称为Wiener-Hopf方程。

  15. 讨论 1. 若 没有因果限制

  16. 2.因果FIR网络 写成矩阵形式：

  17. 其中：

  18. ①N大时，计算工作量很大，并需要计算逆矩阵， 要求的存储量也大。②计算过程中，若通过增加滤波器的长度N，提高 逼近精度时，就需要在新N的基础上重新进行计算。 Wiener-Hopf方程存在的问题

  19. 例: 已知： 都是白噪声,方差 且 与 与 不相关，并且都是实信号，期望信号为 。设计长度为2的Wiener滤波器以得到 的最佳估计。

  20. 根据Wiener滤波理论求解 为关键。 分析

  21. 解: 因为 与 不相关，并且 所以

  22. ①

  23. ①两边同乘以 由①式可以确定 代入上面的方程组中，并取出 m=1,2,0得三个方程.确定三个未知数 因为待求滤波器的长度为2，因此自相关函数矩阵的 大小为22。

  24. 据 的模型

  25. 估计的最小均方差

  26. 两边同乘以 并取数学期望：

  27. §2.Wiener滤波的离散形式 ---Z域解

  28. 不能直接转入 求解

  29. 思路：将 白化之后求解Wiener-Hopf方程 的求解。

  30. 要求 为最小相位系统 的白化

  31. 信号模型

  32. 一、非因果解

  33. 因为 所以 一般形式 ①

  34. 当 与 不相关时,即

  35. 推导 其中 ，应用复卷积定理求解。 用围线积分法求逆Z变换

  36. 复卷积定理

  37. 取 ，则 ③

  38. －－② [注：当 不相关时]

  39. 假定 ,并带入②式且由于 为偶函数

  40. 二、因果Wiener滤波器 的求解

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